导数的运算法则解读ppt课件

,导数的运算法则,导数的运算法则,一、背景知识与引入方法,而对比较复杂的函数的求导应借助于微分法则.,这些法则的建立是以极限理论和导数定义作为,例如，商的求导法则就有繁简不同的表述,方法一：,根据导数定义可以求一些简单函数的导数.,基础，,法则的推导应力求简短.,方法.,一、背景知识与引入方法 而对比较复杂的函数的求导应借助于微分,导数的运算法则解读ppt课件,以上表述可简化为：令,对于可导函数 ，,当 时，,从而有,以上表述可简化为：令 对于可导函数 ，当 时,详细内容见该知识点讲解方法（参考居余马、,葛严麟主编高等数学第卷.）,先解决 的导数，然后按乘积求导法则,方法二：,详细内容见该知识点讲解方法（参考居余马、葛严麟主编高,二、该知识点的讲解方法,（1）依据导数定义和重要极限先解决基本,初等函数中常值函数 ，正整次幂函数 、指,数函数 、自然对数函数 、正余弦函数,的求导公式.,（2）依据极限理论，推导出和、差、积、,商的求导法则，再以这些法则是和已有的导数,结果，给出对数函数 、正余切函数,、,和正余割函数,、,的求导公式.,二、该知识点的讲解方法（1）依据导数定义和重要极限先解决基本,（3）建立反函数的求导法则，并由此给出,（4）由导数定义及极限理论推导复合函数,反正弦、反余弦、反正切、反余切函数的求导,公式.,的求导法则，并借此给出基本初等函数中幂函数,（为任意实数）的求导公式.,微分法则表明，初等函数的导数的具体计算,都切实可行，特别是复合函数的求导法则，使复,杂函数的求导计算系统化，简单化.,（3）建立反函数的求导法则，并由此给出 （4）由导,三、基本初等函数的求导公式,1,（,c,为常数）,2.,3.,4.,5.,三、基本初等函数的求导公式1 （c 为常数）,6.,7.,8.,9.,10.,11.,6.7.8.9.10.11.,13.,14.,15.,16.,12.,13.14.15.16.12.,证明：,1.,2.,（为自然数）,证明：1.2.（为自然数）,3.,特别 时，,6.,3.特别 时，6.,7.,类似地可以证明,7.类似地可以证明,四、,导数的四则运算法则,定理1,设函数 和 都在点 处可导，,（1）,（2）,特别地 （为常值）,则它们的和、差、积、商（分母为零的点除外）,在 点处可导，且有：,都,（3）,特别地,四、导数的四则运算法则 定理1 设函数 和,证明：,（1）设,证明：（1）设,（2）设,由于 在 点处可导，故 在点处连,续，,所以有 .,（2）设 由于 在 点处可导，故 在,特别当 （常数）时，由上式立刻有,（3）设 ，,则,成立.,再由 在 点处可导（必连续）且 ,即得：,特别当 （常数）时，由上式立刻有,再由（2），,成立.,注：,定理1中法则（1）（2）可推广到有限,个可导函数情形，例如，设,，,均可导.,则有 ，,再由（2），成立.注：定理1中法则（1）（2）可,五、证明基本初等函数的部分求导公式,5.,9.,类似地可证,11.,类似地可证,五、证明基本初等函数的部分求导公式5.9.类似地可证11.类,六、例题,例1,设 ，求 .,解：,故,六、例题例1 设,例2,设 ，求 .,解：,例2 设 ，求 .解：,七、反函数的求导法则,定理2,设 在区间 内单调、可导且,则它的反函数 在区间,内也可导，,，即 .,且有,七、反函数的求导法则 定理2 设 在区间,由于 在 内单调、可导（必,所以，反函数 在相应的区间,于是，反函数,证明：,内也单调连续，因此当 时，,并有 时 ，,对 的导数为,连续），,由于 在 内单调、可导（必所以,利用此定理证明如下公式：,13.,设 ，是 的反函数.,并且 ，在,内单调增加可导，,所以,证明：,且 ，,类似地可证,利用此定理证明如下公式：13.设,15.,设,，其反函数 在,内单调、可导，且 ，,所以在相应区间 内，,证明：,类似地可证,15.设 ，其反函数,八、复合函数的求导法则,若函数 是由,复合而成，且满足,I：在点 可导；,在 点可导，其导数为,定理3,II：在 可导，,则复合函数,或,八、复合函数的求导法则 若函数 是由 复,即,此时 ，,且有当 时，,从而推知 ，,其中 （当 时），,时规定,证明：,由II有 ，,进而有,再由I有,于是,即 此时 ，且有当,（其中 为任意实数），,设,是由 复合而成，,于是,且容易算出：,证明：,（其中 为任意实数），设 是由,由于,例3,曲线 上哪点的切线与直线,平行？,直线 的斜率 .,令 ，,解：,则 ，,此时 ,故所求点为,.,由于 例3 曲线 上哪点的切线与直线,例4,，求 .,视为 复合而成，,因此,解：,例4 ，求 .视为,例5,，求 .,解：,视为 复合而成，,又因 ，,所以,例5 ，求 .解：视为,例6,，求 .,不必写出中间变量，然后逐层求导.,解：,例6 ，求 .不必写出中间变量，,例7,，求 .,解：,注：,复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.,如：设 ，,则复合函数,的导数为,例7 ，求 .解：注：复合函数的,例8,，求 .,分解为 ，,又因,解：,所以,例8 ，求 .,例9,，求 .,解：,例9 ，求 .解：,