线性系统的频域分析方法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,自动控制原理,（,A),引言,(1),高阶系统,的分析,难以进行,；,(2),当系统某些元件的,传递函数难以列写,时，整个系统的分析工作将,无法进行,；,用,时域法,分析系统的性能比较直观、准确，但是求解系统的时域响应往往比较繁杂。,1.,时域分析法的缺点,频域分析法,是二十世纪三十年代发展起来的,研究自动控制系统的一种,经典工程实用,方法,。,是一种利用,频率特性,进行控制系统分析的,图解方法,，可方便地用于控制工程中的,系统分析与设计,。,2.,频域,分析,法,频域性能指标,与,时域性能指标,之间有着,内在的联系,，通过这种内在联系，可以由系统的频域性能指标求出时域性能指标或反之。因此，频域分析法与时域分析法是,统一的,。,频域分析法,的优点,(1),不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解法来研究系统的稳定性。,由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而形象直观且计算量少,。,(2),系统的频率特性可用实验方法测出。,频率特性有明确的物理意义，它可以用实验方法来测定,，,这对于难以列写微分方程式的元件或系统来说，具有重要的实际意义。,(3),频域分析法不仅适用于线性定常系统的分析研究，还可以推广应用于某些非线性控制系统。,(4),便于系统分析和校正。,根据系统的频率性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，,便于分析和校正。,2.,频域,分析,法,第五章 线性系统的频域分析法,本章主要内容：,5.1,频率特性,5.2,典型环节和开环频率特性曲线的绘制,5.3,频率域稳定判据,5.4,稳定裕度,5.5,闭环系统的频域性能指标,6,第五章 线性系统的频域分析法,本章要求：,正确理解基本概念；,掌握开环频率特性曲线的绘制；,熟练运用频率域稳定判据；,掌握稳定裕度的概念；,了解闭环频域性能指标。,5.1,频率特性,本节主要内容：,1,、,频率特性的基本概念,2,、,频率特性的几何表示,G(S),R(s),C(s),系统结构图如图,:,设系统传递函数为,特征方程的根。,G(s)=,(S-S,1,)(S-S,2,),(S-S,n,),U(s),r(t)=Asin,t,S,1,S,2,S,n,输出响应,c(t)?,R(s)=,A,S,2,+,2,C(s)=G(s)R(s),C(s)=,(S-S,1,)(S-S,2,),(S-S,n,),U(s),A,S,2,+,2,一、频率特性的基本概念,1.,频率特性的定义,C(s)=,A,2,S,j,A,1,S+j,B,i,S,S,i,n,i=1,+,+,c(t)=A,1,e,-j,t,e,j,t,+A,2,n,i=1,e,s,i,t,+,B,i,将,C(s),按部分分式展开,:,拉氏反变换得,:,设系统是稳定的，即,S,1,S,2,S,n,的实部均小于零。,系统的稳态响应为,c,s,(t) = lim c(t) = A,1,e,-j,t,e,j,t,+A,2,t,求待定系数,:,A,1,= G(s),A,S,2,+,2,( S +j,),S =-j,= G(-j,),-2j,A,=,-2j,A|G(j,)|,e,-j,G(j,),同理,:,A,2,= G(j,),2j,A,=,2j,A|G(j,)|,e,j,G(j,),代入,-,2j,c,s,(t) = A,|G(j,)|,e,j,G(j,),t+,e,-j,G(j,),t+,=A|G(j,)| sin,G(j,),t,+,A,1,系统正弦信号作用下的稳态,输出是与输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅值之比为,|G(j)|,稳态输出与输入间的相位差,为,G(j,),。,系统输入输出曲线,r(t),t,0,c(t),r(t),c(t),A,A,G(j,),=,(,),G(j,),定义,:,系统的幅频特性：,系统的相频特性：,系统的频率特性,：,G(j,)=G(s),S =j,j,G(j,),=|G(j,)|,e,=,A(,),e,j,(,),A(,),=|G(j,)|,=,(,),G(j,),-,幅频特性,幅频特性曲线,幅频特性：,在正弦信号输入下，稳态输出与输入的幅值之比。,1.0,0,A,(,w,),w,线性系统,G,(,s,),频率特性的物理意义：,稳定系统的频率特性等于输出和输入的幅值和相位的,变化,，这就是频率特性的物理意义。,-,相频特性,相频特性曲线,相频特性：,在正弦信号输入下，稳态输出与输入正弦信号的,相位差,。