ARMA时间序列模型及SPSS应用

单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,南方医科大学,Southern Medical University,#,ARMA,时,间,间,序,序,列,列,模,模,型,型,及,及,其,其,相,相,关,关,应,应,用,用,段,晓,晓,曼,曼,吴,艾,艾,茜,茜,黄衍,超,超,2017.12.07,提,纲,纲,时,间,间,序,序,列,列,模,模,型,型,的,的,概,概,念,念,模,型,型,的,的,识,识,别,别,模,型,型,阶,阶,数,数,的,的,确,确,定,定,模,型,型,参,参,数,数,的,的,估,估,计,计,模,型,型,的,的,检,检,验,验,模,型,型,的,的,应,应,用,用,2,3,一,、,、,时,时,间,间,序,序,列,列,模,模,型,型的,概,概,念,念,时,间,间,序,序,列,列,的,的,概,概,念,念,时,间,间,序,序,列,列,是,是指,将,将同,一,一,统,统,计,计指,标,标,的,的,数,数,值,值,按,按,其,其,发,发,生,生,的,的时,间,间,先,先,后,后,顺,顺,序,序,排,排,列,列而,成,成的,序,序,列,列,。,。,时,间,间,序,序,列,列,分,分,析,析的,主,主,要,要,目,目,的,的,是,是,根,根,据,据,已,已,有,有,的,的,历,历,史,史,数,数,据,据,对,对,未,未,来,来,进,进,行,行预测。,4,2000-2013,年我国,GDP,增长图,*,公开数,据,据整理,ARMA,模型的,概,概念,ARMA,模型（自回归,滑,滑动平,均,均模型，,Auto-Regressiveand MovingAverage Model,）是研,究,究时间,序,序列的,重,重要方法。,1976,年，英,国,国统计,学,学家,G.E.P.Box,和英国,统,统计学,家,家,G.M.Jenkins,联合出,版,版了,时间序,列,列分析,预测和,控,控制,一书，,在,在总结,前,前人的,研,研究的,基,基础上,，,，系统,地,地阐述,了,了,ARMA,模型的识别、,估,估计、,检,检验及,预,预测的原理,和,和方法,，,，成为,时,时间序,列,列分析,的,的核心,，,，故,ARMA,模型也,称,称为,Box-Jenkins,模型。,5,ARMA,模型的,概,概念,ARMA,是一种单变量,、,、同方,差,差的线性模,型,型，对,于,于满足有限参,数,数线形模,型,型的平稳时,间,间序列，主要,有,有以下,三,三种基,本,本形式,：,：,自回归,模,模型（,AR:Auto-regressive,）,移动平,均,均模型,（,（,MA:Moving-Average,）,混合模,型,型（,ARMA:Au,to-,regressiveMoving-Average,）,6,平稳时,间,间序列,：,：统计,量,量的统,计,计规律,不,不随时,间,间变化,。,。,设,为,为零均值的实平,稳,稳时间,序,序列，阶数为,p,的自回归,模,模型定义,为,为：,7,AR,模型,模型简记,为,为,，,，是时间,序,序列,自,自身,回,回归的表,达,达式，所,以,以称为自,回,回归模型,。,。,其中，,是,是独,立,立同分布,的,的随机变,量,量序列，,且,且满足,，,，,也,也,称,称白噪声,序,序列。,为了方便,表,表示，引,进,进延迟算,子,子的概念,。,。令：,则自回归,模,模型可写,为,为：,其中：,对于模型,：,：,8,AR,模型,若满足条,件,件：,的,的根全,在,在单位圆,外,外，即所,有,有根的模,都,都大于,1,，则称此,条,条件为,AR(,p,),模型的平稳性条,件,件。,当模型满,足,足平稳性,条,条件时，存在且一般是,B,的幂级数,，,，于是模,型,型又可写,为,为：,设,为,为零均值的实平稳,时,时间序列,，,，阶数为,q,的滑动平均模型定义,为,为：,9,模型简记,为,为,。