弹性力学-04(习题答案)

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章 平面问题的极坐标解答,（习题讲解）,习题4-1,试导出位移分量的坐标变换式,S,u,v,习题4-2,设有内径为,a,而外径为,b,的圆筒受内压力,q,，试求内半径及外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。,解：,轴对称问题的径向位移公式（,平面应变,）：,对于圆筒轴对称问题，有,u,r,不随,变化，即,又由,位移单值条件,，有,常数,A、B,由应力边界条件确定。,应力分量：,边界条件：,习题4-3,设有刚体，具有半径为,b,的圆柱形孔道，孔道内放置一外半径为,b,而内半径为,a,的圆筒，受内压力,q,，试求圆筒壁的应力。,解：,刚体,边界条件：,代入边界条件，有,将常数,A,、,C,代入，有,将常数,A,、,C,代入，有,刚体,习题4-4,矩形薄板受纯剪，剪力集度为,q,，如图所示。如果离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。,45,解：,x,y,r,x,y,r,(a),由图（a）给出的孔边应力结果：,得：,习题4-5,楔形体在两侧受有均布剪应力,q,，如图所示。试求其应力分量。,x,y,O,q,q,解：,（1）应力函数,的确定,由因次分析法，可知,代入相容方程：,得到：,（2）应力分量的确定,x,y,O,q,q,由,对称性,，,应为,的偶函数,；,应为,的奇函数,，,因而有，,（3）由边界条件确定常数,边界条件：,代入，有：,代入应力分量式，有,x,y,O,q,q,代入应力分量式，有,习题4-6,三角形悬臂梁在自由端受集中荷载,P,，如图所示。试用公式（4-21）求任一铅直截面上的正应力和剪应力，并与材料力学中的结果对比。,x,y,O,P,解：,由密切尔（ J. H. Michell ）解答，得,由应力分量的坐标变换式：,（4-21）, 密切尔（ J. H. Michell ）解答,由坐标变换式：,x,材料力学结果：,截面弯矩,x,y,O,P,截面惯性矩,截面正应力, 弹性力学结果,两者结果相差较大。,习题4-7,曲梁在两端受相反的两个力,P,作用，如图所示。试求其应力分量。,x,y,r,a,b,O,P,P,解：,（1）应力函数的确定,分析：,任取一截面 ，截面弯矩为,将其代入相容方程：,（a）,上述欧拉方程的解：,（b）,代入应力函数为,（c）,（2）应力分量的确定,（d）,边界条件：,代入应力分量得：,端部条件（右端）：,代入剪应力分量得：,（f）,联立求解式（e）、（f），得：,x,y,r,a,b,O,P,P,（e）,自然满足,（d）,（d）,其中，,代入应力分量式（d），有：,（f）,x,y,r,a,b,O,P,P,习题4-8,设有无限大的薄板，在板内的小孔中受有集中力,P,，如图所示。试用如下应力函数求其应力分量。,解：,（1）应力分量,提示：须要考虑位移单值条件。,（2）确定常数,r,取一半径为,r,的圆板为隔离体，,其上受力如图。,由圆板的平衡，得,代入应力分量，有,r,代入应力分量，有,恒等式,（3）由位移单值条件确定常数,A,由物理方程与几何方程：,r,其中：,应力分量：,积分得：,代入：,将,u,r,代入积分得：,将,u,r,u,代入,r,要使上式对任意的,r,、,成立，有,其中：,L,为常数。,（a）,（b）,求解式（a），,有,（c）,将式（b）变为：,（d）,（d）,求解式（b），,有,（e）,（f）,将 代入,u, 有,由位移单值条件，,有,代入应力分量：,r,得到：,习题4-9,半平面在其一段边界上受法向分布载荷作用,q,如图所示。试证半平面体中直角坐标应力分量为：,（叠加法）,q,x,y,O,P,证法1:,a,a,q,x,y,O,P,a,a,x,y,O,a,a,q,P,x,y,O,a,a,q,P,（叠加法）,证法1:,分析思路：,x,y,O,q,P,q,x,y,P,求解步骤：,由楔形体在一面受均布压力问题的结果：,（4-25）,x,y,O,q,P,（由应力分量的坐标变换）, 应力分量的直角坐标形式,x,y,O,a,a,q,P,y,y,+,a,x,y,O,q,P,x,y,O,a,a,q,P,x,y,O,a,a,q,0,P,x,y,O,q,P,y,y,a,x,y,O,a,a,q,0,P,q,0,x,y,O,P,a,a,（积分法）,证法2:,q,x,y,O,P,y,x,利用半限平面边界上作用法向集中力,P,的结果，有：,由图中的几何关系，有：,（1）,将以上关系式代入式（1），有,q,x,y,O,P,y,x,（2）,（1）,（3）,q,x,y,O,P,y,x,（3）,积分上式，有：,(,a,),(,b,),P,P,(,c,),a,补充题,x,y,O,M,P,列写图示问题的边界条件,x,y,O,M,P,试证明：,补充题,满足极坐标下平衡微分方程（4-1）,补充题,证明极坐标系下应变协调方程可表示为,:,轴对称情况下：,补充题,设弹性体受径向和环向常体力： 作用，试证明下列应力分量可作为极坐标下平衡微分方程（4-1）的一个特解,：,证明:,（41）,代入极坐标下的平衡微分方程:,显然，有:,（1）,表明式（1）为方程（4-1）的一个特解。,在弹性体受径向和环向常体力： 作用下，下列应力分量可否为某个问题的可能解？,思考题：,（2）,答案：,不能成为某个问题的解。,为什么？,有一薄壁圆筒的平均半径为,R,，壁厚为,t,，两端受相等相反的扭矩,M,作用。现在圆筒上发现半径为,a,的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？,p,2,a,有一薄壁压力容器，受内压,p,作用，其平均半径为,R,，壁厚为,t,。现在容器壁上发现一半径为,a,的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？,补充题1.,补充题2.,