2021年中考数学压轴题专项训练：《反比例函数》

1如图，反比例函数y1和一次函数y2mx+n相交于点A（1，3），B（3，a），（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得OAP为以OA为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由解：（1）点A（1，3）在反比例函数y1的图象上，k133，反比例函数的解析式为y1，点B（3，a）在反比例函数y1的图象上，3a3，a1，B（3，1），点A（1，3），B（3，1）在一次函数y2mx+n的图象上，一次函数的解析式为y2x+2；（2）如图，OAP为以OA为腰的等腰三角形，当OAOP时，A（1，3），OA，OP，点P在x轴上，P（，0）或（，0），当OAAP时，则点A是线段OP的垂直平分线上，A（1，3），P（2，0），即：在x轴上存在点P，使得OAP为以OA为腰的等腰三角形，此时，点P的坐标为（，0）或（2，0）或（，0）2在平面直角坐标系xOy中，函数y（x0）的图象G经过点A（3，2），直线l：ykx1（k0）与y轴交于点B，与图象G交于点C（1）求m的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数；若区域W内的整点不少于4个，结合函数图象，求k的取值范围解：（1）把A（3，2）代入y得m326，（2）当直线l过点（2，0）时，直线解析式为yx1，解方程x1得x11（舍去），x21+，则C（1+，），而B（0，1），如图1所示，区域W内的整点有（3，1）一个；如图2，直线l在AB的下方时，直线l：ykx1过（6，1）时，16k1，解得k，当直线在OA的上方时，直线经过（1，4）时，4k1，解得k5，观察图象可知：当k或k5时，区域W内的整点不少于4个3如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（4，3），C（0，3）动点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，设运动的时间为t秒，PQ2y（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由解：（1）过点P作PEBC于点E，如图1所示当运动时间为t秒时（0t4）时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（4t，3），PE3，EQ|4tt|4t|，PQ2PE2+EQ232+|4t|2t220t+25，y关于t的函数解析式及t的取值范围：；故答案为：（2）当时，整理，得5t216t+120，解得：t12，（3）经过点D的双曲线的k值不变连接OB，交PQ于点D，过点D作DFOA于点F，如图2所示OC3，BC4，BQOP，BDQODP，OD3CBOA，DOFOBC在RtOBC中，点D的坐标为，经过点D的双曲线的k值为4如图，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（3，m+8），B（n，6）两点（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求AOB的面积；（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且当x1x2时，y1y2，指出点P、Q各位于哪个象限？解：（1）将A（3，m+8）代入反比例函数y得3（m+8）m，解得m6，点A的坐标为（3，2），反比例函数解析式为y，将点B（n，6）代入y得6n6，解得n1，点B的坐标为（1，6），将点A（3，2），B（1，6）代入ykx+b得，解得，一次函数解析式为y2x4；（2）设AB与x轴相交于点C，如图，当2x40，解得x2，则点C的坐标为（2，0），SAOBSAOC+SBOC，22+26，2+6，8；（3）当x1x2时，y1y2，点P和点Q不在同一象限，P在第二象限，Q在第四象限5如图，平面直角坐标系中，一次函数yx1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y的图象交于点C，D，CEx轴于点E，（1）求反比例函数的表达式与点D的坐标；（2）以CE为边作ECMN，点M在一次函数yx1的图象上，设点M的横坐标为a，当边MN与反比例函数y的图象有公共点时，求a的取值范围解：（1）由题意A（1，0），B（0，1），OAOB1，OABCAE45AE3OA，AE3，ECx轴，AEC90，EACACE45，ECAE3，C（4，3），反比例函数y经过点C（4，3），k12，由，解得或，D（3，4）（2）如图，设M（a，a1）当点N在反比例函数的图象上时，N（a，），四边形ECMN是平行四边形，MNEC3，|a1|3，解得a6或2或1（舍弃），M（6，5）或（2，3），观察图象可知：当边MN与反比例函数y的图象有公共点时4a6或3a26如图，一次函数ykx+2的图象与y轴交于点A，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点D在直线ykx+2上，且AOOB，反比例函数y（x0）经过点C（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P是x轴上一动点，当PCD的周长最小时，求出P点的坐标；（3）在（2）的条件下，以点C、D、P为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