随机过程的积分和积分

单击此处编辑母版标题样式,2.5,随机过程的微分和积分,随机序列的收敛,过程的连续,过程的微分,过程的积分,五种收敛模式及其相互关系,处处连续,均方连续（定义、条件、期望、平稳）,处处可微,均方可微（定义、条件、性质、平稳）,均方积分（三种定义、期望、均方值、方差、自相关）,2.5,随机过程的微分和积分,数列,的收敛,若数列,S,1,S,2,S,n,对任意小正实数,0，,总能找到一个正整数,N，,使得当,nN,时，存在,|S,n,-a|N，,则称数列,S,1,S,2,S,n,收敛于常数,a。,表示为,称：数列,S,n,的极限为,a.,2.5,随机过程的微分和积分,随机序列的收敛,随机序列的五种收敛模式：,1）处处收敛,2）以概率1收敛,3）依概率收敛,4）依分布收敛,5）均方收敛,2.5,随机过程的微分和积分,1）处处收敛,2.5,随机过程的微分和积分,2）以概率1收敛,2.5,随机过程的微分和积分,3）依概率收敛,2.5,随机过程的微分和积分,4,）依分布收敛,2.5,随机过程的微分和积分,5,）均方收敛,2.5,随机过程的微分和积分,均方收敛的条件,2.5,随机过程的微分和积分,随机序列的收敛,随机序列的五种收敛模式：,1）处处收敛,2）以概率1收敛,3）依概率收敛,4）依分布收敛,5）均方收敛,2.5,随机过程的微分和积分,收敛模式间的关系,随机序列的五种收敛模式的关系：,收敛性减弱,举例（序列的收敛）,已知二维随机变量,(X,Y),在平面区域,G,内服从均匀分布。,定义平面区域,G,n,为,定义随机序列,其分布律为,举例（序列的收敛）,证明：,Z(n),依概率收敛于,0,；依分布收敛于,0,；均方收敛于,0,。,1,、依概率收敛于,0,举例（序列的收敛）,2,、依分布收敛于,0,举例（序列的收敛）,3,、均方收敛于,0,思考：随机序列,Z(n),是否以概率,1,收敛于,0,？,2.5,随机过程的微分和积分,随机过程的连续性,X(t,),的处处连续,普通函数,x(t,),的处处连续,随机过程的处处连续,X(t,),的均方连续,定义,充要条件,期望的连续性,平稳过程的连续性,2.5,随机过程的微分和积分,处处连续,普通函数 的处处连续,则称函数,x(t),在,t,0,点是连续的。,若,x(t),在区域,t,T,上每一点连续，则称,x(t),在区域,T,上连续。,设函数,x(t),在点,t,0,的某个邻域内是有定义的。当自变量的增量,t,趋向于0时，对应的函数的增量,x(t,0,+,t)-x(t,0,),也趋向于0。即满足,随机过程,X(t),的每一条样本函数,X（t,i,）,是一个关于变量,t,的普通函数。如果对于每一条样本函数,X（t,i,）,在区域,t,T,上连续，则称,随机过程,X(t),在区域,T,上处处连续。,随机过程的处处连续,2.5,随机过程的微分和积分,均方连续的定义,以后讲,随机过程连续,就是指,随机过程均方连续,。用下式符号表示均方连续：,则称随机过程,X（t）,在区域,t,T,上均方连续。,如果随机过程,X（t）,的一阶矩和二阶矩都存在，并且在区域,t,T,上满足,随机过程的处处连续,随机过程的均方连续,2.5,随机过程的微分和积分,均方连续的充要条件,随机过程,X(t),在区域,t,T,上,均方连续,随机过程,X(t),在区域,t,1,t,2,T,上的自相关函数,R,X,(t,1,t,2,),在(,t,1,t,2,),上,二元连续,随机过程,X(t),在区域,t,1,t,2,T,上的自相关函数,R,X,(t,1,t,2,),在(,t,t),上,二元连续,(,t,1,t,2,t,对角线),X(t,),是一个随机过程，它的连续是,均方连续,R,X,(t,1,t,2,),在区域,t,1,t,2,T,上关于,(t,1,t,2,),的二元普通函数，它的连续是,多元函数的连续,。