,j,(,w,),w,线性系统,G,(,s,),右图为,RC,滤波网络，设电容,C,的初始电压为,u,o,取输入信号为正弦信号 ，曲线如图所示。,R,C,u,i,(,t,),u,o,(,t,),+,-,+,-,i,(,t,),当响应呈稳态时，可以看出仍为正弦信号，频率与输入信号相同，幅值较输入信号有一定衰减，相位存在一定延迟。,A,B,R,C,u,i,(,t,),u,o,(,t,),+,-,+,-,i,(,t,),其微分方程是,网络的传函,输出电压的瞬态分量,稳态分量,右图,RC,网络输入,频率响应,随着,t,趋于无穷大,瞬态分量趋于零,于是,都是频率,的函数,幅频特性,相频特性,1A,0,0.2A,0.4A,0.6A,0.8A,A(,),1,2,3,4,5,T,T,T,T,T,0,-80,-60,-40,-20,0,(,),1,2,3,4,5,T,T,T,T,T,幅频特性,和,相频特性,统称为,频率特性,频率特性,:,线性定常系统的频率特性是,零初始条件下,稳态输出正弦信号与输入正弦信号的,复数比,(,频域）。,2.,介绍几个名词：,幅值比,：同频率下输出信号与输入信号的幅值,之比。,B/A,相位差,：同频率下输出信号的相位与输入信号,的相位之差。,幅频特性,：,幅值比与频率之间的关系。,相频特性,：,相位差与频率之间的关系。,幅相特性,：,将幅频和相频画到一起。,矢量端点的轨迹,。,3.,求取频率特性的方法：,实验法,利用传递函数求频率特性的方法：,系统的频率特性,G,(,j,),可以通过系统的传,递函数,G,(,s,),来求取：,利用传递函数求,已知系统的方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比,一般不用,例,1:,设单位反馈控制系统的开环函数为 ，若输入信号为： ，试求,(1),稳态输出,c,ss,(t) (2),稳态误差,e,ss,(t)?,解,:,(1),稳态输出：,(2),稳态误差：,将,G,(,j,),写成复数形式：,-,实频特性,-,虚频特性,幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间的关系：,4.,频率特性的表示法,1.,幅频,相频形式,:,G,(j)=|,G,(j)|,G,(j),2.,实频,虚频形式,:,G,(j)=P()+jQ(),3.,三角函数形式,:,G,(j)=,A,(,)cosj(,)+j,A,(,)sinj(,),4.,指数形式,:,G(j)=A(,)e,j,(,),频率特性的表示法,由于频率特性是传递函数的一种特殊形式，因而它和传递函数、微分方程一样，可以表征系统的运动规律，是描述系统的又一种数学模型。,5.,频率特性与其它数学模型的关系,微分方程,频率特性,传递函数,脉冲函数,例,2,：设传递函数为：,微分方程为：,频率特性为：,频率特性的,极坐标图,（幅相图）,/,奈魁斯特图,频率特性的,对数坐标图,/,伯德图,频率特性的,对数幅相图,/,尼柯尔斯图,二、 频率特性的几何表示法,系统的开环频率特性通常有三种表达形式,:,1.,通过频率特性,G,(,j,),的模,|,G,(,j,)|,与相位,G,(,j,),在极坐标中表示的图形,称为,极坐标图,(,Polar plot,),或奈魁斯特图,(,Nyquist plot,),。,2.,通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形,称为,对数坐标图,(,Logarithmic plot,),或伯德图,(,Bode plot,),。,3.,用伯德图中的幅频特性与相频特性统一绘制成的图形来表示系统的频率特性。这种表达频率特性的图形称为,对数幅相图（,Log-magnitude-phase diagram,）或尼柯尔斯图,(,Nichols chart,),。,1.,极坐标图,当,：,0,时，向量,G,(,j,)的幅值|,G(,j,)|和相角,j,(,),随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为,极坐标图,或,Nyqusit,图（奈氏图）,。,以横轴为实轴、纵轴为虚轴。,-,幅相频率特性曲线（,Nyqusit,曲线）,是,的偶函数，,是,的奇函数，,因此，,：,0-,时，,G,(-,j,)与,G,(,j,)关于实轴对称。