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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,中国矿业大学信息与电气工程学院李会军,*,*,第二章,：,控制系统的数学模型授课人：李会军,本章内容提纲,内容提纲,拉普拉斯变换的基本知识,控制系统的数学模型,控制系统的典型环节及其传递函数,控制系统的结构图,信号流图与梅森公式,2,内容回顾,部分分式展开法,一般来说，象函数 是拉普拉斯算子 的有理代数分式，可以表示如下：,式中，系数 都是常实数，是正整数，且 ，为了将 象函数写成部分分式形式，首先将 的分母进行因式分解：,3,内容回顾,部分分式展开法,当 无重根,象函数可以展开为 个简单部分分式之和，如下所示：,式中，为待定常数，称为 在极点 处的留数，计算公式如下：,其中，是 对 的一阶导数,对象函数求拉氏变换，可得原函数为：,4,内容回顾,部分分式展开法,有重根,假设 有 个重根 ，则 可以写为：,其中，为 个重极点，为 个非重极点；为非重极点对应的待定常数系数，可按照无重根的方式求解：,5,内容回顾,部分分式展开法,为 个重极点对应的待定系数，可按如下方式求出：,因此，原函数 为：,6,内容回顾,从微分方程到传递函数,线性定常连续系统的微分方程如下所示：,其中，是输出量，是输入量；,零初始条件,下，拉式变换的微分定理为：,在零初始条件下，对线性系统的微分方程进行拉式变换：,7,内容回顾,从微分方程到传递函数,传递函数定义：在,零初始条件,下，线性系统,输出量拉氏变换,与,输入量拉氏变换,之比称为系统的传递函数，即：,称为系统输出量对输入量的传递函数,利用传递函数，可将输出量的拉氏变换表示为输入量拉氏变换和传递函数之间的乘积,8,内容回顾,特征方程与特征根,传递函数的一般形式如下所示：,其中：,称为系统的,特征方程,，特征方程的解称为系统的,特征根,；特征方程决定着系统的动态特性；,当 时，称为系统的,放大系数,或,增益,；,9,典型环节及其传递函数,一个完整的控制系统可以在逻辑上划分为若干个模块(环节)，控制系统中比较典型的环节有如下几个：,比例环节,积分环节,微分环节,惯性环节,一阶微分环节,二阶微分环节,振荡环节,延迟环节,10,典型环节及其传递函数比例环节,比例环节(又称,放大环节,),特点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象；,运动方程：，其中 称为放大系数，一般来讲都是有量纲的；,传递函数：，其中 分别为 的拉氏变换；,框图：,11,典型环节及其传递函数比例环节,比例环节示例,示例1：求取电位计输出电压对转动弧度的传递函数,输入量：转动角度,输出量：输出电压,恒定电压,运动方程：,传递函数：,其中：为比例系数，量纲为伏/弧度,12,典型环节及其传递函数比例环节,比例环节示例,示例2：求齿轮系统的传递函数,主动齿轮齿数,被动齿轮齿数,输入量：转速,输出量：转速,运动方程：,传递函数：,13,典型环节及其传递函数比例环节,比例环节示例,示例3：其它的一些比例环节,14,典型环节及其传递函数理想微分环节,理想微分环节,特点：在系统,动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度,运动方程：,传递函数：,框图：,15,典型环节及其传递函数理想微分环节,理想微分环节示例,示例4：求解输出电压 对输入电压 的传递函数,解：根据基尔霍夫定律，可以列写系统的微分方程：,消去中间变量 ，可得系统微分方程：,对系统微分方程进行拉式变换：,得到系统的传递函数：,假设：，当 时系统的传递函数可以写成：,16,典型环节及其传递函数积分环节,积分环节,特点：,输出量的变化速度和输入量成正比(,另一种说法，输出量和输入量的积分成正比,),运动方程：,传递函数：,框图：,17,典型环节及其传递函数积分环节,积分环节示例,示例5：求电路输出电压 对输入电压 