高等数学函数的单调性与极值课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复习,1.拉格朗日(Lagrange)中值定理,如果函数,满足：,(2),在,开区间,内,可导,，,(1),在,闭区间,上,连续,，,则,至少存在一点,使,2.增减函数的定义：,在某个区间上，,的增大而,增大,(,减小,)，,函数值随着自变量,就称函数为,增,(,减,),函数.,或,1,复习1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数满足：(,3-4 函数的单调性与极值,1、利用导数的符号判断函数的单调性,增函数,切线的倾角为锐角,减函数,切线的倾角为钝角,则，,函数,单调性的判定定理,(,充要条件,),如下：,一、函数的单调性,2,3-4 函数的单调性与极值1、利用导数的符号判断函数的单调,定理：,若,有,若,有,证,由拉格朗日中值定理,得,若,有,则,则,在,上单调增加.,若,有,则,在,上单调减少.,定理中的,区间,换成其它,有限或无限区间，,且,则,结论仍然成立.,注意：,设函数,在,上,连续,，,内,可导,，,在,则,在,上,单调增加.,则,在,上,单调减少,.,3,定理：若有若有证由拉格朗日中值定理,得若有则则在上单调,2、单调区间求法,例1,判定函数,的单调性.,解,且等号仅在,处成立.,则由单调性的判定法可知，,的定义域为,在,内，,函数,在,内,单调增加.,4,2、单调区间求法例1判定函数的单调性.解且等号仅在处成立.则,例2,讨论函数,的单调性.,解,在定义域内连续、可导，,且,令,得,定义：,使,的,点,叫函数,的,驻点,.,则单调增加区间是：,单调递减区间是：,函数,的定义区间为,5,例2讨论函数的单调性.解在定义域内连续、可导，且令得定义：使,例3,解,确定函数,的单调区间.,解方程,得，,则单调增加区间是：,单调递减区间是：,6,例3解确定函数的单调区间.解方程得，则单调增加区间是：单调递,例4,解,确定函数,的单调区间.,当,时，,导数不存在.,则单调增加区间是：,单调递减区间是：,7,例4解确定函数的单调区间.当时，导数不存在.则单调增加区间是,注意:,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,求,f,(,x,),单调区间(判断单调性)的步骤:,1.求,的定义域，,2.求,3.求,的驻点，,不可导点，,4.列表判断.,但在区间,上单调增加.,8,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,求f(,3、利用单调性证明不等式,例5,当,时，,证,令,则,且当,时，,在,上单调增加.,又,所以当,时,即,证明,则得到,在,上可导，,显然,9,3、利用单调性证明不等式例5当时，证令则且当时，在上单调增加,例6,当,时，,试证：,证,设,则,有,在,单调增加，,当,时，,即,练习：,在,上可导，,显然,10,例6当时，试证：证设则有在单调增加，当时，即练习：在上可导，,4、小结,单调性的判别,是,拉格朗日中值定理,的重要应用.,定理中的,区间,换成其它,有限或无限区间，,结论仍然,应用：,利用函数的单调性可以确定某些方程实,求,f,(,x,),单调区间(判断单调性)的步骤,1.求,的定义域，,2.求,3.求,的驻点，,不可导点，,4.列表判断.,根的个数和证明不等式.,成立.,11,4、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区,二、函数的极值及其求法,1、函数极值的定义,12,二、函数的极值及其求法1、函数极值的定义12,(1,)极值的定义：,设函数,在点,的某个邻域内有定,对于该邻域内异于,的点,如果对适合不等式,则称函数在点,有,极大值,如果对适合不等式,函数在点,有,极小值,极大值、极小值,通称为,极值.,称为,极大点；,极大点、极小点,通称为,极值点.,(2)极值定义：,极值点定义：,将点,则称,称为,极小点.,点,义，,13,(1)极值的定义：设函数在点的某个邻域内有定对于该邻域内异于,注：,极值与最值的区别：,是对整个区间而言，,绝对的、,极值：,最值：,是对某个点的邻域而言、,相对的、可以不是唯一的.,极大值不一定都大于极小值.,如何求极值？,观察图形知：,可导,函数,极值点,的,导数,是,零.,是整体的、,唯一的.,是局部的、,14,注：极值与最值的区别：是对整个区间而言，绝对的、极值：最值,定理1,(必要条件),(费马定理),设,函数,在点,处,可导，,那么,且在点,处,取得极值，,证,设,为极大值.,则在,时，,于是当,时，,当,时，,只有,存在，,15,定理1(必要条件)(费马定理)设函数在点处可导，那么且在点处,注意1:,如：,可导函数,的,极值点,驻点,3:,可导,函数,的,极值点,一定,是它的,驻点，,但,函数的,驻点,却,不一定是极值点.,即,是驻点，,但,不是极值点.,2:,在,点连续但不可导，,也可能是极值点.,如：,连续不可导，,极值点的,可疑点：,驻点，不可导点.,却,是极小值点.,如：,在,处连续不可导，,也,不是极值点.,x,y,o,16,注意1:如：可导函数的极值点驻点3:可导函数的极值点一定是它,定理2,设,连续,函数,的极值,可疑点,(第一充分条件),的一个邻域内,在,可除外,可导.,到大,经过点,时，,若,(1),在,的两侧，,由正变负,，,则,是,极大值.,(2),在,的两侧，,由负变正,，,则,是,极小值.,不变号,，,在,的两侧，,(3),则,不是极值点.,左正右负极大,左负右正极小,左右同号无极值,当,由小,为,17,定理2设连续函数的极值可疑点(第一充分条件)的一个邻域内在可,3.