离散时间信号的傅里叶变换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 离散时间傅立叶变换,本章内容：,离散时间傅立叶变换的表示；常用信号的傅立叶变换；傅立叶变换的性质；傅立叶变换的收敛；周期信号的傅立叶变换；对偶性；卷积性与相乘性；,LTI,系统的频域响应与系统的频域分析；,通过对离散时间傅立叶变换的学习，掌握信号在频域的分析思想、物理含义及系统在频域分析的方法，理解信号通过系统传输的不失真条件。,5.1 非周期信号的,表示：,离散时间傅里叶变换,一、从,DFS,到,DTFT,让我们先来观察周期性矩形脉冲信号，取其周期,N=10、20,与40时，其频谱的变化情况如下图所示。,在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到:当信号周期,N,增大时,频谱的包络形状不变,幅度减小,而频谱的谱线变密。,当 时,有 ,而从时域看,当周期信号的周期 时,就变成了一个非周期的有限长序列.可以预见,对一个非周期的有限长序列,它的频谱应该是一个连续的频谱.（如动画,5-1,所示）,对周期信号 由,DFS,有,当 时，令 有,DTFT,显然，对 是以 为周期的。,参看动画,5-2,将其与 表达式比较有：,于是：当 时，,。,当,k,在一个周期范围内变化时，在 范围内变化，所以积分区间是 。表明:,离散时间序列可以分解为频率在 区间上连续分布的、幅度,为 的复指数分量的线性组合。,结论：离散时间非周期信号的傅立叶变换对为：,二.常用信号的离散时间傅立叶变换,1.,通常 是复函数。,的模和相位：,信号的幅频特性如下：,由图可以得到:,时,信号表现为低通特性,为单调指数衰减,;,时,信号表现为高通特性,为摆动指数衰减。,2,、,DTFT,的收敛问题,三、,当序列是无限长序列时,由于,表达式是无穷项级数,当然会存在收敛问题,.,，则,存在，且级数一致收敛于,。,，则级数以均方误差最小准则收敛于,。,5.2,周期信号的,DTFT,对连续时间信号,有,由此推断对离散时间信号或许有相似的情况,.,但由于,DTFT,一定是以 为周期的,因此,频域的冲激应该是周期性的冲激串,:,对其作反变换有,:,可见：,由,DFS,，有,，,因此,周期信号,可表示为,DTFT,从上式可以看出与连续时间傅立叶变换中的形式是完全一致的,.,例：,不一定是周期的,当,时，,才是周期的,.,的频谱如图所示：,5.3,离散时间傅立叶变换的性质,通过对,DTFT,性质的讨论,目的在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。,一,.,周期性,:,若,，则,。,二,.,线性,三,.,时移与频移,若,，,则：,四,.,时间反转,若,，则,。,五,.,共轭对称性,若,，则,。,六,.,时域差分与求和,例：,，,七,.,时域内插,定义：,信号时频域的约束关系可参见动画,6,八,.,频域微分,九,.,Parseval,定理,:,对非周期离散时间信号：,称为,的能量谱密度函数。,对周期离散时间信号：,称为周期信号的功率谱。,5.4,卷积特性,若,，则,。,即是系统的频率特性。,说明,:,该特性提供了对,LTI,系统进行频域分析的理论基础。,例,:,求和特性的证明,5.5,相乘性质,如果,:,则,:,由于,和,都是以,为周期的，因此上述卷积称为,周期卷积,。,例：,y,(,n,)=,x,(,n,),c,(,n,),，其中,调制信号的过程可见动画,7,5.7,对偶性,一,.DFS,的对偶性,，,由于 本身也是以,N,为周期的序列,当然也可以将其展开成,DFS,形式,即：或,这表明 序列的,DFS,系数就是,即：,利用对偶性可以很方便的将,DFS,在时域得到的性质对偶到频域得到相应的性质,.,例,1:,从时移到频移,，,利用时移性质有,:,由对偶性有,:,即是频移特性。,二,.DTFT,与,CFS,间的对偶,由 知 是一个以 为周期的连续函数。,若在时域构造一个以 为周期的连续时间信号 则可将其表示为,CFS:,，,比较 和 的表达式可以看出 ，这表明：,若,则,利用这一对偶关系,可以将,DTFT,的若干特性对偶到,CFS,中去,;,或者反之。,例,:,从,CFS,的时域微分到,DTFT,的频域微分,CFS,的时域微分特性,若 ，则,DTFT,的频域微分特性,例,:,从,CFS,的卷积特性到,DTFT,的相乘特性,由,CFS,的卷积特性：,由,对偶性：,如图所示对偶关系示意图 可参看动画,5-8 5-9,例：求 的 。,，,5.8,由,LCCDE,表征的系统,工程中使用相当广泛的一类离散时间,LTI,系统可以由一个线性常系数差分方程,LCCDE,来表征,:,一,.,系统的频域响应,对,LCCDE,描述的系统，有以下的方法可求得系统的频域响应。,方法一,:,可以从求解 时的差分方程得到,而将 变换而求得 。,方法二,:,可以通过求出 时方程的解而得到 因为 是,LTI,系统的特征函数,此时的 。,方法三,:,对方程两边进行,DTFT,变换,可得到,:,通过反变换求得 。,例：,本章与第,4,章平行的讨论了,DTFT,讨论的基本思路和方法与第,4,章完全对应,许多结论也很类似通过对,DTFT,性质的讨论揭示了离散时间信号时域与频域特性的关系,.,不仅看到许多性质与特性在,CTFT,中都有相对应的结论,而且它们也存在一些差别,例如,DTFT,总是以,2,为周期的,.,通过卷积的讨论,对,LTI,系统建立了频域分析的方法,.,同样地,相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提供了理论基础。对偶性的讨论为我们进一步认识连续时间信号、离散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述之间存在的重要内在联系,提供了重要的理论根据,.,深入理解并恰当运用对偶性,对深刻掌握,CFS,DFS,CTFT,DTFT,的本质关系有很大帮助。与连续时间,LTI,系统一样,由,LCCDE,描述的,LTI,系统可以很方便的由方程得到系统的频率响应函数，实现系统的频域分析,其基本过程及涉及到的问题与连续时间,LTI,系统的情况也完全类似,.,