81 AHP决策分析的基本原理与计算方法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,8,章,AHP,决策分析方法,本章主要内容,AHP,决策分析的基本原理与计算方法,AHP,决策分析方法应用实例,美国运筹学家,T.L.Saaty,于20世纪70年代提出的,AHP,决策分析法（,analytic hierarchy process，,简称,AHP,方法），是一种定性与定量相结合的决策分析方法。,它常常被运用于,多目标、多准则、多要素、多层次,的非结构化的复杂决策问题，特别是战略决策问题的研究，具有十分广泛的实用性。,AHP,决策分析法，是一种将决策者对复杂问题的决策思维过程模型化、数量化的过程。通过这种方法，可以将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，就可以得出不同方案重要性程度的权重，从而为决策方案的选择提供依据。,AHP,决策分析法，是解决复杂的非结构化的地理决策问题的重要方法，是计量地理学的主要方法之一。,第,1,节,AHP,决策分析的基本原理与计算方法,基本原理,AHP,决策分析方法的基本过程,一、基本原理,AHP,决策分析方法的基本原理，可以用以下的简单事例分析来说明。假设有,n,个物体,A,1,，,A,2,，,A,n,，,它们的质量分别记为,W,1,，,W,2,，,W,n,。,现将每个物体的重量两两进行比较如下：,A,1,A,2,A,n,A,1,W,1,/W,1,W,1,/W,2,W,1,/W,n,A,2,W,2,/W,1,W,2,/W,2,W,2,/W,n,A,n,W,n,/W,1,W,n,/W,2,W,n,/W,n,若以矩阵来表示各物体的这种相互质量关系,A,A,称为判断矩阵,。,若取质量向量,W,W,1,，,W,2,，,，,W,n,T,，,则有,AW,n,W,W,是判断矩阵,A,的,特征向量,，,n,是,A,的一个,特征值,。,根据线性代数知识可以证明，,n,是矩阵,A,的唯一非零的,、,也是最大的特征值。,上述事实告诉我们，如果有一组物体，需要知道它们的质量，而又没有衡器，那么就可以通过,两两比较,它们的相互质量，得出每一对物体质量比的判断，从而构成,判断矩阵,；然后通过求解判断矩阵的,最大特征值,max,和它所对应的,特征向量,，就可以得出这一组物体的,相对质量,。,这一思路提示我们,在复杂的决策问题研究中，对于一些无法度量的因素，只要引入合理的度量标度，通过构造,判断矩阵,，就可以用这种方法来度量各因素之间的相对重要性，从而为有关决策提供依据。,这一思想，实际上就是,AHP,决策分析方法的基本思想，,AHP,决策分析方法的基本原理也由此而来。,二、,AHP,决策分析方法的基本过程,AHP,决策分析方法的基本过程，大体可以分为如下,6,个基本步骤：,(,一,）明确问题,即弄清问题的范围，所包含的因素，各因素之间的关系等，以便尽量掌握充分的信息。,（,二,）,建立层次结构模型,（,三,）,构造判断矩阵,（,四,）,层次单排序,（,五,）,层次总排序,（,六,）,层次总排序的一致性检验,转到该节第三部分,在这一个步骤中，要求将问题所含的要素进行分组，把每一组作为一个层次，并将它们按照：最高层（,目标层,）若干中间层（,准则层,）最低层（,措施层,）的次序排列起来。,这种层次结构模型常用结构图来表示（图8.1.1），图中要标明上下层元素之间的关系。,（二）,建立层次结构模型,图8.1.1,AHP,决策分析法层次结构示意图,如果某一个元素与下一层的所有元素均有联系，则称这个元素与下一层次存在有,完全层次,的关系。,如果某一个元素只与下一层的部分元素有联系，则称这个元素与下一层次存在有,不完全层次,的关系。,层次之间可以建立,子层次,，子层次,从属于主层次中的某一个元素,，它的元素与下一层的元素有联系，但,不形成独立层次,。,返回,这一个步骤是,AHP,决策分析中一个关,键的步骤。,A,1,B,1,B,2,B,n,B,1,b,11,b,12,b,1,n,B,2,b,21,b,22,b,2,n,B,n,b,n,1,b,n,2,b,nn,（三）构造判断矩阵,判断矩阵表示,针对上一层次中的某元素而言,，评定,该层次中各有关元素相对重要性程度,的判断。,其形式如下：,其中，,b,ij,表示对于,A,k,而言，元素,B,i,对,B,j,的相对重要性程度的判断值,。,一般取,1，3，5，7，9,等5个等级标度，其意义为：1表示,B,i,与,B,j,同等重要；3表示,B,i,较,B,j,重要一点；5表示,B,i,较,B,j,重要得多；7表示,B,i,较,B,j,更重要；9表示,B,i,较,B,j,极端重要。,而2，4，6，8表示相邻判断的中值，当5个等级不够用时，可以使用这几个数。,显然，,对于任何判断矩阵都应满足,一般而言，,判断矩阵的数值,是根据,数据资料、专家意见和分析者,的认识，加以平衡后给出的。,如果判断矩阵存在关系,b,ij,（,i,，,j,，,k,1，2，3，,n,）,则称它具有,完全一致性,。