,。同样为了,方,方便表示,，,，引进延,迟,迟算子的,概,概念。令,：,：,则滑动平,均,均模型可,写,写为：,其中：,MA,模型,若满足条,件,件：,的,的根全,在,在单位圆,外,外，则称,此,此条件为,MA(,q,),模型的可逆性条,件,件，此时,存在且一般是,B,的幂级数,，,，于是模,型,型又可写为：,10,AR,与,MA,模型的比,较,较,自回归模,型,型：,意义在于仅通,过,过时间序,列,列变量的自身历史观测值来反映有,关,关因素对,预,预测目标,的,的影响和作用，不,一,一定平稳,。,。,滑动平均,模,模型：,意义在于用过去各个时期,的,的随机干扰（白噪声,）,）或预测误差,的,的线性组合来表达当,前,前预测值，但具,有,有不一定,可,可逆性。,11,ARMA,模型,设,为,为零均,值,值的实平,稳,稳时间序,列,列，,p,阶自回归,q,阶滑动平,均,均混合,模型定义为：,=,模型简记为,ARMA(,p,q,).,显然，当,q,=0,时，,ARMA(,p,q,),模型就是,AR(,p,),模型；,显然，当,p,=0,时，,ARMA(,p,q,),模型就是,MA(,q,),模型；,ARMA(,p,q,),模型的平,稳,稳性只依,赖,赖于,AR,部分；,ARMA(,p,q,),模型的可,逆,逆性只依,赖,赖于,MA,部分；,12,二、模型的,识,识别,13,MA,模型的自,相,相关函数,阶数为,q,的滑动平,均,均模型定,义,义为：,根据自相,关,关函数的,定,定义：,因为,所以自相,关,关函数变,为,为三项：,14,MA,模型的自,相,相关函数,对于：,分以下几,种,种情况讨,论,论：,1,）当,k,=0,时，有,2,）当时，有,3,）当,kq,时，有,从上述性质,可,可以看出,，,，,MA(,q,),序列的自,相,相关系数,在,在,kq,时全为,0.,这种性质,称,称为,q,步截尾性，表明序,列,列只有,q,步相关性,。,。,15,AR,模型的自,相,相关函数,阶数为,q,的自相关,模,模型定义为：,根据自相,关,关函数的,定,定义：,令,k=,1,2,p,得自相关,系,系数：,从上述性质,可,可以看出,，,，,AR(q),序列的自,相,相关系数,随,随,着,着,k,的增大始,终,终不为,0,.,这种性质,称,称为拖尾性，并且是,呈,呈负指数,衰,衰减。,16,ARMA,模型的自,相,相关函数,ARMA(,p,q,),模型的自,相,相关系数,，,，可以看,做,做,AR(,p,),模型的自,相,相关函数,和,和,MA(,q,),模型的自,相,相关系数,的,的混合物,。,。,当,p,=0,时，它具,有,有截尾性,质,质；,当,q,=0,时，它具有拖尾,性,性质；,当,p,，,q,均,不,不,为,为,0,时,，,，,如,如,果,果,当,当,p,q,均,大,大,于,于,或,或,者,者,等,等,于,于,2,，,其,其,自,自,相,相,关,关,函,函,数,数,的,的,表,表,现,现,形,形,式,式,比,比,较,较,复,复,杂,杂,，,，,有,有,可,可,能,能,呈,呈,现,现,出,出,指,指,数,数,衰,衰,减,减,、,、,正,正,弦,弦,衰,衰,减,减,或,或,者,者,二,二,者,者,的,的,混,混,合,合,衰,衰,减,减,，,，,但,但,通,通,常,常,都,都,具,具,有,有拖,尾,尾,性,性,质,质。,17,偏,相,相,关,关,函,函,数,数,从,上,上,面,面,的,的,讨,讨,论,论,可,可,知,知,，,，,对,对,于,于,自,自,相,相,关,关,函,函,数,数,，,，,只,只,有,有,MA(,q,),模,型,型,是,是截,尾,尾的,，,，,AR(,p,),和,ARMA(,p,q,),模,型,型,是,是拖,尾,尾,的,。,。,为,为,了,了,进,进,一,一,步,步,区,区,分,分,AR(,p,),模,型,型,和,和,ARMA(,p,q,),模,型,型,，,，,我,我,们,们,引,引,入,入,了,了,偏,偏,相,相,关,关,函,函,数,数,的,的,概,概,念,念,。