求极值的步骤:,(1)求,定义域，,求,导数,(2)求,驻点，,即方程,的根，,以及,不可导点；,(3)检查,在,驻点及不可导点左右的正负号,，,判断出极值点；,(4),求极值.,说明：,1.定理中的条件“,连续,”很重要，,若不连续，,即使,变号，,但,未必是极值点.,2.该定理适用于,是驻点或不可导,点.,。,.,x,y,o,18,3.求极值的步骤:(1)求定义域，求导数(2)求驻点，即方程,解,列表讨论,极大值,极小值,例1,求出函数,的极值.,令,得驻点：,极大值,极小值,该函数的定义域为,19,解列表讨论极大值极小值例1求出函数的极值.令得驻点：极大值极,图形如下,20,图形如下20,解,例2,求函数,的极值.,令,得,当,时，,导数不存在.,极小值,不存在,故,极大值,为：,极小值,为：,不存在,极大值,极小值,21,解例2求函数的极值.令得当时，导数不存在.极小值不存在故极大,定理3,(第二充分条件),设,(1),当,k,是奇数时，,且,在,x,0,处连续，那么,且,时，,f,(,x,),在,x,0,的某邻域,内单调增加，,f,(,x,),在,x,0,的某邻域,内单调减少.,(2),当,k,是偶数时，,且,时，,x,0,是,f,(,x,),的极小值点；,则,x,0,是,f,(,x,),的极值点，,x,0,是,f,(,x,),的,当,时，,极大值点.,注意使用的条件：,在,x,0,处连续.,时，,而当,对不可导点不能用.,22,定理3(第二充分条件)设(1)当k是奇数时，且在 x0处连续,证,设,则,在,x,0,的某邻域内恒大于0，,对该邻域内的,x,有Tayler公式,若,k,是奇数，则由上式知，,故,f,(,x,)在该邻域内单调增加；,若,k,是偶数，由Tayler公式知,故,x,0,是,f,(,x,)的极小值点.,类似地可讨论,的情况.,23,证设则在x0的某邻域内恒大于0，对该邻域内的x,有Tayle,解,例3,求函数,的极值.,令,得驻点,则,是极小值.,则,的邻域内,单调增加，,驻点,不是,极值点.,24,解例3求函数的极值.令得驻点则是极小值.则的邻域内 单调增,解,例4,求出函数,的极值.,令,得驻点：,故,极小值,故,极大值,故,极小值,25,解例4求出函数的极值.令得驻点：故极小值故极大值故极小值25,解,定义域为,令,得,又,例5,求函数,的极值.,知：,极小值,则函数在,x,=-1的邻域内单调减少，,则函数在,x,=1的邻域内单调增加.,则该该函数有,极小值,26,解定义域为令得又例5求函数的极值.知：极小值则函数在x=-1,观察：,端点的函数值；,极值点的函数值；,不可导点,的函数值.,来自于,一.闭区间上连续函数的最值的求法,比较,端点驻点,不可导点,函数值,的,大小,最大的数,就是最大值,最小的数就是最小值.,27,观察：端点的函数值；极值点的函数值；不可导点的函数值.,解,计算,比较得,最大值是,最小值是,说明,若,在,上,单调增,，,则,若,在,上,单调减，,则,在,上,连续，,在,内可导，,且只有,一个驻,点，,它是极大(小)点，,则它,一定是最大(小)值点.,例1,求函数,在,上的最大值,与最小值.,解方程,得：,28,解计算比较得,最大值是最小值是说明若在上单调增，则若在上单,如果在开区间内只有一个极值,则这个极大,(小),值,x,y,o,a,b,x,y,a,b,o,就是最大,(小),值.,注意：,常用于解决实际问题,极值与最值得区别：,最值是整体概念而极值是局部概念.,29,如果在开区间内只有一个极值,则这个极大(小)值xyoabxy,解,如图.,设截去的小方块边长为,x，,则所作成的方盒的容积为,所以解方程,得到位于,内的唯一的根,且盒子容积最大是客观存在的，,因此,当,时，,取得最大值.,即容积最大.,例2,将一块边长为,a,的正方形铁皮，,小正方形方块，,然后把四边折起来，,为了使这个方盒的容积,最大，问应该截去多少？,从每个角截去,同样的,作成一个无盖的,方盒，,x,x,30,解如图.设截去的小方块边长为x，则所作成的方盒的容积为所以解,小结,极值是函数的局部性概念:,驻点和不可导点统称为,临界点,.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件,;,第二充分条件.,(注意使用条件),值,极小值可能大于极大值.,极大值可能小于极小,求最值方法：,比较端点驻点,不可导,点,的函数值,大小.,31,小结极值是函数的局部性概念:驻点和不可导点统称为临界点.函数,