正交试验方差分析

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单因素方差分析的基本原理与步骤,单因素方差分析的目的是考查一个因素的,m,个水平对实验结果是否存在显著性差异。,假设某单因素试验有,k,个水平，每个水平有,n,次重复，共有,nk,个观测值。这类试验资料的数据模式如表,6-1,所示。,下一张,主 页,退 出,上一张,表,6-1,k,个处理每个处理有,n,个观测值的,数据模式,下一张,主 页,退 出,上一张,表中 表示第,i,个水平的第,j,个观测值,（,i,=1,2,k,；,j,=1,2,n,）；,表示第,i,个水平,n,个观测值的和；,表示全部观测值的总和；,表示第,i,个水平的平均数；,表示全部观测值的总平均数；,可以分解为,下一张,主 页,退 出,上一张,(6-1),表示第,i,个水平观测值总体的平均数。,为了看出各水平的影响大小，将 再进行分解，令,(6-2),(6-3),则,(6-4),其中,表示全试验观测值总体的平均数；,下一张,主 页,退 出,上一张,因为,偏差平方和,其中,所以 （,6-7,）,（,6-7,）式中，为组间偏差平方和，反映了各样本平均值间的差异，记为,SS,t,，即,下一张,主 页,退 出,上一张,(6-7),式中，为 组内偏差平方和，反映了各水平下多次实验结果间的差异，记为,SS,e,，即,于是有,SS,T,=,SS,t,+,SS,e,（,6-8,）,这个关系式中三种平方和的简便计算公式如下：,下一张,主 页,退 出,上一张,(6-9),其中，,C=/kn,称为矫正数。,方差分析统计量,在计算总平方和时，资料中的各个观测值要受 这一条件的约束，故总自由度等于资料中观测值的总个数减,1,，即,kn-,1,。总自由度记为,df,T,，即,df,T,=kn-,1,。,下一张,主 页,退 出,上一张,在计算组间平方和时，各水平均数 要受,这一条件的约束，故组间自由度为水平数减,1,，即,k,-1,。组间自由度记为,df,t,，即,df,t,=k-,1,。,在计算组内平方和时，要受,k,个条件的约束，即 （,i,=1,2,k,）,。故组内自由度为资料中观测值的总个数减,k,，即,kn-k,。组内自由度记为,df,e,，即,df,e,=kn-k=k(n-,1,),。,下一张,主 页,退 出,上一张,因为,所以,(6-10),综合以上各式得：,(6-11),下一张,主 页,退 出,上一张,各部分偏差平方和除以各自的自由度便得到总均方、组间均方和组内均方，分别记为,MS,T,（或 ）、,MS,t,（或 ）和,MS,e,（或 ）。,即,（,6-12,）,总均方一般不等于组间均方加组内均方。,下一张,主 页,退 出,上一张,构造统计量,F=MS,t,/MS,e,根据显著性水平 ，,FF,a,，则拒绝原假设，认为该因素或交互作用对试验结果有显著影响；若,F,0,F,a,，则认为该因素或交互作用对试验结果无显著影响。,（,6,）正交试验方差分析说明,由于进行,F,检验时，要用误差偏差平方和,SS,e,及其自由度,df,e,，因此，为进行方差分析，所选正交表应留出一定空列。当无空列时，应进行重复试验，以估计试验误差。,误差自由度一般不应小于,2,，,df,e,很小，,F,检验灵敏度很低，有时即使因素对试验指标有影响，用,F,检验也判断不出来。,为了增大,df,e,，提高,F,检验的灵敏度，在进行显著性检验之前，先将各因素和交互作用的方差与误差方差比较，若,MS,因,（,MS,交,）,2MS,e,，可将这些因素或交互作用的偏差平方和、自由度并入误差的偏差平方和、自由度，这样使误差的偏差平方和和自由度增大，提高了,F,检验的灵敏度。,表头设计,A,B,试验数据,列号,1,2,k,x,i,x,i,2,试验号,1,1,x,1,x,1,2,2,1,x,2,x,2,2,n,m,x,n,x,n,2,K,1j,K,11,K,12,K,1k,K,2j,K,21,K,22,K,2k,K,mj,K,m1,K,m2,K,mk,K,1j,2,K,11,2,K,12,2,K,1k,2,K,2j,2,K,21,2,K,22,2,K,2k,2,K,mj,2,K,m1,2,K,m2,2,K,mk,2,SS,j,SS,1,SS,2,SS,k,表,10-21 L,n,（,m,k,）正交表及计算表格,总偏差平方和：,列偏差平方和：,试验总次数为,n,，每个因素水平数为,m,个，每个水平作,r,次重复,r,n/m,。,当,m,2,时，,总自由度：,因素自由度：,表,10-20 L,9,(3,4,),正交表,处理号,第,1,列（,A,）,第,2,列,第,3,列,第,4,列,试验结果,yi,1,1,1,1,1,y1,2,1,2,2,2,y2,3,1,3,3,3,y3,4,2,1,2,3,y4,5,2,2,3,1,y5,6,2,3,1,2,y6,7,3,1,3,2,y7,8,3,2,1,3,y8,9,3,3,2,1,y9,分析第,1,列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因素。,因素,A,第,1,水平,3,次重复测定值,因素,A,第,2,水平,3,次重复测定值,因素,A,第,3,水平,3,次重复测定值,因素,重复,1,重复,2,重复,3,A,1,y1,y2,y3,A,2,y4,y5,y6,A,3,y7,y8,y9,单因素试验数据资料格式,和,y1+y2+y3,K,1,y4+y5+y6,K,2,y7+y8+y9,K,3,3.2.2,不考虑交互作用等水平正交试验方差分析,例：自溶酵母提取物是一种多用途食品配料。为探讨啤酒酵母的最适自溶条件，安排三因素三水平正交试验。