,2.5,随机过程的微分和积分,数学期望均方连续,EX(t),是关于,t,的普通函数，其连续是一元函数的连续。,连续随机过程,求极限,与,求期望,次序可交换,如果随机过程,X(t),是连续的（均方连续），则它的数学期望也是连续的。即,普通函数的极限,过程的均方极限,2.5,随机过程的微分和积分,平稳过程均方连续的充要条件,平稳过程,X(t),在区域,t,T,上,均方连续,平稳,过程,X(t),在区域,T,上的自相关函数,R,X,(,),在,T,一元连续,平稳,过程,X(t),在区域,T,上的自相关函数,R,X,(,),在,0,点连续,上述结论是随机过程均方连续在平稳条件下的特例,2.5,随机过程的微分和积分,随机序列的收敛,过程的连续,过程的微分,过程的积分,五种收敛模式及其相互关系,处处连续,均方连续（定义、条件、期望、平稳）,处处可微,均方可微（定义、条件、性质、平稳）,2.5,随机过程的微分和积分,处处可微,普通函数的可微,则称函数,x,(t),在,t,0,点是可微的。,如果,x,(t),在区域,t,T,上每一点可微,则称,x,(t),在区域,T,上可微。,设函数,x(t),在点,t,0,的某个邻域内是有定义。,t,是邻域内的任意一点，满足,随机过程的处处可微,如果对于随机过程,X(t),的每一条样本函数,X(t,i,),在区域,t,T,上可微，则称,随机过程,X(t),在区域,T,上处处可微。,2.5,随机过程的微分和积分,均方可微的定义,则称随机过程,X（t）,在区域,t,T,上均方可微。,如果随机过程,X（t）,在区域,t,T,上满足,以后讲随机过程,可微,就是指随机过程,均方可微,。,符号,用函数可微的符号。但意义上不同，其对象是随机过程，不是普通函数。,其,求导结果,是随机过程。,2.5,随机过程的微分和积分,均方可微的条件,随机过程,X(t),在区域,t,T,上,均方可微,随机过程,X(t),在区域,t,1,t,2,T,上的自相关函数,R,X,（t,1,，t,2,）,在（,t，t）,上,二元连续,随机过程,X(t),在区域,t,1,t,2,T,上的自相关函数,R,X,（t,1,，t,2,）,在（,t，t）,上,二元可微,（,t,1,t,2,t）,随机过程,X(t),在区域,t,T,上,均方连续,2.5,随机过程的微分和积分,导数,X,(,t),的性质,Y(t),的数学期望,随机过程的导数运算和期望运算的,次序可交换,Y(t),的自相关函数,X(t),和,Y(t),的互相关函数,2.5,随机过程的微分和积分,导数,X,(,t),的性质,自相关函数和互相关函数间的关系,2.5,随机过程的微分和积分,导数,X,(,t),的性质,自相关函数和互相关函数间的关系,2.5,随机过程的微分和积分,导数,X,(,t),的性质,自相关函数和互相关函数间的关系,其中,2.5,随机过程的微分和积分,平稳过程的导数,平稳且均方可微过程,X(t),的导数,Y(t)X,(t),Y(t),的数学期望,为0,Y(t),的自相关函数,只与时间的间隔有关。,平稳过程,X(t),在区域,t,T,上均方可微的条件,实平稳过程均方可微,R,X,(,0)0,随机过程的微分,处处可微,均方可微的定义,均方可微的条件,导数,X,(,t,),的性质,平稳过程的导数,随机过程的积分,定义,积分的期望、均方值、方差,积分的自相关函数,2.5,随机过程的微分和积分,均方积分的定义,定积分,变上限积分,广义积分,随机变量,随机过程,随机过程,2.5,随机过程的微分和积分,积分的期望、均方值、方差,期望,随机过程的积分运算和期望运算的次序可交换。,2.5,随机过程的微分和积分,定积分的均方值、方差,均方值,方差,2.5,随机过程的微分和积分,积分的自相关函数,广义积分,变上限积分,习题,必做题：,2-17,改题：,2-18,XH,表示学号的最后两位,例：,2008021128,同学,XH,28,