状态反馈控制器

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,5,章 状态反馈控制器设计,建立了状态空间模型,提出了基于状态空间模型的运动分析,探讨了系统的定性分析：,稳定性、能控性、能观性,设计控制系统！,开环控制、闭环控制,经典控制中，用系统输出作为反馈控制器的入；,根据系统信息：状态反馈、输出反馈。,5.1,线性反馈控制系统,系统模型,5.1.1 反馈控制系统结构。,v,为外部输入；,控制器：动态补偿器、静态反馈控制器。,状态反馈控制器,：,K称为是,状态反馈增益矩阵,。,闭环系统：,静态线性,输出反馈控制,：,若,v,表示系统的参考输入，用 代替，,可得,用输出误差来校正系统。当 时，状态反馈变为输出反馈。一类特殊输出反馈。,5.1.2 反馈控制的性质,在静态反馈下，闭环系统矩阵变为,结论：,反馈可以改变系统的动态特性,。,定理5.1.1 状态反馈不改变系统的能控性。,例 考虑系统在状态反馈,下的闭环系统,能控能观性。,结论：能控，不能观。,状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消。,定理输出反馈不改变系统的能控能观性。,定理状态反馈不改变单输入单输出系统零点,5.1.3 两种反馈形式的讨论：,状态和输出反馈均可保持闭环系统的能控性；,输出反馈保持闭环系统的能观性，但状态反馈不能；,利用系统的信息多，所能达到的性能好。,5.2,稳定化状态反馈控制器设计,基于李雅普诺夫稳定性理论设计稳定化控制器,系统模型：,控制律：,闭环系统：,闭环系统渐近稳定的充分必要条件是：,即,李雅普诺夫稳定性定理,关键的问题：如何确定以上的矩阵,K,和,P,。,5.2.1,黎卡提方程处理方法,如何使 是闭环系统李雅普诺夫方程？,矩阵,P,是对称的，,若选取,控制器设计转化为以下矩阵方程的求解问题：,（,黎卡提矩阵方程,）优点：若对给定的常数，以上矩阵方程有解，则对任意的 都是系统的稳定化控制律。,结论：正无穷大的稳定增益裕度！,例 设计系统的一个稳定化状态反馈控制律,展开矩阵方程，得到,求取一个正定的解矩阵,对任意的 ，稳定化控制律：,5.3,极点配置,系统性能：稳态性能和动态性能,稳态性能：稳定性、静态误差,动态性能：调节时间、振荡、超调、上升时间.,系统稳定性的决定因素：系统极点,影响动态性能的因素：二阶系统（极点位置）,高阶系统（一对主导极点）,结论：,极点影响系统的稳定性和动态性能,5.3.1 问题的提出,闭环系统：,根据系统性能要求确定闭环极点 ，,求矩阵,K,，使得,5.3.2 极点配置问题可解的条件和方法,在什么条件下，极点配置问题可解？即存在使得闭环系统具有给定极点的控制器。,如何设计具有给定闭环极点的控制器？,解决问题的思路：首先对特殊的系统讨论；,对一般的系统，设法化成特殊系统分析算法的可行性。,从能控系统入手，以3阶能控标准型为例：,状态反馈控制律：,得到的闭环系统是,其特征多项式是,期望的闭环特征多项式,要实现极点配置，须,结论：,对3阶能控标准型系统，极点配置问题可解,；,导出了极点配置状态反馈控制律；,极点配置状态反馈控制律是惟一的。,例 对系统,设计状态反馈控制，使得闭环系统的极点是-2和-3,闭环特征多项式：,期望特征多项式：,比较可得：,极点配置状态反馈控制律：,闭环系统状态变量图：,以上的方法可以推广到n阶能控标准型模型,问题：对一般状态空间模型，如何解极点配置？,思路：考虑能控状态空间模型,将能控状态空间模型等价地转化为能控标准型,如何从能控标准型模型的解导出一般模型的极点配置控制器。,系统模型,假定该状态空间模型是能控的，则存在线性变换,其中,对能控标准型和给定的极点 ，可得极点配置状态反馈增益矩阵,即：,问题：目前的增益矩阵用到变换后的状态。,如何得到适合于原来模型的控制律呢？,利用特征值的关系：,定理,对一个能控系统，可以通过状态反馈任意配,置闭环系统极点,。,理论上可以证明：若一个系统可以通过状态反馈,任意配置极点，那么它一定是能控的。,5.3.3 极点配置状态反馈控制器的设计算法,给定系统模型 和闭环极点,1。