,G,(,j,w,2,),G,(,j,w,1,),w,0,Re,Im,共轭,对称,共轭,对称,一般作图方法,(1),手工绘制,取,=0,和,=,两点，必要时还应在,0,1,时,20,lg,K,K=1,时,20,lg,K,K1,时,2,惯性环节,传递函数和频率特性,幅频特性和相频特性,G(s)=,1,Ts+1,G(j,)=,1,j,T+1,A(,)=,1,1+(,T,),2,(,)=-tg,-1,T,(1),奈氏图,绘制奈氏图近似方法,:,根据,幅频特性和相频特性,求出特殊点,然后将它们平滑连接起来,.,=,A(,)=0,(,)=-90,o,惯性环节的奈氏图,=0,A(,)=1,(,)=0,o,取特殊点：,1,=,T,A(,)=0.707,(,)=-45,o,可以证明：,惯性环节的奈氏图是以,(1/2,jo),为,圆心，以,1/2,为半径的半圆。,Re,Im,0,0.707,1,=,T,=0,-45,整理得：,证 明,:,传递函数,幅频特性：,相频特性：,0,K,(2),伯德图,1 / T,频段,可用,0dB,渐近线近似代替。,L(,)=20lg,1,1+(,T,),2,1,T,(,T,),2,1,T,(,T,),2,1,20lg,T,1,L(,),=-20lg,T,1 / T,频段，可用,-20dB/dec,渐近线近似代替,两条渐近线相交点的频率为,转折频率,=1 / T,。,渐近线,所产生的,最大误差值为：,L(,)=20lg,1,1+(,T,),2,2,1,=20lg =-3.03dB,L(,)/dB,渐近线,转折,/,交接频率,渐近线,精确曲线,-20,0,20,-20dB/dec,T,1,10T,1,10,T,相频特性曲线：,=0,(,)=0,o,(,)=-45,o,=1/T,(,)=-90,o,0,-45,-90,(),w,T,0.01,0.02,0.05,0.1,0.2,0.3,0.5,0.7,1.0,j,(,w,),-0.6,-1.1,-2.9,-5.7,-11.3,-16.7,-26.6,-35,-45,w,T,2.0,3.0,4.0,5.0,7.0,10,20,50,100,j,(,w,),-63.4,-71.5,-76,-78.7,-81.9,-84.3,-87.1,-88.9,-89.4,传递函数,:,对数幅频特性,，为对数幅频特性的高频段,相频特性,渐近线,精确曲线,转折频率,当,，为对数幅频特性的低频段,当,，为对数幅频特性的转折点,转折频率,3,积分环节,传递函数和频率特性,幅频特性和相频特性,(1),奈氏图,积分环节奈氏图,G(s)=,1,S,G(j,)=,1,j,A(,)=,1,(,)=-90,o,0,(2),伯德图,对数幅频特性：,对数相频特性：,积分环节的伯德图,L(,)=20lgA(,),=-20lg,(,)=-90,o,(,),1,0.1,10,0,-90,L(,)/dB,1,0.1,10,0,20,-20,40,-20dB/dec,分析：,w,=1 , L=0,db,w,=10 , L=-20,db,db,40,20,0,-20,-40,0.1,1.0,10,100,0.01,0.1,1.0,10,100,0.01,传递函数,:,G,(,s,) =1,/s,对数幅频特性,L(,w,) = -20,lg,w,相频特性,分析：,w,=1 , L=0,db,w,=10 , L=-20,db,4,微分环节,传递函数和频率特性,幅频特性和相频特性,(1),奈氏图,微分环节奈氏图,G(s)=S,G(j,)=j,A(,)=,(,)=90,o,0,= 0,=,(2),伯德图,微分环节的伯德图,对数幅频特性：,对数相频特性：,L(,)=20lgA(,),=20lg,(,)=90,o,(,),1,0.1,10,L(,)/dB,1,0.1,10,0,20,-20,20dB/dec,0,90,5,一阶微分环节,传递函数和频率特性：,幅频特性和相频特性：,G(s)=1+Ts,G(j,)=1+j,T,A(,)=,1+(,T,),2,(,)=tg,-1,T,(1),奈氏图,1,Re,Im,0,=0,一阶微分环节奈氏图,=0,A(,)=1,(,)=0,o,=,A(,)=,(,)=90,o,-,转折,/,交接频率,高频渐近线斜率为,20,dB/Dec,对数幅频特性：,相频特性：,低频渐近线为,0,dB,的水平线,(2),伯德图,db,30,20,10,0,-10,0.05 0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5 10 20,0.05 0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5 10 20,对数幅频特性：,L(,)=20lg,1+(,T,),2,一阶微分,环节的频率特性与惯性环节成反比,所以它们的,伯德图对称于横轴,.,G(j,)=1+j,T,1+j,T,G(j,)=,1,L(,)=20lg,1+(,T,),2,1,db,30,20,10,0,-10,0.05 0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5 10 20,0.05 