微积分学基本定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一微积分学基本定理,Newton和leibniz独立创立微积分之前，已有积分和微分的概念，它们起源不同，出现的时间有先后，解决的问题也不同，但Newton和leibniz几乎同时发现了它们的联系微积分学基本定理，从而创立了Calculus，这是里程碑式的成果。,第5节,微积分学基本定理,类似地可有“变下限积分”,称为“,变上限积分,”。,1变上限积分,，随着 在 中的变动，也在变动。且 对于 是唯一的，因此可定义在 上的一个新的函数，记为：,2微积分学基本定理,，表 的增量，表 的增量,积分中值定理,因 在 和 之间，,时，,微积分学基本定理,Th.4.1,设 在 上连续,可导，且,e.g.1,求,e.g.2,求,Remark,类似地,，,思考：,？,3原函数及其性质、不定积分,（1）原函数的概念,称满足 的函数 为 的一个原函数,e.g.,是 的一个原函数,是 的一个原函数,是 的一个原函数,（2）原函数的基本性质,即 的任意两个原函数之间只相差一个常数。,（i）若 是 的一个原函数,也是 的原函数,（ii）若 和 都是 的原函数,的所有原函数的集合称为 的,不定积分,，记为 。,即,记成 ，,（3）不定积分（indefinite integral）,只要知道 的一个原函数，就可由它表示出 的所有原函数，即不定积分。,(4)基本积分公式,设 是 的一个原函数,令,再令,也是一个原函数,4定积分的计算,Newton-leibniz公式,这即著名的,微积分学基本公式,，也称牛-莱公式，它揭示微分与积分之间的关系，表示只要求出 的一个原函数，即可求得定积分的数值。,e.g.3,计算,它给出了定积分的一种计算方法，而不必通过复杂的极限运算。,e.g.4,计算,问,：,能不能用此方法，为什么？,e.g.5,计算正弦曲线 在 上与 轴所围成的平面图形面积。,e.g.6,计算,Remark,定积分的计算取决于能否较容易地求得被积函数的原函数，这涉及到积分法，我们这里不打算多讲，可参看有关参考书。,5微分运算与积分运算的互逆性质,由不定积分概念和微积分基本定理可知，有互逆运算：,or,or,二变限积分的极限,无穷积分,若 对 有定义,可考虑 时的极限,若,称极限值为函数 在无穷区间,上的,无穷积分,(,infinite integral,)。,记为,i.e.,类似地可定义,计算无穷积分：,（i）,（ii）,e.g.7,Remark,当在 上的积分 和在 上积分 均存在时，称 在 上积分存在，记为,e.g.,概率积分,三定积分的应用、微元法,1几何应用平面图形的面积,在区间 上选取一个具代表性的“区间,微元,”，对应的面积微元为 ，i.e.,平面图形由,围成，求该平面图形的面积。,可以证明 与窄曲边形的实际面积“近似”相等（即相差一个高阶无穷小量）。,计算抛物线 与 围成的面积。,e.g.8,所求面积,Remark,上述这种用一个微元来代替精确量的计算法称为,微元法,。,它体现了“以直代曲”，“以不变代变”的思想，是微积分中一个很重要的思想。,2旋转体体积,平面图形绕着它所在平面内的一条直线旋转一周所成的立体称为,旋转体,，这条直线称为,旋转轴,。,e.g.9,考虑双曲线 在 内部分。让其绕x轴旋转，则旋转后得一曲面，求此曲面与 所围体积。,Sol.,考虑 上任一点 处，取一小微元,表面积为,此薄片相应的体积微元和表面积微元分别为,体积为,若 连续地向右移，使 ，则旋转曲面称为Gabriel喇叭。,其体积为,表面积为,表明Gabriel喇叭具有有限的体积，而有无穷的表面积。这是与“直观”不同。,3在经济学中的应用,我们已知，在经济学中，常用导数表示一些边际经济量。例如边际成本 ，边际收益 ，边际利润 等。反过来，如果已知边际量，要求总量，则可采用积分求解。,e.g.10,某商品的需求量 为价格 的函数，该商品的最大需求量为1000，已知边际需求为,，求需求量 与价格 的函数关系,。,Sol.,e.g.11,Sol.,作 业,1.P43.11(2)(3)(5)(6),2.P43.12(1)(3)(4)(5)(6),3.(补充)设生产某产品的固定成本为20元，生产,件产品的边际成本为 （元/件），试求总成本函数 。,