,为了考察,AHP,决策分析方法得出的结果是否基本合理，需要对判断矩阵进行,一致性检验,。,返回,向量。即对于判断矩阵,B,，,计算满足,（8.1.5）,目的,：确定,本层次与上层次中的某元素有联系的各元素重要性次序的权重值。,任务,：计算判断矩阵的,特征根和特征,（四）层次单排序,在（8.1.5）式中，,max,为判断矩阵,B,的,最大特征根,，,W,为对应于,max,的,正规化特征向量,，,W,的分量,W,i,就是对应元素,单排序,的,权重值。,检验判断矩阵的一致性,:,通过前面的分析，我们知道，如果判断矩阵,B,具有完全一致性时,max,n,。,但是，在一般情况下是不可能的。为了检验判断矩阵的一致性，需要计算它的,一致性指标,（8.1.6）,在（8.1.6）式中，,当,CI,0,时，判断矩阵具有完全一致性；反之，,CI,愈大，就表示判断矩阵的一致性就越差。,时，就认为判断矩阵具有,令人满意的一致性,；否则，当,CR,0.1,时，就需要调整判断矩阵，直到满意为止。,为了检验判断矩阵是否具有令人满意的一致性，需要将,CI,与平均随机一致性指标,RI,（,表8.1.1）,进行比较,。,一般而言，1或2阶的判断矩阵总是具有完全一致性的。对于2阶以上的判断矩阵，其,一致性指标,CI,与同阶的平均随机一致性指标,RI,之比,，称为判断矩阵的,随机一致性比例,，记为,CR,。,一般地，当,（8.1.7）,表,8.1.,1 平均随机一致性指标,返回,（五）层次总排序,定义,：利用同一层次中所有层次单排序的结果，就可以计算,针对上一层次而言，本层次所有元素的重要性权重值,，这就称为层次总排序。,层次总排序需要,从上到下逐层,顺序进行。对于最高层而言，其层次单排序的结果也就是总排序的结果。,假如上一层的层次总排序已经完成，元素,A,1,，,A,2,，,A,m,得到的权重值分别为,a,1,，,a,2,，,a,m,；,与,A,j,对应的本层次元素,B,1,，,B,2,，,B,n,的层次单排序结果为 ,T,（,当,B,i,与,A,j,无联系时，0）；那么，,B,层次的总排序结果见表8.1.2。,表8.1.2 层次总排序表,显然,=1 （8.1.8）,即层次总排序是,归一化的正规向量,。,返回,CI,式中：,CI,为层次总排序的一致性指标；,CI,j,为与,a,j,对应的,B,层次中判断矩阵的,一致性指标。,（六)层次总排序的一致性检验,为了评价层次总排序结果的一致性，类似于层次单排序，也需要进行,一致性检验,。为此，需要分别计算下列指标,式中：,RI,为层次总排序的随机一致性指标；,RI,j,为与,a,j,对应的,B,层次中判断矩阵的,随机一致性指标,；,CR,为层次总排序的,随机一致性比例,。,RI,CR,当,CR,0.10,时，则认为层次总排序的计算结果具有令人满意的一致性；否则，就需要对本层次的各判断矩阵进行调整，直至层次,总排序的一致性检验达到要求为止。,返回,三、计算方法,通过前面的介绍，我们知道，在,AHP,决策分析方法中，最根本的计算任务是求解判断矩阵的,最大特征根,及其所对应的,特征向量,。,这些问题可以用线性代数知识去求解，并且能够利用计算机求得任意高精度的结果。但事实上，在,AHP,决策分析方法中，判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量的计算，并不需要追求太高的精度。这是因为,判断矩阵本身就是将定性问题定量化的结果，允许存在一定的误差范围。,常常用如下,两种近似算法,求解判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量。,(一)方根法,计算判断矩阵,每一行元素的乘积,计算 的,n,次方根,将向量 ,归一化,则 即为所求的,特征向量,。,计算,最大特征根,表示向量,AW,的第,i,个分量。,(二)和积法,将判断矩阵,每一列归一化,对按列归一化的判断矩阵，再,按行求和,将向量 归一化,则 即为所求的,特征向量,。,计算,最大特征根,表示向量,AW,的第,i,个分量。,四、对,AHP,方法的简单评价,优点,思路简单明了，它将决策者的思维过程条理化、数量化，便于计算，容易被人们所接受；,所需要的定量化数据较少，但对问题的本质，问题所涉及的因素及其内在关系分析得比较透彻、清楚。,缺点,存在着较大的随意性。,譬如，对于同样一个决策问题，如果在互不干扰、互不影响的条件下，让不同的人同样都采用,AHP,决策分析方法进行研究，则他们所建立的层次结构模型、所构造的判断矩阵很可能是各不相同的，分析所得出的结论也可能各有差异。,为了克服这种缺点，在实际运用中，特别是在,多目标、多准则、多要素、多层次的非结构化的战略决策问题,的研究中，对于问题所涉及的各种要素及其层次结构模型的建立，往往需要多部门、多领域的专家共同会商、集体决定；在,构造判断矩阵,时，对于各个因素之间的重要程度的判断，也应该,综合各个专家的不同意见,，譬如，取各个专家的判断值的平均数、众数或中位数。,