点M的坐标解：（1）设一次函数ykx+2的图象与x轴交于点E，连接BD，如图1所示当x0时，ykx+22，OA2四边形ABCD为正方形，OAOB，BAE90，OABOBA45，OAEOEA45，OE2，点E的坐标为（2，0）将E（2，0）代入ykx+2，得：2k+20，解得：k1，一次函数的解析式为yx+2OBDABD+OBA90，BDOAOEOB2，BD2OA4，点D的坐标为（2，4）四边形ABCD为正方形，点C的坐标为（2+20，0+42），即（4，2）反比例函数y（x0）经过点C，n428，反比例函数解析式为y（2）作点D关于x轴的对称点D，连接CD交x轴于点P，此时PCD的周长取最小值，如图2所示点D的坐标为（2，4），点D的坐标为（2，4）设直线CD的解析式为yax+b（a0），将C（4，2），D（2，4）代入yax+b，得：，解得：，直线CD的解析式为y3x10当y0时，3x100，解得：x，当PCD的周长最小时，P点的坐标为（，0）（3）设点M的坐标为（x，y），分三种情况考虑，如图3所示当DP为对角线时，解得：，点M1的坐标为（，2）；当CD为对角线时，解得：，点M2的坐标为（，6）；当CP为对角线时，解得：，点M3的坐标为（，2）综上所述：以点C、D、P为顶点作平行四边形，第四个顶点M的坐标为（，2），（，6）或（，2）7如图在平面直角坐标系中，一次函数y2x4的图象与反比例函数y的图象交于点A（1，n），B（m，2）（1）求反比例函数关系式及m的值；（2）若x轴正半轴上有一点M满足MAB的面积为16，求点M的坐标；（3）根据函数图象直接写出关于x的不等式在2x4的解集解：（1）一次函数y2x4的图象过点A（1，n），B（m，2）n24，22m4n6，m3，A（1，6）把A（1，6）代入y得，k6，反比例函数关系式为y；（2）设直线AB与x轴交于N点，则N（2，0），设M（m，0），m0，SMABSBMN+SAMN，MAB的面积为16，|m+2|（2+6）16，解得m2或6（不合题意舍去），M（2，0）；（3）由图象可知：不等式在2x4的解集是x3或0x18如图，在平面直角坐标系中，点A（3，5）与点C关于原点O对称，分别过点A、C作y轴的平行线，与反比例函数的图象交于点B、D，连结AD、BC，AD与x轴交于点E（2，0）（1）求直线AD对应的函数关系式；（2）求k的值；（3）直接写出阴影部分图形的面积之和解：（1）设直线AD对应的函数关系式为yax+b直线AD过点A（3，5），E（2，0）， 解得直线AD的解析式为yx+2 （2）点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，点C的坐标为（3，5），CDy轴，设点D的坐标为（3，a），a3+21，点D的坐标为（3，1），反比例函数y的图象经过点D，k3（1）3；（3）如图：点A和点C关于原点对称，阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积，S阴影43129如图，一次函数ykx+b的图象分别与反比例函数y的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OAOB（1）求函数ykx+b和y的表达式；（2）已知点C（0，8），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MBMC，求此时点M的坐标解：（1）把点A（4，3）代入函数得：a3412，y，OA5，OAOB，OB5，点B的坐标为（0，5），把B（0，5），A（4，3）代入ykx+b得：y2x5；（2）作MDy轴点M在一次函数y2x5上，设点M的坐标为（x，2x5）MBMC，CDBD，x2+（82x+5）2x2+（52x+5）28（2x5）2x5+5解得：x2x5，点M的坐标为（，）10如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y（k0）的第一象限内的图象上，OA3，OC5，动点P在x轴的上方，且满足SPAOS矩形OABC（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标解：（1）由题意，可知：点B的坐标为（3，5）点B在反比例函数y（k0）的第一象限内的图象上，k3515，反比例函数的解析式为ySPAOS矩形OABC，3yP35，yP3当y3时，3，解得：x5，当点P在这个反比例函数的图象上时，点P的坐标为（5，3）（2）由（1）可知：点P在直线y3上，作点O关于直线y3的对称点O，连接AO交直线y3于点P，此时PO+PA取得最小值，如图1所示点O的坐标为（0，0），点O的坐标为（0，6）点A的坐标为（3，0），AO3，PO+PA的最小值为3（3）ABy轴，AB5，点P的纵坐标为3，AB不能为对角线，只能为边设点P的坐标为（m，3），分两种情况考虑，如图2所示：当点Q在点P的上方时，APAB5，即（m3）2+（30）225，解得：m11，m27，点P1的坐标为（1，3），点P2的坐标为（7，3）又PQ5，且PQABy轴，点Q1的坐标为（1，8），点Q2的坐标为（7，8）；当点Q在点P的下方时，BPAB5，即（m3）2+（35）225，解得：m33，m43+，同理，可得出：点Q3的坐标为（3，2），点Q4的坐标为（3+，2）综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点Q的坐标为（1，8），（7，8），（3，2）或（3+，2）11如图，已知C，D是反比例函数y图象在