机械能守恒及其应用

第3讲,机械能守恒定律及其应用,知识点3,机械能守恒定律及其应用,1.机械能：_和_统称为机械能,其中势能包括,_和_。,2.机械能守恒定律：,(1)内容：在只有_或_做功的物体系统内,动能,与势能可以相互转化,而总的机械能_。,动能,势能,重力势能,弹性势能,重力,弹力,保持不变,(2)常用的三种表达式。,守恒式：E,1,=E,2,或_。(E,1,、E,2,分别表示系,统初末状态时的总机械能),转化式：E,k,=_或E,k增,=_。(表示系统势能,的减少量等于动能的增加量),转移式：E,A,=_或E,A增,=_。(表示系统只,有A、B两物体时,A增加的机械能等于B减少的机械能),E,k1,+E,p1,=E,k2,+E,p2,-E,p,E,p减,-E,B,E,B减,如图所示,质量为m,1,、m,2,(m,1,m,不计摩擦,系统由静止开始,运动过程中(),A.M、m各自的机械能分别守恒,B.M减少的机械能等于m增加的机械能,C.M减少的重力势能等于m增加的重力势能,D.M和m组成的系统机械能守恒,【解析】,选B、D。M下落过程中,绳的拉力对M做负功,M的机械能减少;m上升过程,绳的拉力对m做正功,m的机械能增加,A错误。对于M、m组成的系统,机械能守恒,易得B、D正确。M减少的重力势能并没有全部用于m重力势能的增加,还有一部分转变成M、m的动能,所以C错误。,考点3,多个物体的机械能守恒,多个物体组成的系统机械能守恒问题的解题思路：,(1)首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力做功,内力是否造成了机械能与其他形式能的转化,从而判断系统机械能是否守恒。,(2)若系统机械能守恒,则机械能从一个物体转移到另一个物体,E,1,=-E,2,一个物体机械能增加,则一定有另一个物体机械能减少。,【特别提醒】,分析多物体组成的系统机械能守恒的三点注意,(1)系统内力做功是否造成系统机械能的转化。,(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。,(3)列机械能守恒方程时,可选用E,1,=E,2,(E,1,、E,2,分别表示系统初末状态时的总机械能)或E,k,=-E,p,的形式。,【典例2】,(多选)(2015全国卷)如图,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上,a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动。不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g,则(),A.a落地前,轻杆对b一直做正功,B.a落地时速度大小为,C.a下落过程中,其加速度大小始终不大于g,D.a落地前,当a的机械能最小时,b对地面的压力大小为mg,【过关题组】,1.(多选)(2016汕头模拟)如图,直立弹,射装置的轻质弹簧顶端原来在O点,O与管,口P的距离为2x,0,现将一个重力为mg的钢,珠置于弹簧顶端,再把弹簧压缩至M点,压缩量为x,0,。释放弹簧后钢珠被弹出,钢珠运动到P点时的动能为4mgx,0,不计一切阻力,下列说法中正确的是(),A.弹射过程,弹簧和钢珠组成的系统机械能守恒,B.弹簧恢复原长时,弹簧的弹性势能全部转化为钢珠的动能,C.钢珠弹射所到达的最高点距管口P的距离为7x,0,D.弹簧被压缩至M点时的弹性势能为7mgx,0,2.(多选)(2016绵阳模拟)如图所示,倾角为30、高为L的固定斜面底端与,光滑水平面平滑相连,质量分别为3m、m的两个小球A、B,用一根长为L的轻绳连接,A球置于斜面顶端。现由静止释,放A、B两球,B球与弧形挡板碰撞过程时间极短,无机械能,损失,且碰后只能沿斜面下滑,两球最终均滑到水平面,上。已知重力加速度为g,不计一切摩擦,则(),A.A球刚滑至水平面时的速度大小为,B.B球刚滑至水平面时的速度大小为,C.在A球沿斜面下滑的过程中,轻绳对B球先做正功、后不做功,D.两小球在水平面上不可能相撞,【解析】,选A、C。B球运动至斜面顶端的过程,两个小,球A、B系统机械能守恒,则3mg L-mgL=(3m+m)v,2,解得v=,此后绳中无张力。A球运动至水平面过程,对A由机械能守恒定律得3mg L=(3m),v,A,2,-(3m)v,2,解得v,A,=,故A正确;B球运动至水平面过程对B由机,械能守恒定律得mgL=m,v,B,2,-mv,2,解得v,B,=,故B错误;B球在上升过程轻绳对B球做正功,二者一起沿,斜面下滑时,轻绳张力为零,不做功,故C正确;两个小球A、B运动到水平面上,由于后面的B球速度大于A球速度,所以小球A、B在水平面上会相撞,故D错误。,3.如图所示,左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上,碗口水平,O点为球心,碗的内表面及碗口光滑。右侧是一个固定光滑斜面,斜面足够长,倾角=30。一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上,绳的两端分别系有可看作质点的小球m,1,和m,2,且m,1,m,2,。开始时m,1,恰在右端,碗口水平直径A处,m,2,在斜面上且距离斜面顶端足够远,此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直。当m,1,由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开,不计细绳断开瞬间的能量损失。,(1)求小球m,2,沿斜面上升的最大距离s。,(2)若已知细绳断开后小球m,1,沿碗的内侧上升的最大高,度为 ,求 。