2.3 二次函数的性质

函 数 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标y ax2(a0)y=ax2+k (a0)y ax2 (a0)y=ax2+k (a0)y=a(x+h)2 +t(a0)y a（ x+h） 2(a0)y=a(x+h)2 +t(a0) 直 线 x=-h直 线 x=-h 对 于 二 次 函 数 y=ax2 +bx + c (a 0)图 象 :一 条 抛 物 线抛 物 线 的 形 状 ,大 小 ,开 口 方 向 完 全 由 _来 决 定 . 当 a的 绝 对 值 相 等 时 ,其 形 状 完全 相 同 ,当 a的 绝 对 值 越 大 ,则 开 口越 小 ,反 之 成 立 .0 y=0.5x2y= - x 2 y= - 0.5x2 a 根 据 函 数 图 象 填 空 ：抛 物 线 y= -2x2的 顶 点 坐 标 是 ,对 称 轴 是 ， 在 侧 ，即 x_0时 , y随 着 x的 增 大 而 增 大 ；在 侧 ， 即 x_0时 ,y随 着 x的 增 大 而 减 小 .当 x= 时 ，函 数 y最 大 值 是 _.当 x_0时 ,y0 (0,0)直 线 x=0y轴 右 y轴 左0 0 0y= -2x2y x (0,0)直 线 x=0Y轴 右 Y轴 左0 0 0 y= 2x2y x 根 据 函 数 图 象 填 空 ：抛 物 线 y= -2x2的 顶 点 坐 标 是 ,对 称 轴 是 ， 在 侧 ，即 x_0时 , y随 着 x的 增 大 而 增 大 ；在 侧 ， 即 x_0时 ,y随 着 x的 增 大 而 减 小 .当 x= 时 ，函 数 y最 大 值 是 _.当 x_0时 ,y0 函 数 y=ax2+bx+c 基 本 性 质 回 顾二次函数y=ax2+bx+c（ a0）的图像是一条抛物线 y=x +2x2合 作 学 习(1)当 自 变 量 增 大 时 ,函 数 的 值 将 怎 样 变 化 ?顶 点 在 图象 的 位 置 有 什 么 特 点 ?(2)判 别 这 个 函 数 有 没 有 最 小 值 或 最 大 值 .你 能 发 现 这是 由 解 析 式 中 的 哪 一 系 数 决 定 的 吗 ?(3)这 个 函 数 值 的 增 减 性 是 怎 样 变 化 的 ? xy0 2-2-2 2-4y x0246-2 2-4 4y=2x2 4x 6y=0.75x2+3x y= 0.5x2 2x 1.5观察下列二次函数图像：顶点在图像的位置有什么特点？顶 点 是 抛 物 线 上 的 最 高 点 （ 或 最 低 点 ） 条 件 图 像 增 减 性 最 大 （ 小 ） 值 xyo x 2x1 x yox1 x2二 次 函 数 y=ax2+bx+c(a 0)的 性 质 ：a 0a 0 w(1).每 个 图 象 与 x轴 有 几 个 交 点 ？w(2).一 元 二 次 方 程 x2+2x=0,x2-2x+1=0有 几 个 根 ?验 证 一 下 一 元 二 次 方 程 x2-2x+2=0有 根 吗 ?w(3).二 次 函 数 y=ax2+bx+c的 图 象 和 x轴 交 点 的 坐标 与 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c=0的 根 有 什 么 关 系 ?观 察 二 次 函 数 y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的 图 象y=x2+2x y=x2-2x+1 y=x2-2x+2 求 二 次 函 数 图 象 y=x2-3x+2与 x轴 的 交 点 A、 B的 坐 标 。解 ： A、 B在 x轴 上 ， 它 们 的 纵 坐 标 为 0， 令 y=0， 则 x2-3x+2=0 解 得 ： x1=1， x2=2； A（ 1， 0） ， B（ 2， 0）你 发 现 方 程 的 解 x1、 x2与 A、 B的 坐标 有 什 么 联 系 ？x2-3x+2=0举 例 :结 论 ： 方 程 x2-3x+2=0的 解 就 是 抛 物 线 y=x2-3x+2与x轴 的 两 个 交 点 的 横 坐 标 。 因 此 ， 抛 物 线 与 一 元 二次 方 程 是 有 密 切 联 系 的 。 