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），且x1x2，连接OC、OD（1）若x1+y1x2+y2，求证：OCOD；（2）tanBOC，OC，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，若BOCAOD，求直线CD的解析式（1）证明：C，D是反比例函数y图象在第一象限内的分支上的两点，y1，y2x1+y1x2+y2，即x1+x2+，x1x2又x1x2，1，x2y1，x1y2OC，OD，OCOD（2）解：tanBOC，又OC，+10，x11，y13或x11，y13点C在第一象限，点C的坐标为（1，3）（3）解：BOCAOD，tanAOD，点C（1，3）在反比例函数y的图象上，m133，x2y23，x23，y21或x23，y21点D在第一象限，点D的坐标为（3，1）设直线CD的解析式为ykx+b（k0），将C（1，3），D（3，1）代入ykx+b，得：，解得：，直线CD的解析式为yx+412如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴、y轴上，D是对角线的交点，若反比例函数y的图象经过点D，且与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点E，F（1）若D的坐标为（4，2）则OA的长是8，AB的长是4；请判断EF是否与AC平行，井说明理由；在x轴上是否存在一点P使PD+PE的值最小，若存在，请求出点P的坐标及此时PD+PE的长；若不存在请说明理由（2）若点D的坐标为（m，n），且m0，n0，求的值解：（1）点D的坐标为（4，2），点B的坐标为（8，4），OA8，AB4故答案为：8；4EFAC，理由如下：反比例函数y的图象经过点D（4，2），k428点B的坐标为（8，4），BCx轴，ABy轴，点F的坐标为（2，4），点E的坐标为（8，1），BF6，BE3，ABCEBF，ABCEBF，BCABFE，EFAC作点E关于x轴对称的点E，连接DE交x轴于点P，此时PD+PE的值最小，如图所示点E的坐标为（8，1），点E的坐标为（8，1），DE5设直线DE的解析式为yax+b（a0），将D（4，2），E（8，1）代入yax+b，得：，解得：，直线DE的解析式为yx+5当y0时，x+50，解得：x，当点P的坐标为（，0）时，PD+PE的值最小，最小值为5（2）点D的坐标为（m，n），点B的坐标为（2m，2n）反比例函数y的图象经过点D（m，n），kmn，点F的坐标为（m，2n），点E的坐标为（2m， n），BFm，BEn，又ABCEBF，ABCEBF，13如图，一次函数ykx+b（k0）的图象与反比例函数y（m0）的图象交于A（3，1），B（1，n）两点（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）结合图象直接写出不等式kxb0的解解：（1）点A（3，1）在反比例函数y（m0）的图象上，m（3）13，反比例函数的表达式为y，点B（1，n）也在反比例函数y的图象上，n3，即B（1，3），把点A（3，1），点B（1，3）代入一次函数ykx+b中，得，解得，一次函数的表达式为yx2；（2）如图所示，当kx+b时，x的取值范围是3x0或x1，所以不等式kxb0的解是：3x0或x114如图，在平面直角坐标系xOy内，函数y的图象与反比例函数y（k0）图象有公共点A，点A的坐标为（8，a），ABx轴，垂足为点B（1）求反比例函数的解析式；（2）点P在线段OB上，若APBP+2，求线段OP的长；（3）点D为射线OA上一点，在（2）的条件下，若SODPSABO，求点D的坐标解：（1）函数y的图象过点A（8，a），a84，点A的坐标为（8，4），反比例函数y（k0）图象过点A（8，4），4，得k32，反比例函数的解析式为y；（2）设BPb，则APb+2，点A（8，4），ABx轴于点B，AB4，ABP90，b2+42（b+2）2，解得，b3，OP835，即线段OP的长是5；（3）设点D的坐标为（d， d），点A（8，4），点B（8，0），点P（5，0），SODPSABO，解得，d，d，点D的坐标为（，）15阅读理解：如图（1），在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），过点A、点B作平行于x轴、y轴的直线相交于点C，得到RtABC，由勾股定理可得，线段AB得出结论：（1）若A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2）请你直接用A、B两点的坐标表示A、B两点间的距离；应用结论：（2）若点P在y轴上运动，试求当PAPB时，点P的坐标（3）如图（2）若双曲线L1：y（x0）经过A（1，2）点，将线段OA绕点O旋转，使点A恰好落在双曲线L2：y（x0）上的点D处，试求A、D两点间的距离解：（1）A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2），根据两点间的距离公式得，AB；（2）设点P（0，a），A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），PA，PB，PAPB，a5，P（0，5）；（3）双曲线L1：y（x0）经过A（1，2）点，OA，k122，双曲线L1：y（x0），双曲线L2：y（x0），设点D坐标为（m，）（m0），OD，由旋转知，OAOD，m1或m2，m0，m1或m2，D（1，2）或（2，1）A（1，2），AD4或