多项式的最大公因式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3,多项式的最大公因式,多项式的最大公因式是多项式理论的一个重要组成部分,.,要掌握最大公因式的概念,会求两个或多个多项式的最大公因式,并能熟练运用互素多项式的性质以及判断两个多项式互素的充要条件,.,2.3.1,最大公因式,（,i,）,如果,满足,（,ii,）对于,如果,以下两个条件，则称 是 的一,个,最大公因式,：,注记：,2.3.2,最大公因式的存在性及其求法,例,2.4,设,定理,2.5,的证明中用来求最大公因式的方法，叫做,辗转除法,因式，即,和 具有完全相同的,若仅求 ，为了避免辗转相除时出现,注记,:,分数运算,可用一个数乘以除式或被除式，,这是因为,为非零常数,在,辗转相除的过程当中也可以这样做,!,注记,:,（,1,）定理,2.6,中的 不唯一,.,例如，设,，则,取 ，有,取 ，也有,取,也有,（,2,）,定理,2.6,的,逆命题不成立,.,例,2.5,设,2.3.3,多项式的互素,由定义，两个多项式互素当且仅当它们的公因式只有零次多项式,.,多项式的互素具有以下性质：,2.3.4,最大公因式,概念的推广,i),进一步，,F,上的多项式,d,(,x,),如果满足条件,ii),若 ，,注记：,表示最高次项系数为,1,的最大公因式,2.,1.,的最大公因式,一定存在,.,用,2.3.5,多个多项式的互素,.,注意,:,当,n,(,n,2),个多项式 互素时，它们不一定两两互素，即未必有,