矩阵的特征值和特征向量ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1 矩阵的特征值和特征向量,设A是一个n阶方阵,对任一n维列向量,通过A,将n维列向量,变换成另一个,n维列向量,3.1 矩阵的特征值和特征向量设A是一个n阶方阵对任一n,1,例,矩阵A,3维向量,1,的2倍.,2为A的特征值,1,为A的,的结果,对应于2的特征向量,设,左乘非零向量,1,等于,例 矩阵A3维向量1的2倍.2为A的特征值1为A的的结果,2,定义3.1,注意1）,2),(一)特征值和特征向量的概念,如果存在,0,是一个,数，,使得,则称,0,是,对应于特征值,0,的,成立，,A一定是方阵.,非零,向量,是矩阵A的,矩阵A的,特征值,特征向量,.,设A为n阶方阵,谈到矩阵A的特征值时，,矩阵的特征向量,一定是非零向量.,定义3.1 注意1）2)(一)特征值和特征向量的概念,3,是矩阵,A,的特征值,是矩阵A,的,对任意n维向量,例,任意,n,维 向量,非零,对应于,k,的特征向量.,是矩阵A的特征值,是矩阵A的对任意n维向量例任意n维,4,(二),的求法,特征值与特征向量,(二)的求法特征值与特征向量,5,即,即,此齐次线性方程组,有非零解.,称为A的,特征矩阵,.,即 即此齐次线性方程组有非零解.称为A的特征矩阵.,6,求矩阵A的特征值,3)对每一个特征值,0,求出其全部 解向量,2)求出,的全部解,它们就是矩阵A的,写出齐次线性方程组,即得到,的所有特征向量。,非零的,和特征向量的步骤如下：,1）计算,全部特征值.,对应于特征值,0,矩阵A的,称为A的特征多项式,称为A的特征方程,求矩阵A的特征值3)对每一个特征值0,求出其全部,7,解,1,=,2,2,=,1,矩阵的两个特征值为,1,=2:,即,2,=1:,为对应于1的,为对应于2的,A的特征多项式,例,求矩阵,的特征值和特征向量.,全部特征向量.,全部特征向量.,即,即,解 1=2,2=1矩阵的两个特征值为1=2:即2=,8,解,是A的特征值.,1,=,0,:,是对应于0的,例,2,=,4,:,是对应于4的,全部特征向量.,全部特征向量.,求矩阵A的特征值和特征向量,其基础解系为,其基础解系为,解 是A的特征值.1=0:是对应于0的例2=4:,9,3,=,-1,:,是对应于-1的全部特征向量,是A的特征值.,其基础解系为,3=-1:是对应于-1的全部特征向量 是A的特征值.其,10,解,(二重),是A的特征值.,1,=,0,:,是对应于0的,(c0),例,全部特征向量,求矩阵A的特征值和特征向量,其基础解系为,解 (二重)是A的特征值.1=0:是对应于0的(c0,11,1,=,2,：,对应于2的全部特征向量为,1,=,0,2,=,2,(二重),是A的特征值.,(,d,0),其基础解系为,1=2：对应于2的全部特征向量为1=0,2=2(二,12,设,证,也是,矩阵A的,(三)特征值与特征向量,非零向量,为A的对应于,则,k,也是,常数,k,0,的特征向量,矩阵A的,的特征向量.,对应于,的特征向量.,又,的性质,由,是矩阵A的特征值,对应于,设证 也是矩阵A的(三)特征值与特征向量非零向量,13,设,为矩阵A的特征值，,证,非零向量,1,2,也是,矩阵A的,矩阵A的,则当,时,又,也是,矩阵A的,对应于,的特征向量.,对应于,的特征向量.,定理,对应于,的特征向量,都是,设为矩阵A的特征值，证 非零向量1 2 也是矩阵,14,定理3.2,证,A,与,A,T,故,A,与,A,T,有相同的,有相同的特征多项式,与它的转置矩阵A,T,n阶矩阵A,特征值.,有相同的特征值.,A的特征值,是方程,的解.,A,T,的特征值,是方程,的解.,定理3.2 证 A与AT故A与AT有相同的有相同的特征多项,15,n阶矩阵A可逆,证,A的任一特征值,0不是A的特征值.,定理3.3,A可逆,0不满足方程,n 阶矩阵A可逆,A的任一特征值,的充要条件是,A的任一特征值,不为0,n阶矩阵A可逆证 A的任一特征值0不是A的特征值.定理3,16,0是A的特征值,0不是A的特征值,A的任一特征值,例,A的任一特征值,证明：,则A,-1,存在，,是A,-1,的特征值.,证,是A的对应于,的,是A,-1,的特征值,是对应的特征向量.,设,设,特征向量，,则,即,0是A的特征值0不是A的特征值A的任一特征值例 A的任一特,17,定理3.4,对应于不同特征值的,1,2,m,互不相同的,特征值，,分别是,的,特征向量，,则,是A的m个,对应于,一定线性无关.,设A是n阶矩阵,1,2,m,线性无关.,特征向量,定理3.4 对应于不同特征值的1,2,m互不相,18,定理3.5,1,2,m,互不相同的特征值，,是A的m个,设A是n阶矩阵,1,有特征向量：,线性无关.,且这 个向量,2,有特征向量：,线性无关.,且这 个向量,m,有特征向量,线性无关.,且这 个向量,线性无关.,则,定理3.5 1,2,m互不相同的特征值，是A的,19,例如,A的特征值：,对应于,2,有特征向量,线性无关.,对应于,4,有特征向量,线性无关.,则,线性无关.,例如A的特征值：对应于2有特征向量线性无关.对应于4有特征向,20,定理3.6,n阶矩阵,的所有特征值,的和为,A的所有特征值,的积为,称为矩阵A的,迹,.,定理3.6n阶矩阵的所有特征值的和为A的所有特征值的积为称为,21,例,证,是对应的特征向量,2,=0,(,1),=0,=0或1,试证幂等矩阵,则称A是,幂等矩阵,.,的特征值,则,设,是A的,任,一特征值,只能是0或1.,如果矩阵A满足,例 证 是对应的特征向量,2=0(1)=,22,证明:,特征向量分别是,课堂练习,用反证法,假设,则有特征值,证,是对应于不同特征值的特征向量,矛盾.,则,对应的,不是,A的特征向量.,是A的特征向量,线性无关.,不是A的特征向量.,设,1,2,是矩阵A的,两个,不同,特征值,已知,使,证明:特征向量分别是课堂练习 用反证法假设则有特征值,证,23,P135 1(3),3,P136 8,P135 1(3),3P136 8,24,