如果二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与x轴的两个交点的 坐标为 （ x1， 0 ）和（ x2 ， 0）方程ax2+bx+c 0 (a0)的解与二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与x轴交点的坐标有什么关系？那么x1和 x2 恰好是方程ax2+bx+c 0 (a0)的两个根方 程 ax2+bx+c 0 (a 0)的 解 就 是 函 数 y=ax2+bx+c (a 0)的 图 像 与 x轴 交 点 的 坐 标 。横可以发现：二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与x轴交点的 存在性与 方程ax 2+bx+c 0(a0)的解是否存在有关。 合 作 探 究 那么，进一步推想方程ax2+bx+c 0 (a 0)解的存在性又与什么有关呢？b2 4ac的正负性有关。故 而 ： 当 b2 4ac 时 ， 抛 物 线 与 x轴 交 点 ； 当 b2 4ac 时 ， 抛 物 线 与 x轴 只 有 交 点 ； 当 b 2 4ac 时 ， 抛 物 线 与 x轴 交 点 。 0 两 个 0 一 个 0 没 有 例 1、 已 知 函 数 y= 0.5x2 7x 7.5(1)求 函 数 的 顶 点 坐 标 、 对 称 轴 ， 以 及 图 像 与 坐 标轴 的 交 点 坐 标 ， 并 画 出 函 数 的 大 致 图 像 ；解 ： （ 1） a= 0.5,b= 7,c=7.5; 所 以 函 数 y= 0.5x2 7x 7.5的 大 致 图 像 如 图 ：x = 720 xy 10O10 10 30 5 10 20 15 5( 7，32) (0， 7.5)( 15， 0) (1， 0) 自 变 量 x在 什 么 范 围 内 时 ， y随 x 的 增 大 而 增 大 ？ 何 时 y 随 x的 增 大而 减 小 ？ 并 求 出 函 数 的 最 大 值 或最 小 值 。解 ： 由 右 图 可 知 ， 当 x 7 时 ， y随 x 的 增 大 而 增 大 ；当 x 7 时 ， y 随 x的 增 大而 减 小 ；当 x 7时 ， 函 数 有 最 大 值 32。 (-15,0) (1,0)(0,7.5)(-7,32)(-14,7.5). 0 xy(3） 根 据 第 （ ） 题 的 图 象 草 图 ， 说 出 x 取 哪 些值 时 ， y=0; y0.x=-15或 x=1 x1 -15x1A BCS ABC=0.5 AB OC=0.5 16 7.5=60(4)求 图 象 与 坐 标 轴 交 点 构 成 的 三 角 形 的 面 积 ： xoyx1 x2(0,c) )44,2( 2abacab ),( cab 函 数 图 像 的 顶 点 、 图 像 与 坐 标 轴 的 交 点 ， 以 及 图 像 与y轴 的 交 点 关 于 图 象 对 称 轴 的 对 称 点 。xo y x2x1(0,c) ),( caby=ax2+bx+c)44,2( 2abacab X=-b/2a 练一练1、 求 下 列 函 数 的 最 大 值 （ 或 最 小 值 ） 和 对 应 的 自 变 量 的 值 ： y=2x2 8x 1； y= 3x2 5x 1解 ： y=2x2 8x 1 2(x 2)2 7 当 x=2时 ,y有 最 小 值 ,为 7 a= 3 0且 b= 5,c=1;故 :当 x= 时 ， y有 最 值 ， 为大配方法公式法 2、已知函数y=x2 3x 4.求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的大致图像；解 ： y=x2 3x 4 (x 1.5)2 6.25, 图 象 顶 点 坐 标 为 (1.5, 6.25);又 当 y=0时 ，得 x2 3x 4 0的 解 为 ： x 1 1， x2 4。则 与 x轴 的 交 点 为 ( 1,0)和 (4,0) 与 y轴 的 交 点 为 (0, 4) ( 1,0) (1.5, 6.25)(0, 4) (4,0)x=1.5Oy x ( 1,0) (1.5, 6.25)(0, 4) (4,0)x=1.5Oy x 记 当 x1=1.5, x2= , x3= 时 对 应 的 函 数值 分 别 为 y1,y2,y3,试 比 较 y1,y2,y3的 大 小 ?( ,y2) ( ,y3) (3.5,y1)x=x= x=3.5(2)在 二 次 函 数 y=x2-3x-4中 ,自 变 量 x_时 ,y随 x 的 增 大 而 增 大 ,x_时 ,y随 x的 增 大 而减 小 . 