第九章-4三重积分及其计算

*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,10/30/2024,1,其中,dv,称为体积元，其它术语与二重积分相同,若极限存在，则称函数可积,若函数在闭区域上连续，则一定可积,由定义可知,三重积分与二重积分有着完全相同的性质,三重积分的物理背景,以,f,(,x,y,z,)为体密度的空间物体的质量,下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法。,10/30/2024,2,二、在直角坐标系中的计算法,如果我们用三族平面,x,=常数，,y,=常数,z,=,常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体,其体积为,故在直角坐标系下的面积元为,三重积分可写成,和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算,具体可分为先单后重和先重后单,10/30/2024,3,先单后重,10/30/2024,4,也称为先一后二，切条法（先,z,次,y,后,x,）,注意,用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。,10/30/2024,5,化三次积分的步骤,投影，得平面区域,穿越法定限，穿入点下限，穿出点上限,对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法,例1 将,化成三次积分,其中 为长方体，各边界面平行于坐标面,解,将 投影到,xoy,面得D，它是一个矩形,在D内任意固定一点（,x,y,)作平行于,z,轴的直线,交边界曲面于两点，其竖坐标为,l,和,m,（,l,m,),10/30/2024,6,o,x,y,z,m,l,a,b,c,d,D,。,(,x,y,),例2 计算,其中 是三个坐标面与平面,x,+,y,+,z,=1 所围成的区域,10/30/2024,7,D,x,y,z,o,解,画出区域D,10/30/2024,8,解,10/30/2024,9,10/30/2024,10,10/30/2024,11,除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分,先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分,若,f,(,x,y,z,)在 上连续,介于两平行平面,z,=,c,1,z,=,c,2,(,c,1,c,2,)之间,用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域,则,先重后单,10/30/2024,12,易见，若被积函数与,x,y,无关，或二重积分容易计算时，用截面法较为方便，,就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算,尤其当,f,(,x,y,z,)与,x,y,无关时,10/30/2024,13,10/30/2024,14,例5 计算,解,故,10/30/2024,15,例6,解一,解二,先单后重,将 投影到,xoy,面得D,先重后单,10/30/2024,16,（用极坐标，用对称性）,此例介绍的是一种计算三重积分的方法，这种方法也具有一定的普遍性，这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法,10/30/2024,17,三、小结,三重积分的定义和计算,（计算时将三重积分化为三次积分）,在直角坐标系下的体积元素,10/30/2024,18,思考题,选择题:,10/30/2024,19,练 习 题,10/30/2024,20,10/30/2024,21,10/30/2024,22,练习题答案,10/30/2024,23,精品课件,！,10/30/2024,24,精品课件,！,10/30/2024,25,10/30/2024,26,