二次函数的应用（3）

驶 向 胜 利的 彼 岸请 写 出 如 图 所 示 的 抛 物 线 的 解 析 式 ： 课 前 练 习（ 0， 1） （ 2， 4） xyO 一 座 拱 桥 的 示 意 图 如 图 ， 当 水 面 宽 12m时 ， 桥 洞 顶 部离 水 面 4m。 已 知 桥 洞 的 拱 形 是 抛 物 线 ， 要 求 该 抛 物 线的 函 数 解 析 式 ， 你 认 为 首 先 要 做 的 工 作 是 什 么 ?如 果 以水 平 方 向 为 x轴 ， 取 以 下 三 个 不 同 的 点 为 坐 标 原 点 ：1、 点 A 2、 点 B 3、 抛 物 线 的 顶 点 C所 得 的 函 数 解 析 式 相 同 吗 ？请 试 一 试 。 哪 一 种 取 法 求得 的 函 数 解 析 式 最 简 单 ？ 探 究 活 动 : A BC 4m12m 二 次 函 数 与 拱 桥 问 题练 习 市 植 物 园 人 工 湖 上 有 抛 物 线 型 拱 桥 ， 正 常 水 位 时 桥 下 水 面 宽 20米 ， 拱 高 4 米 ， 根 据 此 条 件 建 立 如 图 所 示 坐 标 系 ， 得 知 此 时 抛 物 线 的 解 析 式 为 y= x2+4 在 正 常 水 位 基 础 上 水 位 上 升 h 米 时 ， 桥 下 水 面 宽 为 d 米 ， 求 d与 h 函 数 关 系 式 。 正 常 水 位 时 ， 桥 下 水 深 2米 ， 为 了 保 证 游 船 顺 利 通 过 ， 桥 下 水 面 宽 不 得 小 于 18 求 水 深 超 过 多 少 会 影 响 过 往 游 船 在 桥 下 顺 利 航 行 ？ 251y x( 0,4 ) (10,0)(-10,0) O A( ,h)2d 例 题 ： 如 图 ， 一 单 杠 高 2.2米 ， 两 立 柱之 间 的 距 离 为 1.6米 ， 将 一 根 绳 子 的两 端 栓 于 立 柱 与 铁 杠 结 合 处 ， 绳 子自 然 下 垂 呈 抛 物 线 状 。 一 身 高 0.7米的 小 孩 站 在 离 立 柱 0.4米 处 ， 其 头 部刚 好 触 上 绳 子 ， 求 绳 子 最 低 点 到 地面 的 距 离 。 A BC D0.7 1.6 2.20.4 EFO xy 例 题 ： 如 图 ， 一 单 杠 高 2.2米 ， 两 立 柱之 间 的 距 离 为 1.6米 ， 将 一 根 绳 子 的两 端 栓 于 立 柱 与 铁 杠 结 合 处 ， 绳 子自 然 下 垂 呈 抛 物 线 状 。 一 身 高 0.7米的 小 孩 站 在 离 立 柱 0.4米 处 ， 其 头 部刚 好 触 上 绳 子 ， 求 绳 子 最 低 点 到 地面 的 距 离 。 A BC D0.7 1.6 2.20.4 EFO xy 例 题 ： 如 图 ， 一 单 杠 高 2.2米 ， 两 立 柱之 间 的 距 离 为 1.6米 ， 将 一 根 绳 子 的两 端 栓 于 立 柱 与 铁 杠 结 合 处 ， 绳 子自 然 下 垂 呈 抛 物 线 状 。 一 身 高 0.7米的 小 孩 站 在 离 立 柱 0.4米 处 ， 其 头 部刚 好 触 上 绳 子 ， 求 绳 子 最 低 点 到 地面 的 距 离 。 A BC D0.7 1.6 2.20.4 EFO xy A BC D0.7 1.6 2.20.4 EF解 ： 如 图 ，所 以 ， 绳 子 最 低 点 到 地 面 的 距 离 为 0.2米 . O xy 以 CD所 在 的 直 线 为 X轴 ， CD的 中 垂 线 为 Y轴 建 立 直 角 坐 标 系 ， 则 B（ 0.8, 2.2） ， F（ - 0.4, 0.7）设 y = ax + k ,从 而 有 0.64a + k = 2.2 0.16a + k = 0.72 解 得 ： a = K = 0.2258所 以 ， y = x + 0.2 顶 点 E（ 0, 0.2）2258 练 习 ： 如 图 所 示 ， 公 园 要 建 造 圆 形 喷 水 池 ， 在 水 池 中 央 垂 直于 水 面 处 安 装 一 个 柱 子 OA， O恰 在 水 面 中 心 ， OA 1.25米 ， 由 柱 子 顶 端 A处 的 喷 头 向 外 喷 水 ， 水 流 在 各 个 方 向 沿形 状 相 同 的 抛 物 线 落 下 ，为 使 水 流 形 状 较 为 美 观 ，要 求 设 计 成 水 流 在 离 OA距 离 为 1米 处 达 到 距 水 面最 大 高 度 为 2.25米 , 如 果不 计 其 他 因 素 , 那 么 水 池的 半 径 至 少 要 多 少 米 ，才 能 使 喷 出 的 水 流 不 致落 到 池 外 ？ A O水 面 CBy x AO水 面 CBy x解 ： 以 水 面 OC所 的 直 线 为 x 轴 ， 柱 子 OA所 在 的 直 线 为 y轴 ， O为 原 点 建 立 直 角 坐 标 系 ， 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y = a(x h) + k, 则 有 1.25 = a(0 1) + 2.252 2 解 得 ： a = - 1 所 以 ， y = - (x 1) + 2.252 则 A、 B两 点 的 坐 标 分 别 为 A(o, 1.25)B(1,2.25)，令 y = 0, 则- (x 1) + 2.25 = 02解 得 ： x = 2.5 或 x = - 0.5 (舍 去 )所 以 ， 水 池 半 径 至 少 需 要 2.5米 。 思 考 题 ： 在 上 面 的 练 习 题 中 ， 若 水 池 喷 出 抛 物 线 形 状 不 变 ，水 池 的 半 径 为 3.5米 ， 要 使 水 流 不 落 到 池 外 ， 此 时 水 流最 大 高 度 应 达 多 少 米 ？ （ 精 确 到 0.1米 ） A O水 面 CBy x解 ： 依 题 意 ， A(0， 1.25), C(3.5, 0)设 y = - (x - h) + k， 则 有 - (0 - h) + k = 1.25 - (3.5 - h) + K = 0 解 得 h = ， k 3.7.所 以 ， 此 时 水 流 最 大 高 度 应 达 3.7米 . 22 2117 练 习 1： 一 男 生 推 铅 球 ,铅 球 行 进 高 度 y(m)与 水 平 距 离 x(m)之 间 的 函 数 关 系 式 是 : y = - x2 + x + . (1)画 出 函 数 图 象 ; (2)观 察 图 象 ,说 出 铅 球 推 出 的 距 离 ; 铅 球 出 手 时 的 高度 ; 铅 球 行 进 过 程 中 的 最 高 高 度 .121 23 35y x0 例 1. 如 图 ， 一 位 运 动 员 在 距 篮 下 4m处 起跳 投 篮 ， 球 运 行 的 路 线 是 抛 物 线 ， 当 球 运行 的 水 平 距 离 是 2.5m时 ， 球 达 到 最 大 高 度3.5m ,已 知 篮 筐 中 心 到 地 面 的 距 离 3.05m , 问 球 出 手 时 离 地 面 多 高 时 才 能 中 ？ 球 的 出 手 点 A的 横 坐 标 为 -2.5， 将 x=-2.5代 入 抛 物 线 表 达 式 得 y=2.25,即 当 出 手 高度 为 2.25m时 ， 才 能 投 中 。 y2.5m4m 3.05A B CO3.5解 ： 建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系 ， 则 球 的 最 高 点 和 球 篮 的 坐 标 分 别 为 B(0,3.5),C(1.5,3.05).3.5=c3.05=1.52a+c 设 所 求 的 二 次 函 数 的 表 达 式 为 y=ax2+c. 将 点 B和 点 C的 坐 标 代 入 ， 得 解 得 a= -02c= 3.5 该 抛 物 线 的 表 达 式 为 y=-0.2x2+3.5