1.5 1.5 1.5 - 2 2即 x2x3x1 y1y3y2 例 2、 二 次 函 数 y=ax2+bx+c(a 0)的 图 象 如 图 所示 ， 则 a、 b、 c的 符 号 分 别 怎 样 ？ y xo 1、 已 知 二 次 函 数 的 图 像 如 图 所 示 ， 下 列 结 论 ： a+b+c 0 a-b+c 0 abc 0 b=2a其 中 正 确 的 结 论 的 个 数 是 （ ） A、 1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个2、 下 列 函 数 何 时 有 最 大 值 或 最 小 值 ， 并 求 出 最 大 值 或 最 小 值 y=2x 2-8x-3 y=-5x x- 43、 二 次 函 数 y=x2 bx+8的 图 像 顶 点 在 x轴 的 负 半 轴 上 ，那 么 b等 于 多 少 ？ D -1 10 xy 做 一 做 例 3、 如 图 ， 在 ABC中 ， AB=8cm， BC=6cm， B 90 ，点 P从 点 A开 始 沿 AB边 向 点 B以 2厘 米 秒 的 速 度 移 动 ， 点 Q从 点 B开 始 沿 BC边 向 点 C以 1厘 米 秒 的 速 度 移 动 ， 如 果P,Q分 别 从 A,B同 时 出 发 ， 几 秒 后 PBQ的 面 积 最 大 ？ 最 大 面 积 是 多 少 ？ AB C PQ 解 ： 根 据 题 意 ， 设 经 过 x秒 后 PBQ的 面 积 y最 大 ,则 ： AP=2x cm PB=（ 8-2x ） cm QB=x cm则 ： y=1/2 x（ 8-2x）=-x2 +4x=-（ x2 -4x +4 -4）= -（ x - 2） 2 + 4所 以 ， 当 P、 Q同 时 运 动 2秒 后 PBQ的 面 积 y最 大最 大 面 积 是 4 cm 2（ 0 xx20,试 比 较 y1与 y2的 大 小 . 2、 如 图 直 线 l经 过 点 A(4,0)和 B(0,4)两 点 ,它 与 二 次函 数 y=ax2的 图 像 在 第 一 象 限 内 相 交 于 P点 ,若 AOP的面 积 为 4.5,求 二 次 函 数 的 解 析 式 . AB PO xy3、 将 抛 物 线 y=x2向 下 平 移 后 ,使 它 的 顶 点 C与 它 在 x轴 上的 两 个 交 点 A,B组 成 等 边 三 角 形 ABC,求 此 抛 物 线 的 解 析式 。 谈谈你的收获、感受？！ 1、 如 图 ， 等 腰 Rt ABC的 直 角 边 AB ， 点 P、 Q分 别 从 A、 C两 点同 时 出 发 ， 以 相 等 的 速 度 作 直 线 运 动 ， 已 知 点 P沿 射 线 AB运动 ， 点 Q沿 边 BC的 延 长 线 运 动 ， PQ与 直 线 相 交 于 点 D。(1)设 AP的 长 为 x， PCQ的 面 积 为 S， 求 出 S关 于 x的 函 数 关 系 式(2)当 AP的 长 为 何 值 时 ， S PCQ= S ABC 解 ： ） P、 Q分 别 从 A、 C两 点 同 时 出 发 ， 速 度 相 等 AP=CQ=x 当 P在 线 段 AB上 时 21S PCQ CQPB 21= APPB即 S (0 x2） D A C B P Q (2)当 S PCQ S ABC时 ， 有 xx 221此 方 程 无 实 数 根 xx 221 042 2 xx x1=1+ , x2=1 (舍 去 ) 5 5 当 AP长 为 1+ 时 ， S PCQ S ABC 5 3.05米4米?2.25米 o xy 球 运 动 路 线 的 函 数 解 析 式 和 自 变 量 的 取 值 范 围 球 在 运 动 中 离 地 面 的 最 大 高 度 。解 : 设 函 数 解 析 式 为 :y=a(x 2.5)2+k,根 据 题 意 ， 得 ：2.52a+k=2.25(4 2.5)2a+k=3.05则 ： a= 0.2,k=3.5 解 析 式 为 :y= 0.2x 2+x+2.25,自 变 量 x的 取 值 范 围 为 ： 0 x 4. 球 在 运 动 中 离 地 面 的 最 大 高 度 为 3.5米 。 2、 篮 球 运 动 员 投 篮 时 ， 球 运 动 的 路 线 为 抛 物 线 的 一部 分 （ 如 图 ） ， 抛 物 线 的 对 称 轴 为 x=2.5。 求 ：