内积外积混和积课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,向量的内积、外积、混和积,1,11/16/2024,1,向量的内积、外积、混和积 19/22/20231,向量的内积,向量是一个具有很强的物理背景的概念，尤其在流体力学、电磁场理论等中有很多的应用，要利用向量及其运算来反映诸多物理现象中量的关系，仅仅只有向量的线性运算就远远不够了，还要不断充实向量的运算。这一节先引入向量的一种乘法。,2,11/16/2024,2,向量的内积 向量是一个具有很强的物理背景的概,例:,物体放在光滑水平面上，设力,F,以与水平线成,角的方向作用于物体上，物体产生位移,S,，求力,F,所作的功。,于是功,W,为:,W=|F|cos|S|=|F|S|cos,为反映这一类物理现象，引入向量的内积。,F,S,解:,根据物理知识，,F,可以分解成水平方向分力,和垂直方向分力 。其中只有与位移平行的分力,作功，而 不作功。,3,11/16/2024,3,例:物体放在光滑水平面上，设力F以与水平线成角的方向作用,根据内积的定义，上例中的功可写作：,内积及其运算规律,定义,两个向量,与,的,内积是一个数,，它等于这两个向量的长度与它们夹角,=(,，,),余弦的乘积，记为 ，,即有,4,11/16/2024,4,根据内积的定义，上例中的功可写作：内积及其运算规律 定义,(1),向量的,内积,又称为,点积,或,数量积,(3),(2),(4),(5),注：,向量内积不满足结合律,具有以下性质：,5,11/16/2024,5,(1)向量的内积又称为点积或数量积(3)(2)(4)(5),例：,用向量证明余弦定理,A,C,B,证明：,6,11/16/2024,6,例：用向量证明余弦定理ACB证明：69/22/20236,例：,证明：直径所对应的圆周角为直角.,A,B,C,O,证明：,因此,所以,7,11/16/2024,7,例：证明：直径所对应的圆周角为直角.ABCO证明：因此所以7,例：,证明：,8,11/16/2024,8,例：证明：89/22/20238,内积的坐标表示,对任意向量,(1),证：,9,11/16/2024,9,内积的坐标表示对任意向量(1)证：99/22/20239,(2),(3),10,11/16/2024,10,(2)(3)109/22/202310,向量的外积,上一节讨论了向量的一种乘法：两个向量的内积，其运算结果是一个数。为了反映另一物理现象，本节引入了两个向量的另一种乘法，叫做,外积,，它的,运算结果是一个向量,。,11,11/16/2024,11,向量的外积 上一节讨论了向量的一种乘法：两个,定义,两个向量,与,的,外积,是一个向量,1.外积及其运算规律,的方向与,，,均垂直，且使,，,，,成右手系,(2),(1),的模是以,，,为边的平行四边形的面积，,满足,注：,即：,12,11/16/2024,12,定义 两个向量与的外积是一个向量1.外积及,外积,又叫,叉积,或,向量积,，具有以下性质：,（反交换律）,13,11/16/2024,13,外积又叫叉积或向量积，具有以下性质：（反交换律）139/22,2.外积的应用,(1)用向量积来求平行四边形及三角形面积,(2),用向量积来求点到直线的距离,(3)用向量积来求证两个向量共线,14,11/16/2024,14,2.外积的应用(1)用向量积来求平行四边形及三角,例:,已知,，,不共线，当,k,取何值时，向量,k,+9,与4,+,k,共线,。,解：,又,，,因为,，,不平行，,故有 ，,据题设 （,k,+9,）（4,+,k,）,k,4,k,k,9,4,+9,k,即,因而,所以,即,k,=6,15,11/16/2024,15,例:已知，不共线，当k取何值时，向量k+9与4+,例：,证明：,所以，,16,11/16/2024,16,例：证明：所以，169/22/202316,例：,解：,且,17,11/16/2024,17,例：解：且179/22/202317,外积的坐标表示,由定义直接可以得到:,18,11/16/2024,18,外积的坐标表示由定义直接可以得到:189/22/202318,因此:,（自己算）,19,11/16/2024,19,因此:（自己算）199/22/202319,例：,解法一：,解法二：,20,11/16/2024,20,例：解法一：解法二：209/22/202320,解：,构造向量 ，,以AB，AC为边的平行四边形面积,所以三角形ABC的面积是,例:,求以 ，为顶点的三 角形ABC的面积.,那么,21,11/16/2024,21,解：构造向量,例,：,求与 垂直的单位向量。,解,：,设,，,可见,是与,同方向的单位向量，,因此，与,及,都垂直的单位向量是,设,=,，,则,与,及,都垂直，,则有,而,22,11/16/2024,22,例：求与,向量的混合积,混合积的定义,定义,三个向量,，,，,的,混合积,是一个数，它等于向量,，,先作向量积，然后再与,作数量积，记作(,，,，,),即,(,，,，,)=(,),23,11/16/2024,23,向量的混合积 混合积的定义定义 三个向量，的混合,混合积的几何意义,注,：,24,11/16/2024,24,混合积的几何意义注：249/22/202324,混合积的性质,注：,25,11/16/2024,25,混合积的性质注：259/22/202325,定理,：,三个向量,，,共面的充要条件是,(,),=0.,证:,当,时,=,当,不平行,时，,必要性,如若,，,共面,自然有(,),=0,垂直于,，,所在的平面，,因而,，仍有(,),=0。,26,11/16/2024,26,定理：三个向量，共面的充要条件是 证:当时,充分性,当,=0时，,有,，,如若(,),=0,有,，,故,，,共面；,当,0时，,从而,，,，,共面。,又因,亦垂直于,及,，,27,11/16/2024,27,充分性当=0时，有，如若()=,例：,证明：,28,11/16/2024,28,例：证明：289/22/202328,例：,解：,29,11/16/2024,29,例：解：299/22/202329,例：,证明：,30,11/16/2024,30,例：证明：309/22/202330,混合积的坐标表示,注：,设,31,11/16/2024,31,混合积的坐标表示注：设319/22/202331,分析:,所以，,D,-,ABC,的体积 可用混合积求出。,例:,求以 ，,为顶点的四面体的体积。,，,，,以,AB,，,AC,，,AD,为棱的平行六面体的体积是以三角形,ABC,为底面，,AD,为棱的三棱柱体积的2倍，而四面体的体积是三棱柱体积的三分之一。,32,11/16/2024,32,分析:所以，D-ABC的体积,所以,解,：,构造向量,以,AB,，,AC,，,AD,为棱的平行六面体的体积为,33,11/16/2024,33,所以解：构造向量以AB，AC，AD为棱的平行六面体的体积为3,三向量的双重外积,定义：,性质：,34,11/16/2024,34,三向量的双重外积定义：性质：349/22/202334,例：,证明一：,由定义,证明二：,35,11/16/2024,35,例：证明一：由定义证明二：359/22/202335,例：,证明：,36,11/16/2024,36,例：证明：369/22/202336,