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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 定积分,4.3.2,简单几何体的体积,一个平面图形绕平面内的一条定直线旋,转一周所成的立体叫,旋转体,，这条定直线叫,做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠,都是,旋转体,。,计算由区间,a,、,b,上的连续曲线 、,两直线,x,=,a,与,x,=b,及,x,轴所围成的曲边梯形,绕,x,轴旋转一周所成的旋转体的体积,。,旋转体的体积,复习回顾,由微元法，取,x,为积分变量，其变化范围为区间,a,b,。,在区间,a,b,的任意一个小区间,x,x,+,d,x,上，相,应的薄旋转体的体积可以用以点,x,处的函数值,f,(,x,),为底,面半径，以,d,x,为高 的扁圆柱体的体积近似代替，,从而得到体积元素,所以，所求旋转,体的体积,类似地可得，由区间,c,d,上的连续曲线,两直线,y=c,与,y=d,及,y,轴所围成的曲边梯形绕,y,轴旋,转一周所成的旋转体的体积为,例,1,给定直角边为,1,的等腰直角三角形，绕一条直,角边旋转一周，得到一个圆锥体,.,求它的体积,.,分析,在直角坐标系中，直角边为,1,的等腰直角三,角形可以看成是由直线,y=x,，,x=1,以及,x,轴所围成的,平面图形,.,在区间,0,1,内插入,n-1,个分点，使,把这个三角形分割成,n,个垂直于,x,轴的小梯形，设第,I,个小梯形的宽是,x,i,=x,i,-x,i-1,，,i=1,2,，,n,，这个小梯形,绕,x,轴旋转一周就得到一个厚度是,x,i,的小圆台当,x,i,很小时，第,i,个小圆台近似于底面半径为,x,i,的小圆柱，,因此，第,i,个小圆台的体积近似为,解,圆锥的体积为,圆锥的体积就等于所有小圆台的体积和，,这个问题就是定积分问题,.,例,2,、,求,由,曲线,所围成的图形绕,轴旋转所得旋转体的体积。,x,y,o,x=,1,分析：,（1）分割; (2)以直代曲；,（3）求和； (4)逼近。,求曲线,，直线,，,与,轴围成的平面图形绕,轴旋转一周所得旋,转,体的体积。,答案：,1.,练习,例,3,求由椭圆,解,利用图形的对称性,只需考虑第一象限内,(,一,),绕,x,轴：选取积分变量为,x,0,a,，,所围图形分别绕,x,轴和,y,轴旋转所成的旋转体的体积,.,任取一个子区间,x,x,+,d,x,0,a,，,的,曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积,，,所求体积为该体积的,2,倍,。,在子区间,x,x,+,d,x,上,旋转体的微元为：,于是,d,V,1,=,p,y,2,d,x,，,y,x,O,x x,+,d,x,(,二,),绕,y,轴：,选积分变量,y,0,b,，,任取子区间,y,y,+,d,y,0,b,.,在子区间,y,y,+,d,y,上,体积的微元为,则,y,x,O,y,+,d,y,y,x,x,2.,求,y,=,x,2,与,y,2,=,x,所围图形绕,x,轴旋转所成的旋转体体积,.,解,选积分变量,x,0, 1,(,两曲线的交点为,(,0, 0,),和,(,1, 1,),，,任取子区间,x,x,+,d,x,0, 1,，,其上的体积的微元为,x,x,+,d,x,(1, 1),y,2,=,x,2,y,x,O,练习,3.,曲线 与直线 所成的图形,的面积为 （,）,4.,将第一象限内由,x,轴和曲线 与直线,所围成的平面图形绕,x,轴旋转一周所得旋转体的体积,等于,(,),练习,D,C,课堂小结：,求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：,1,先求出,的表达式；,2,代入公式 ，,即可求旋转体体积的值。,
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