三反证法与放缩法(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3,反证法与放缩法,复习,1.,直接证明的两种基本证法：,综合法和分析法,2.,这两种基本证法的推证过程和特点：,由因导果,执果索因,3,、在实际解题时，两种方法如何运用？,通常用分析法,寻求思路,，再由综合法,书写过程,综合法,已知条件,结论,分析法,结论,已知条件,（,1,）如果有,5,只鸽子飞进两只鸽笼，至少有,3,只 鸽子在同一只鸽笼，对吗？,（,2,）,A,、,B,、,C,三个人，,A,说,B,撒谎，,B,说,C,撒谎，,C,说,A,、,B,都撒谎。则,C,在撒谎吗？为什么？,分析,:,假设,C,没有撒谎,则,A,、,B,都撒谎,.,由,A,撒谎,知,B,没有,撒谎,.,那么,假设,C,没有撒谎不成立,则,C,必定是在撒谎,.,这与,B,撒谎矛盾,.,思考？,把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为,间接证明,注：反证法,是最常见的,间接证法,.,一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），,经过正确的推理，,最后得出矛盾。,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，,这样的证明方法叫做,反证法,。,理论,反证法的证明过程：,否定结论,推出矛盾,肯定结论，,即分三个步骤：,反设,归谬,存真,反设,假设命题的结论不成立；,存真,由矛盾结果，断定反设不成立，从而,肯定原结论成立。,归谬,从假设出发，经过一系列正确的推理，,得出,矛盾,；,用反证法证明命题的过程用框图表示为：,肯定条件,否定结论,导 致,逻辑矛盾,反设,不成立,结论,成立,例,1,：,已知：一个整数的平方能被,2,整除，,求证：这个数是偶数。,证明：假设,a,不是偶数，,则,a,是奇数，不妨设,a=2n+1(n,是整数,),a,2,=(2n+1),2,=4n,2,+4n+1=4n(n+1)+1,a,2,是奇数，与已知矛盾。,假设不成立，所以,a,是偶数。,注：,直接证明难以下手的命题,，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。,例题,例,2,：,不可能成等差数列,注：,否定型命题,(,命题的结论是,“,不可能,”,，,“,不能表示为,”,，,“,不是,”,，,“,不存在,”,，,“,不等于,”,，,“,不具有某种性质,”,等,),常用反证法,练习：,例,3,：,已知,x0,y0,，,x+y2,，,求证：中至少有一个小于,2,。,分析：,所谓至少有一个,就是不可能没有,要证,“,至少有一个,”,只要证明它的反面,“,所有都,”,不成立即可,.,注,:,“,至少,”,、,“,至多,”,型命题,常用反证法,在证明不等式时,有时我们要把所证不等式的一边适当地,放大,(,或,缩小,),以利化简,并使它与不等式的另一边的不等,关系更为明显,从而得到欲证不等式成立,.,这种方法称为,放缩法,.,它是证明不等式的常用方法,.,放缩法的理论,依据,是,不等式的传递性,:,a,b,b,c,a,b0,，那么,归纳总结：,三个步骤：,反设,归谬,存真,归缪矛盾：,（,1,）与已知条件矛盾；,（,2,）与已有公理、定理、定义矛盾；,（,3,）自相矛盾。,一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），,经过正确的推理，,最后得出矛盾。,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，,这样的证明方法叫做,反证法,。,（,1,）直接证明有困难,正难则反,!,归纳总结：,哪些命题适宜用反证法加以证明？,牛顿曾经说过：,“,反证法是数学家最精确的武器之一,”,（,3,）唯一性命题,（,2,）否定性命题,（,4,）至多，至少型命题,