随机变量及其分布2.4连续型随机变量及其概率密度

一、概率密度的概念与性质,二、常见连续型随机变量的分布,三、小结,第四节连续型随机变量及其概率密度,一、概率密度的概念与性质,1.概率密度函数的定义,存在,(4.1),概率密度函数,简称,概率密度,.,连续型随机变量的分布函数是连续函数.,2.概率密度函数的性质,证明,(2),(3),1,同时得以下计算公式,注意,对于任意指定值,a,连续型随机变量取,a,的概,率等于零.,即,证明,连续型随机变量取值落在某区间的概率与端点无关,注意,若,X,是连续型随机变量，,X,=,a,是不可,能事件，,则有,连,续,型,若,X,为离散型随机变量,离,散,型,例,1,其他.,(3)求,解,得,解得,其他.,(3),即,二、常见连续型随机变量及其概率分布,(一)均匀分布,其他,(4.5),均匀分布概率密度函数,演示,概率密度函数图形,均匀分布的意义,分布函数,均匀分布分布函数图形,演示,例2,均匀分布,解,按题意,其他.,故有,(二)指数分布,其他,(4.7),图2-11画出了,其他.,(4.8),图2-11,有,(4.9),事实上,指数分布的重要性质:“,无记忆性,”,.,性质(4.9)称为,无记忆性.,的寿命,那么(4.9)式表明:,与从开,这,就是说,某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.,应用与背景,一、正态分布,正态分布的概率密度函数,正态分布,或,高斯分布,.,高斯资料,得到,则有,利用极坐标将它化成累次积分,得到,故有,即有,于是,性质:,有,轴平移,而不改变其形状,可见正态分布的概率密,为位置参数.,称轴不变,而形状在改变,图形越高越瘦,图形越矮越胖.,即有,易知,此时,正态分布的应用与背景,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测,量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;,正常,情况下生产的产品尺寸、,直径、,长度、,重量高度,等都近似服从正态分布.,正态分布的计算,原函数不是,初等函数,方法一:利用MATLAB软件包计算(演示),方法二:转化为标准正态分布查表计算,引理,证,得,则,由此知,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布的图形,有,注：算式中,性质,证明,例,3,将一温度调节器放置在贮存着某种液体的,容器内.,是一个随机变量,(2)若要求保持液体的温度至少,解,(1)所求概率为,即,亦即,故需,对于标准正态随机变量,的定义.,补充例题,分布函数,三、小结,2.常见连续型随机变量的分布,均匀分布,正态分布(或高斯分布),指数分布,正态分布有极其广泛的实际背景,是自然界和社会现象中最为常见的一种分布,一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响,那么这个变量一般是一个正态随机变量.,3.正态分布是概率论中最重要的分布,二项分布、泊松分布等的极限分布是正态分布所以，无论在实践中，还是在理论上，正态分布是概率论中最重要的一种分布.,二项分布向正态分布的转换,Born:,30 Apr.1777 in Brunswick,Duchy of Brunswick(now Germany),Died:,23 Feb.1855 in Gttingen,Hanover(now Germany),Carl Friedrich Gauss,高斯资料,返回,