0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5 10 20,微分,环节,惯性环节,二阶微分环节,（）奈氏图,-,转折,/,交接频率,（）伯德图,高频渐近线斜率为,40,dB/Dec,对数幅频特性：,相频特性：,低频渐近线为,0,dB,的水平线,伯德图,振荡环节,传递函数和频率特性：,幅频特性和相频特性：,G(s)=,s,2,+2,n,2,n,s+,n,2,G(j,)=,n,2,n,2,-,2,+,j,2,n,A(,)=,(,n,n,2,2,-,2,),2,+(2,n,),2,=,(1-,2,n,1,),2,2,2,n,),2,+(,振荡环节的奈氏图,(1),奈氏图,=0,A(,)=1,(,)=0,o,Re,Im,0,1,=0,=,n,=0.8,=0.6,=0.4,=,n,(,)=-90,o,=,A(,)=0,(,)=-180,o,A(,)=,2,1,振荡环节的频率特性曲线因,值的,不同而异,.,(2),伯德图,对数幅频特性：,(1- ),2,+( ),2,2,n,2,2,n,1,L(,)=20lg,n,L(,),-,40lg,n,对数相频特性：,=0,(,)=0,o,(,)=-90,o,=,n,(,)=-180,o,转,折频率,=,n,=0.1,=0.5,=0.2,=0.3,=0.7,=1,当,1,时,即高频段渐近线,当,K,j,例,2:,设某,型,系统的开环传函为：,(,K,T,1,T,2,0),，试绘制其开环极坐标图。,解：,分析：,1.,w,=0,时,当,0,时，,G,(j,),渐近线,是一条通过实轴,-,K,(,T,1,+,T,2,),，且平行于虚轴的直线。,2.,当,w,时,3.,与实轴的交点,令：,Q,(,w,),=0,解得：,交点为：,Im,Re,极坐标图：,98,幅值和相角分别为,:,先绘制惯性环节,G,1,(,j,),的极坐标图,在每一个频率,上幅值保持不变,相角,再增加,-,即得该系统的奈氏图,例,3,系统开环传递函数是,试绘制其极坐标图。,例,4,已知系统的开环传递函数试 画出,该系统的开环幅相特性曲线。,解：,n=m,G(s)=,K,(1+,s),1+Ts,1+(,),2,1+(,T,),2,K,A(,)=,(,)=,tg,-1,-,tg,-1,T,1),T,=0,A(,)=,K,(,)=0,o,0,A(,),K,(,)0,o,=,A(,),K,(,)=0,o,K,T,=,K,=0,Re,0,Im,T,的,奈氏图,2),0,A(,),K,(,)0,o,=,A(,),K,(,)=0,o,N,为正值,，包围方向为,逆时针,;,若,P,N,为负值,，包围方向为,顺时针,。,这种映射关系,称为映射定理。,一般情况：,设系统的特征方程为,F,(,s,)=1+,G,(,s,),H,(,s,)=0,代入特征方程,得,其开环传递函数,特征函数,1)F(s),的分子与分母多项式的阶次相同；,2)F(s),的极点就是开环传递函数的极点,；,3)F(s),的零点就是闭环传递函数的极点,；,4),复平面,F,与复平面,GH,只相差常数,1,，,F,平面,的原点就是,GH,平面的,(-1,j0),点。,特点：,闭环系统稳定的,充分和必要条件,是：,系统特征方程式的根,即,F,(,s,),的零点,都位,于,S,平面的左半平面,或者说,F,(,s,),的所,有零,点都不在,S,平面的右半平面内,。,s,平面上的封闭曲线,s,s,包围了根平面的整个不稳定区。,称作,奈氏轨迹。,开环传函中无,s=0,极点,F,（,j,）,=1+G(j,)H(j,),G(j,)H(j,),的映射：,的映射：,以实轴为对称,在,s,平面上的奈氏轨迹线,顺时针包围,F(s),的,P,个极点和,z,个零点,，那么奈氏轨迹线映射到,GH,平面的,GH,(,j),为,逆时针包围,(-1,，,j0),点,N,周,，且,N=P-Z,。,式中：,Z,闭环系统不稳定的特征根的个数；,P,开环传递函数不稳定极点的个数。,二、奈魁斯特稳定判据,关于奈魁斯特稳定判据的说明：,P,=,(,即开环是稳定的）,如果系统闭环是稳定的，则,Z=0,，所以,N,必为,0,也即开环频率特性曲线,G(j,),不包围,(-1,j,0),点；,(2),P,0,（即开环不稳定）,若使系统闭环稳定则,Z=0,，所以,N=P-Z,=,P,即开环频率特性曲线,G(j,),逆时针包围,(-1,j,0),点,P,周,（,3,）,G(j,),通过,(-1,j,0),点,时，系统处于,临界稳定状态,。,反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合曲线,GH,不穿过,(-1,j0),点且,逆时针,包围临界点,(-1,j0),圈数,R,等于开环传递函数的正实部极点数