检验系统的能控性；,2。根据,确定参数,3。确定转化为能控标准型的变换矩阵,4。确定期望特征多项式系数,5。确定极点配置反馈增益矩阵,例 已知被控系统的传递函数是,设计一个状态反馈控制器，使闭环极点是-2,-1j,解 确定能控标准型实现,状态反馈控制器,闭环多项式：,期望多项式：,实现极点配置的条件：,极点配置状态反馈控制器是,分析：优点：能控标准型使得计算简单；,缺点：能控标准型的状态难以直接测量；,解决方法：考虑新的实现。串连分解,状态空间实现是,直接法,反馈增益矩阵,闭环特征多项式,期望特征多项式,比较后可得,极点配置状态反馈控制器是,变换法,确定变换矩阵,极点配置状态反馈增益矩阵,直接法和变换法得到的结果是一致的。说明了惟一性。,例 对系统设计状态反馈控制器，使得闭环系统渐,近稳定，,且闭环系统的输出超调量 ，峰值时间,系统的一个状态空间模型,系统能控，故可以通过状态反馈任意配置极点。,系统无开环零点，闭环系统性能完全由极点决定！,一对主导极点：,和 是二阶系统的阻尼比和无阻尼自振频率,可得,取,则,为保证主导极点，第3个极点选为,期望特征多项式：,原模型等价变换为能控标准型,要求的状态反馈增益矩阵,闭环系统：,单位阶跃响应：,峰值时间为0.4到0.5秒,5.3.4 爱克曼（Ackermann）公式,极点配置状态状态反馈增益矩阵,K,的解析表达式,闭环系统特征多项式：,闭环矩阵满足,问题：如何从以上的关系式来确定增益矩阵,K,？,从关系式,分别乘以 ，再相加可得,由能控性，可得,爱克曼公式,：,例 对传递函数描述的二阶系统 ，确定,一个状态反馈控制律，使得闭环极点位于,解 期望闭环多项式：,对象的状态空间实现：,能控性矩阵：,爱克曼公式：,关于极点配置问题：,1。,n,个极点，以共轭对的形式出现；,2。主导极点；,3。考虑到零点的影响；,4。系统响应速度并非越快越好；,5。单输入系统，极点配置不影响零点分布；,6。单输入能控系统，控制器惟一，多输入则不惟一；,7。区域极点配置。,不足：需要用到全部状态。,5.3.5,应用,MATLAB,求解极点配置问题,提供了两个函数：,acker:基于爱克曼公式，单输入系统，多重极点,place:多输入系统，相同极点个数不超过,B,的秩,对单输入系统，所得的,K,是一致的,K=acker(A,B,J),K=place(A,B,J),检验：eig(A-B*K),极点配置的优点：,可以改善系统的稳定性、动态性能,5.4,跟踪控制器设计,极点配置的优点：改善系统的稳定性、动态性能,那么，对稳态性能、静态误差等的影响？,例 已知被控对象的状态空间模型为,设计状态反馈控制律，使得闭环极点为-4和-5，并讨论闭环系统的稳态性能。,期望的闭环特征多项式是,所要设计的状态反馈增益矩阵是,相应的闭环系统状态矩阵,闭环传递函数,当参考输入为单位阶跃时，输出的稳态值,开环系统是稳定的，且开环传递函数,开环系统的稳态误差,开环系统是无静差的。闭环系统的稳态输出,因此闭环系统有稳态误差,考虑系统 参考输入,外部扰动,问题：在存在扰动下，使输出跟踪设定值。,定义误差向量：,引入偏差的积分：,引入增广系统,对增广系统设计状态反馈控制律,使得闭环系统是稳定的,求拉氏变换，得到,参考输入和外部扰动都是阶跃信号时，由终值定理,即,x,和,q,趋向于常值。从而 趋于零。,针对增广系统，设计状态反馈控制律，只要闭环系统渐近稳定，则系统无静态误差。,若需要系统有一定的过渡过程特性，极点配置！,要求：增广系统是能控性的。,定理 增广系统能控的充分必要条件是,（1）原来系统是能控的,（2）,证明：,其中,由原系统的能控性 的行向量线性无关。,必要条件：,：输入的个数不能小于输出的个数,：所有的测量输出都是独立的。,跟踪外部参考输入的控制律是,积分比例控制器,针对前面的例子，再来设计一个状态反馈控制器，不仅使得闭环系统具有理想的过渡过程特性，而且还能无静差地跟踪阶跃参考输入。,设计要求：保持原闭环极点4，5；,增加的增广闭环系统极点8。,利用,MATLAB,可得,K=-17.6667 13.0000 53.3333,跟踪控制律,单位阶跃响应：,改善动态性能；,消除静态误差。,