,。,对,于,于零,均,均,值,值,的,的,平,平,稳,稳,时,时,间,间,序,序,列,列中,，,，给,定,定，,则,则,之,之,间,间,的,的,偏,偏,相,相,关,关,函,函,数,数,定,定,义,义,为,为,：,：,注,意,意,：,：,此,此,时,时,的,的,期,期,望,望,指,指,的,的,是,是,条,条,件,件,期,期,望,望,。,。,18,AR,模型偏相关,函,函数,设,为,为零均值的实平稳时,间,间序列，设,它,它满足,AR(,p,),模型：,用,乘,乘上式,两,两边，当给,定,定,时,时，取,条,条件期望得,：,：,因为,k0,时，,，,，且有,故,显然,即,即,为,为,AR(,p,),序列的偏相,关,关函数，同,时,时它又是,AR(,p,),模型的最后,一,一个回归系,数,数。当,kp,时，有,，,，也即是截尾的。,19,ARMA,模型偏相关,函,函数,ARMA,模型的偏相,关,关函数求解,方,方法和上述,略,略有不同，,考,考虑用,对,做,做最小方差估,计,计来求,ARMA(,p,q,),序列,(,把,MA(,q,),看作是,p,=0,的特例,),的偏相关函,数,数,，,，同,时,时推出偏相,关,关函数与自,相,相关函数的,关,关系。,当,k,p,时，,即,ARMA,模型和,MA,模型都是拖,尾,尾的。,20,平稳时间序,列,列的类型识,别,别,类别,模型,AR(,p,),MA(,q,),ARMA(,p,q,),模型方程,平稳条件,的根全在单位圆外,无条件平稳,的根全在单位圆外,自相关函数,拖尾,截尾,拖尾,偏相关函数,截尾,拖尾,拖尾,21,三、模型阶,数,数的确定,22,讨论：,如何用样本,自,自相关函数,来,来推断模型,的,的阶。,模型阶数的,确,确定,23,样本的自相关函数,样本自相关,函,函数定义为,：,：,模型阶数的,确,确定,（式,1,）,由样本值求,出,出样本自相,关,关函数,由正态分布,的,的性质知，,或,在实际应用,中,中，因为,q,一般不是很,大,大，而,N,很大，此时,常,常取,或,25,25,或,（,3,）,ARMA(,p,q,),模型的阶数,p,和,q,难于确定，,一,一般采用由,低,低阶到高阶,逐,逐个试探，,如,如取,(,p,q,),为,(1,1),，,(1,2),，,(2,1),，,直到经验证,认,认为模型合,适,适为止。,26,四、模型参,数,数的估计,27,当选定模型,及,及确定阶数,后,后，进一步,地,地问题是要,估,估计出模型,的,的未知参数,。,。参数估计,方,方法有矩法、最小二乘,法,法、极大似,然,然法等。,模型参数的,估,估计,28,模型参数的,估,估计,写成矩阵式,为,为,（式,2,）,（式,3,）,推导见课本,P135,AR(,p,),模型的参数,估,估计,29,利用,(,式,2),，,(,式,3),将参数换成,它,它们的估计,，,，,模型参数的,估,估计,AR(,p,),模型的参数,估,估计,30,模型参数的,估,估计,将参数换成,它,它们的估计,，,，,可直接求解,，,，也可迭代,求,求解。,MA(,q,),模型的参,数,数估,计,计,MA(,q,),序列,的协,方,方差,函,函数,表,表达,式,式,31,模型,参,参数,的,的估,计,计,首先,，,，利,用,用（,式,式,4,），,将,将参,数,数换,成,成它,们,们的,估,估计,（式,4,）,ARMA(,p,q,),模型的参,数,数估,计,计,32,然后,，,，令,模型,参,参数,的,的估,计,计,ARMA(,p,q,),模型的参,数,数估,计,计,33,五、,模,模型,的,的检,验,验,34,模型,的,的检,验,验,35,模型,的,的检,验,验,M,取,N/10,左右,36,六、,模,模型,的,的应用,37,时间,序,序列,或,或动,态,态数,据,据是,依,依时间顺序先后排列,的