,【解析】,(1)设重力加速度为g,小球m,1,到达最低点B时m,1,、,m,2,的速度大小分别为v,1,、v,2,由运动的合成与分解得,v,1,=v,2,对m,1,、m,2,系统由机械能守恒定律得,由几何关系得h=Rsin30,设细绳断后m,2,沿斜面上升的距离为,s,对m,2,由机械能,守恒定律得m,2,g,s,sin30=,小球m,2,沿斜面上升的最大距离,s,=R+s ,联立得,s,=,(2)对小球m,1,由机械能守恒定律得 ,联立式得,答案：,(1)(2),【回顾空间】,1.请写出以上三题机械能守恒的系统：,第1题_,第2题_,第3题_,_。,2.请写出第3题的解答思路：,(1)小球m,1,到达B点时,将m,1,的速度v,1,沿绳和垂直绳的,方向分解,可得m,2,的速度v,2,与v,1,的关系为_。,弹簧和钢珠,A球和B球,小球m,1,和,小球m,2,(2)小球m,1,由静止运动到B点的过程,m,1,、m,2,组成的系统,_。,(3)绳断开后,小球m,1,运动的过程,只有_做功,机械,能_;小球m,2,运动的过程,只有_做功,机械能,_。,机械能守恒,重力,守恒,重力,守恒,【加固训练】,如图所示,物块A的质量为M,物块B、C的质量,都是m,并都可看作质点,且mM m,即 。,答案：,(1)(2),考点4,机械能守恒中的轻杆模型,【典例3】,轻杆可绕其一端为轴自由转动,在杆的中点和另一端分别固定质量相同的,小球A、B,如图所示,将杆从水平位置由静,止释放,当杆转动到竖直位置时,小球B突然脱落,以下说法正确的是(),A.A球仍能摆到水平位置,B.A球不能摆到水平位置,C.两球下摆至竖直位置的过程中,A球的机械能守恒,D.两球下摆至竖直位置的过程中,B球的机械能减少,【思路点拨】,(1)两球由静止转到竖直位置的过程,系统只有重力和系统内弹力做功,可列机械能守恒方程求出两球的速度。,(2)判断两球下摆过程机械能是否守恒可分别对两球列动能定理方程求出杆对两球做的功。,【解析】,选B。设当杆转到竖直位置时,A球和B球的速,度分别为v,A,和v,B,。由系统机械能守恒可得：mgL+mg2L,=,又因A球和B球在各个时刻对应的角,速度相同,故v,B,=2v,A,由式得：,根据动能定理,可解出杆对A、B做的功。对于A有：W,A,+,mgL=-0,即W,A,=-0.4mgL,对于B有：W,B,+mg2L=,-0,即W,B,=0.4mgL。由做功情况可知：A球的机械能减少,B球的机械能增大,小球B脱离,小球A不能摆到水平位置,选项B正确,A、C、D错误。,【迁移训练】,迁移1：改变小球,的质量和转轴的位置,(多选)将,【典例3】,中A球和转轴O的位,置互换,并将B球的质量增为原来的2倍,如图所示,把杆置于水平位置后释放,在B球顺时针摆动到最低位置的过程中(不计一切摩,擦)(),A.B球的重力势能减少,动能增加,B球和地球组成的系统机械能守恒,B.A球的重力势能增加,动能也增加,A球和地球组成的系统机械能不守恒,C.A球、B球和地球组成的系统机械能守恒,D.A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒,【解析】,选B、C。A球在上摆过程中,重力势能增加,动能也增加,机械能增加,B项正确;由于A球、B球和地球组成的系统只有重力做功,故系统的机械能守恒,C项正确,D项错误;B球部分机械能转移给A球,所以B球和地球组成系统的机械能一定减少,A项错误。,迁移2：将,轻杆换成轻绳,(多选)将,【典例3】,中的轻杆换成轻绳,如图所示,将细绳拉到水平位置由静止释放,下摆过程中,以下说法正确的是(),A.A、B两球与O点保持在一条直线上,B.A、B两球与O点不在一条直线上,C.A、B间的细绳对A球做正功,D.A、B间的细绳对A球做负功,【解析】,选B、D。假设A、B两球互不影响,当向下摆动,时,A、B两球的摆动角速度分别为,1,、,2,则有,mgLsin=,mg2Lsin=解得,因此得,1,2,故A球下摆较快,A、B两球与O点不在一条直线上,且A、B间细绳与A球运,动的方向为钝角,故A、B间的细绳对A球做负功,B、D正,确。,迁移3：,小球用轻绳连接并跨过光滑圆柱,将,【典例3】,中A球的质量增为原来的2倍,并将轻杆换成轻绳,如图所示轻绳跨过固,定在地面上半径为R的光滑圆柱。当B位于地面时,A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放,B上升的最大高度是(A、B两球均视为质点)(),【解析】,选C。如图所示,以A、B两球,为系统,以地面为零势能面,设A质量,为2m,B质量为m,根据机械能守恒定律,有：2mgR=mgR+3mv,2,A落地后B将以速度v做竖直上,抛运动,即有 mv,2,=mgh,解得h=R,则B上升的高度为,R+R=R,故选项C正确。,【加固训练】,如图所示,在长为L的轻杆中点A和端,点B处各固定一质量为m的球,杆可绕,无摩擦的轴O转动,使杆从水平位置,无初速度释放摆下。求当杆转到竖,直位置时,轻杆对A、B两球分别做了多少功?,【解析】,设当杆转到竖直位置时,A球和B球的速度分别为v,A,和v,B,。如果把轻杆、地球、两球构成的系统作为研究对象,那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零,故系统机械能守恒。若取B的最低点为零重力势能参考平面,可得,又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同,故v,B,=2v,A,由以上两式得,根据动能定理,可解出杆对A球、B球做的功,对于A球有,所以W,A,=-0.2mgL,对于B球有W,B,+mgL=,所以W,B,=0.2mgL,答案：,-0.2mgL0.2mgL,