的传递函数,解：根据运算放大器“虚短”、“虚断”的电路特性，,可写出系统的微分方程如下所示：,对系统的微分方程进行拉式变换：,可得系统的传递函数如下：,18,典型环节及其传递函数惯性环节,惯性环节(又叫,惰性环节,),特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输入信号来说，输出信号不能立即复现，存在时间上的延迟(通俗来讲，就是,反应迟钝,)；,运动方程：,传递函数：,框图：,19,典型环节及其传递函数惯性环节,惯性环节示例,示例6：RC充电电路,RC充电电路的微分方程：,系统的微分方程：,进行拉普拉斯变换：,RC充电电路的传递函数：,是电路的时间常数，越小，充电越快；,20,典型环节及其传递函数惯性环节,惯性环节示例,示例7：求单容水槽的,液位变化量,对,调节阀开度变化量,的传递函数,水流入量；水流出量；,调节阀开度；水位高度；,槽内水量；槽截面积；,液阻；流量系数；,流入量与流出量之差：,阀门开度与流入量之间的关系：,流出量与液面高度之间的关系：,21,典型环节及其传递函数惯性环节,惯性环节示例,整理(1)(2)(3)式，可得系统微分方程如下：,对(4)进行拉普拉斯变换：,可得传递函数如下：,22,典型环节及其传递函数振荡环节,振荡环节,特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质；,运动方程：,传递函数：,框图：,其中，是阻尼比，是振荡环节的时间常数,23,典型环节及其传递函数振荡环节,振荡环节示例,示例8：RLC电路,RLC电路的微分方程如下：,根据电容和电感的性质，有：,可得微分方程如下：,对微分方程进行拉式变换：,可得传递函数：,24,典型环节及其传递函数振荡环节,振荡环节示例,示例9：机械振荡系统滑块位移对外部作用力的传递函数,外作用力；滑块位移；,滑块质量；弹簧弹性系数；,粘性摩擦系数；,机械系统的微分方程如下：,对微分方程进行拉式变换：,系统的传递函数：,25,典型环节及其传递函数一阶微分环节,一阶微分环节：,特点：此环节的输出量不仅与输入量本身有关，而且还与输入量的变化率有关；,运动方程：,传递函数：,框图：,一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环节的并联，其传递函数和频率特性是惯性环节的倒数,26,典型环节及其传递函数二阶微分环节,二阶微分环节,特点：输出与输入及输入一阶、二阶导数都有关；,运动方程：,传递函数：,框图：,可以看出，二阶微分环节的传递函数是振荡环节的倒数,27,典型环节及其传递函数延迟环节,延迟环节,特点：经过一个固定时间，输出信号才能复现输入信号(任何系统都有延迟，只不过延迟时间不同而已),运动方程：,传递函数：,框图：,在实际中，大量系统都存在滞后，当滞后不严重时，常忽略。但延迟较大时，不可忽略。,28,典型环节及其传递函数延迟环节,延迟环节示例,示例10：有延迟的单容水槽,无延迟单容水槽的微分方程为：,当系统具有延迟特性时，相当于调节作用,经过一个长度为 的时间延迟之后，,才对系统起作用，所以系统的微分方程为：,经过拉氏变换之后，可得传递函数：,29,典型环节及其传递函数小结,小结,不同物理性质的系统，可以有相同形式的传递函数；,例如：振荡环节中两个例子，一个是机械系统，另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同,同一个系统，当选取不同的输入量、输出量时，就可能得到不同形式的传递函数；,例如，对于电容来讲：输入-电流，输出-电压，则是积分环节；反之，输入-电压，输出-电流，则为微分环节。,30,典型环节及其传递函数小结,小结,延迟环节与惯性环节的区别,惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；,延迟环节从输入开始之初，在,0,时间内没有输出，但,t=,之后，输出完全等于输入；,31,课后作业,课后习题：2-2，2-6，2-7，2-9,32,
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