反函数、复合函数的求导法则

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上页,下页,结束,返回,首页,一、反函数的导数,二、复合函数的求导法则,基本初等函数的导数公式小结,三、求导法则小结,2,反函数、复合函数的求导法则,上页,下页,结束,返回,首页,一、反函数的导数,如果函数,x,=,j,(,y,)在某区间,I,y,内单调、可导且,j,(,y,),0，那么它的反函数,y,=,f,(,x,)在对应区间,I,x,内也可导，并且,简要证明：,因为,y,=,f,(,x,)连续，所发当,D,x,0时，,D,y,0。,下页,例1,求(arcsin,x,),及(arccos,x,),。,一、反函数的导数,如果函数,x,=,j,(,y,)在某区间,I,y,内单调、可导且,j,(,y,),0，那么它的反函数,y,=,f,(,x,)在对应区间,I,x,内也可导，并且,解：,因为,y,=,arcsin,x,是,x,=,sin,y,的反函数，所以,下页,例2,求(arctan,x,),及(arccot,x,),。,一、反函数的导数,如果函数,x,=,j,(,y,)在某区间,I,y,内单调、可导且,j,(,y,),0，那么它的反函数,y,=,f,(,x,)在对应区间,I,x,内也可导，并且,解：,因为,y,=,arctan,x,是,x,=,tan,y,的反函数，所以,下页,(1)(,C,),=,0，,(2)(,x,m,),=,m,x,m,-,1,，,(3)(sin,x,),=,cos,x,，,(4)(cos,x,),=-,sin,x,，,(5)(tan,x,),=,sec,2,x,，,(6)(cot,x,),=-,csc,2,x,，,(7)(sec,x,),=,sec,x,tan,x,，,(8)(csc,x,),=-,csc,x,cot,x,，,(9)(,a,x,),=,a,x,ln,a,，,(10)(,e,x,),=,e,x,，,基本初等函数的导数公式小结：,，,上页,二、复合函数的求导法则,如果,u,=,j,(,x,)在点,x,0,可导，函数,y,=,f,(,u,)在点,u,0,=,j,(,x,0,)可导，则复合函数,y,=,f,j,(,x,)在点,x,0,可导，且其导数为,假定,u,=,j,(,x,)在,x,0,的某邻域内不等于常数，则,D,u,0，此时有,简要证明：,=,f,(,u,0,),j,(,x,0,)。,下页,二、复合函数的求导法则,如果,u,=,j,(,x,)在点,x,0,可导，函数,y,=,f,(,u,)在点,u,0,=,j,(,x,0,)可导，则复合函数,y,=,f,j,(,x,)在点,x,0,可导，且其导数为,如果,u,=,j,(,x,)在开区间,I,x,内可导，,y,=,f,(,u,)在开区间,I,u,内可导，且当,x,I,x,时，对应的,u,I,u,，那么复合函数,y,=,f,j,(,x,)在区间,I,x,内可导，且下式成立：,下页,复合函数的求导法则：,解：,函数,y,=lntan,x,是由,y,=ln,u,，,u,=tan,x,复合而成，,下页,复合函数的求导法则：,下页,复合函数的求导法则：,下页,复合函数的求导法则：,对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出中间变量。,下页,复合函数的求导法则：,下页,复合函数的求导法则：,复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。,下页,复合函数的求导法则：,下页,解：,y,=,(sin,nx,),sin,n,x,+sin,nx,(sin,n,x,),=,n,cos,nx,sin,n,x,+sin,nx,n,sin,n,-,1,x,(sin,x,),=,n,cos,nx,sin,n,x,+,n,sin,n,-,1,x,cos,x,=,n,sin,n,-,1,x,sin(,n,+1),x,。,复合函数的求导法则：,上页,函数的和、差、积、商的求导法则：,(1)(,u,v,),=,u,v,，,(2)(,Cu,),=,Cu,(,C,是常数)，,(3)(,uv,),=,u,v,+,u,v,，,复合函数的求导法则：,反函数求导法：,三、求导法则小结,结束,