试验指标为自溶液中蛋白质含量（）。试验因素水平表见表,10-22,，试验方案及结果分析见表,10-23,。试对试验结果进行方差分析。,水 平,试验因素,温度（）,A,pH,值,B,加酶量（）,C,1,50,6.5,2.0,2,55,7.0,2.4,3,58,7.5,2.8,表,10-22,因素水平表,处理号,A,B,C,空列,试验结果,yi,1,1,（,50,）,1,（,6.5,）,1,（,2.0,）,1,6.25,2,1,2,（,7.0,）,2,（,2.4,）,2,4.97,3,1,3,（,7.5,）,3,（,2.8,3,4.54,4,2,（,55,）,1,2,3,7.53,5,2,2,3,1,5.54,6,2,3,1,2,5.5,7,3,（,58,）,1,3,2,11.4,8,3,2,1,3,10.9,9,3,3,2,1,8.95,K,1j,15.76,25.18,22.65,20.74,K,2j,18.57,21.41,21.45,21.87,K,3j,31.25,18.99,21.48,22.97,K,1j,2,248.38,634.03,513.02,430.15,K,2j,2,344.84,458.39,460.10,478.30,K,3j,2,976.56,360.62,461.39,527.62,表,10-23,试验方案及结果分析表,（,1,）计算,计算各列各水平的,K,值,计算各列各水平对应数据之和,K,1j,、,K,2j,、,K,3j,及其平方,K,1j,2,、,K,2j,2,、,K,3j,2,。,计算各列偏差平方和及自由度,同理，,SS,B,=6.49,，,SS,C,=0.31,SSe,=0.83,（空列）,自由度：,df,A,df,B,df,C,df,e,3-1=2,计算方差,（,2,）显著性检验,根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，结果见表,10-24,变异来源,平方和,自由度,均方,F,值,Fa,显著水平,A,45.40,2,22.70,79.6,F,0.05(2,4)=6.94,*,B,6.49,2,3.24,11.4,F,0.01(2,4)=18.0,*,C,0.31,2,0.16,误差,e,0.83,2,0.41,误差,e,1.14,4,0.285,总和,53.03,表,10-24,方差分析表,因素,A,高度显著，因素,B,显著，因素,C,不显著。因素主次顺序,A-B-C,。,（,3,）优化工艺条件的确定,本试验指标越大越好。对因素,A,、,B,分析，确定优水平为,A,3,、,B,1,；因素,C,的水平改变对试验结果几乎无影响，从经济角度考虑，选,C,1,。优水平组合为,A,3,B,1,C,1,。,即温度为,58,，,pH,值为,6.5,，加酶量为,2.0%,。,3.2.3,考虑交互作用正交试验方差分析,例：用石墨炉原子吸收分光光度法测定食品中的铅，为了提高测定灵敏度，希望吸光度越大越好，今欲研究影响吸光度的因素，确定最佳测定条件。,（,1,）计算,计算各列各水平对应数据之和,K,1j,、,K,2j,及（,K,1j,-,K,2j,）；计算各列偏差平方和及自由度。,表,10-25,试验方案及结果分析表,试验号,A,B,AB,C,AC,BC,空列,吸光度,1,1,1,1,1,1,1,1,2.42,2,1,1,1,2,2,2,2,2.24,3,1,2,2,1,1,2,2,2.66,4,1,2,2,2,2,1,1,2.58,5,2,1,2,1,2,1,2,2.36,6,2,1,2,2,1,2,1,2.4,7,2,2,1,1,2,2,1,2.79,8,2,2,1,2,1,1,2,2.76,K,1j,9.9,9.42,10.21,10.23,10.24,10.12,10.19,K,2j,10.31,10.79,10,9.98,9.97,10.09,10.02,K,1j,-K,2j,-0.41,-1.37,0.21,0.25,0.27,0.03,0.17,SS,j,0.021,0.235,0.0055,0.0078,0.0091,0.0001,0.0036,变异来源,平方和,自由度,均方,F,值,临界值,Fa,显著水平,A,0.0210,1,0.021,6.82,F,0.05(1,3,),=10.13,B,0.2346,1,0.235,76.19,F,0.01(1,3,),=34.12,*,AB,0.0055,1,0.006,C,0.0078,1,0.008,2.53,A,C,0.0091,1,0.009,2.96,B,C,0.0001,1,0.000,误差,e,0.0036,1,0.004,误差,e,0.0092,3,0.00306,总 和,0.2818,表,10-26,方差分析表,（,2,）显著性检验,因素,B,高度显著，因素,A,、,C,及交互作用,AB,、,AC,、,BC,均不显著。各因素对试验结果影响的主次顺序为：,B,、,A,、,A,C,、,C,、,A,B,、,B,C,。,（,3,）优化条件确定,交互作用均不显著，确定因素的优水平时可以不考虑交互作用的影响。对显著因素,B,，通过比较,K,1B,和,K,2B,的大小确定优水平为,B,2,；同理,A,取,A,2,，,C,取,C,1,或,C,2,。优组合为,A,2,B,2,C,1,或,A,2,B,2,C,2,。,方差分析可以分析出试验误差的大小，从而知道试验精度；不仅可给出各因素及交互作用对试验指标影响的主次顺序，而且可分析出哪些因素影响显著，哪些影响不显著。对于显著因素，选取优水平并在试验中加以严格控制；对不显著因素，可视具体情况确定优水平。但极差分析不能对各因素的主要程度给予精确的数量估计。,