14.3因式分解

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,因式分解,授课人：刘秀民,知识回顾,例,1:,今天植树节，光明初中的三个班组织去公园植树，在分配的植树任务中，三个班分别植树如图所示，问：三个班共植树多少面积？,a,x y z,什么是因式分解？,多项式 整式的乘积形式,和 差,积,因式分解,整式乘法,解题的基本步骤,判断是否能提取公因式,两项式考虑平方差公式,三项式：（,1,）完全平方式,（,2,）十字相乘法,四项及四项以上运用分组分解法,例题：,（,1,）,3x+3y,（,2,）,9x,2,-4y,2,（,3,）,x,2,-4x+4,（,4,）,ab-b-a+1,因式分解的主要方法,一、提取公因式,例,1,： 根据以下多项式，寻找出公因式,（,1,）,3x+3y,（,2,）,9x,2,-3xy,（,3,）,-x,3,y,2,+3xy,2,-xy,（,4,）,x(x-y),2,-y(x-y),思路：,1,、,取多项式中各项系数的最大公约数作为公因式中的数字因式,；,2,、,各项中的相同字母（或多项式）作为公因式中的字母（或多项式），并取它们的最低次幂,练习题,将以下多项式进行因式分解：,（,1,）,7x+7y,（,2,）,4xy-8x,2,（,3,）,x,4,y,3,+6xy-x,2,y,4,（,4,）,x(x-y),3,-y(x-y),（,5,）,16x,4,-x,（,6,）,3m(a-b)-9n(b-a),（,7,）,8m,2,n-24mn,2,（,8,）,3x,2,-6xy+x,二、公式法,常见的公式：,例,1,：根据以下多项式，运用公式法分解因式。,（,1,）,x,2,-2xy+y,2,（,2,）,9x,2,-4y,2,（,3,）,x,2,-4xy+4y,2,例,2,：以下多项式中，不能用公式法分解因式的是（ ）。,A.y,4,-8y,2,+16 B.,a,2,-b,2,C. -16a,2,+b,2,D. 4y,2,-12y+9,练习题,将以下多项式进行因式分解：,（,1,）,9x,2,-4y,2,（,2,）,x,2,-4xy+4y,2,（,3,）,x,4,-x,2,y,2,（,4,）,(x-y),2,-4(x-y)+4,（,5,）,x,4,-8x,2,+16,（,6,）,3m(a-b)-9n(b-a),（,7,）,9m,2,n,2,-6mn+1,（,8,）,-4x,2,+1,三、十字相乘法,例,1,：根据以下多项式，运用十字相乘法分解因式。,（,1,）,x,2,-5x+6,（,2,）,x,2,+7x+10,（,3,）,5x,2,-27x+10,(1),对于二次项系数为,l,的二次三项式,x,2,+px+q,，当能找到,a,、,b,两数满足,a+b,=p,，,ab,=q,时，则,x,2,+px+q =(,x+a,)(,x+b,),(2),对于一般的二元三项式,a,x,2,+bx+c,（,a,0,），当能找到,a,1,、,a,2,、,c,1,、,c,2,满足,a,1,a,2,=a,，,c,1,c,2,=c,1,，,ac,2,+a,2,c,1,=b,时，则,a,x,2,+bx+c = (,a,1,x+c,1,)(,a,2,x+c,2,),注意：十字相乘法中，先不要讲符号，就看数字，看是否能得出,练习题,将以下多项式进行因式分解：,（,1,）,x,2,-7x+10,（,2,）,x,2,-4xy-12y,2,（,3,）,x,4,+6x,2,-27,（,4,）,(x-y),2,-3(x-y)+2,（,5,）,y,4,-8y,2,+15,（,6,）,3y,2,-8y+4,（,7,）,9m,2,n,2,-10mn+1,（,8,）,-4x,2,+5x-1,四、分组分解法,例,1,：试将以下多项式进行因式分解。,（,1,）,x,2,-4x+4-y,2,（,2,）,x,2,-4x-y,2,-6y-5,（,3,）,ab-b-a+1,（,4,）,x,3,-3x,2,+x-3,思路：,（,1,）,把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行,。,（,2,）,分组时要用到添括号,：,括号前面是,“,+,”,号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是,“,-,”,号，括到括号里的各项都改变符号,。,练习题,将以下多项式进行因式分解：,（,1,）,9x,2,-4y,2,-3x+2y,（,2,）,x,2,-4xy+4y,2,-1,（,3,）,x,4,+6x,2,y,2,+9y,4,-4,（,4,）,(x-y),2,-4(x-y)+4-m,2,（,5,）,y,2,-x,4,+8x,2,-16,（,6,）,ab+a-b-1,（,7,）,9m,2,n,2,-6mn+1-m,2,（,8,）,-4x,2,+4x+1+y,2,解题的基本步骤,判断是否能提取公因式,两项式考虑平方差公式,三项式：（,1,）完全平方式,（,2,）十字相乘法,四项及四项以上运用分组分解法,综合练习,例,1,：试将以下多项式进行因式分解，并说明运用的是何种因式分解方法。,（,1,）,a,3,a,2,2a,（,2,）,x,4,-4x,3,+4x,2,-1,（,3,）,2x,2,3x,1,（,4,）,1,a,2,2ab,b,2,（,5,）,x,3,2xy,x,xy,2,（,6,）,a,n+1,4a,n,4a,n-1,思考以下几道例题：,例,1,：试将以下多项式进行因式分解。,（,1,）,a,4,4,（,2,）,(x,y)(x,y,1),12,（,3,）,(a,2,a),2,4(a,2,a),4,（,4,）,x,4,+x,2,y,2,+y,4,（,5,）,x,3,5x,2,+12,这几题能直接通过上述方法进行因式分解吗？,拓展方法：,一、换元法（整体法）,（,1,）,(x,y)(x,y,1),12,当,A=,x+y,时，原式变成？,原式,=A(A-1)-12,=A,2,-A-12,（,2,）,(a,2,a),2,4(a,2,a),4,当,x=a,2,a,时，原式变成？,原式,=x,2,-4x+4,二、添项拆项法,（,1,）,x,4,+x,2,+1,上式能否出现完全平方式，缺少了什么？,原式,= x,4,+2x,2,+1-x,2,=(x,2,+1),2,-x,2,（,2,）,x,4,+x,2,y,2,+y,4,出现,x,4,、,x,2,y,2,、,y,4,，我们马上要想到什么？,原式,= x,4,+2x,2,y,2,+y,4,-x,2,y,2,三、待定系数法,（,1,）,2x,2,+3xy,9y,2,+14x,3y+20,上式中，我们可以知道,2x,2,+3xy,9y,2,=,（,2x,3y,）,(x+3y),可设原式,=,（,2x,3y+a,）,(x+3y+b),a+2b=14,3a-3b=-3,练习：,a,2,+b,2,+4a-4b-2ab+4,四、因式定理法,例,1,：,x,3,5x,2,+12,思路：假设,x,3,5x,2,+12=0,那么，如何找到（,x-a,）中这个,a,呢？,当,x=a,时，,f(a)=0,时，则多项式,f(x),有一次因式为,x-a,。,若两个多项式相等，则它们的同类项系数相等。,（,1,）将用常数项,12,的约数分别带入多项式，若值为,0,，则可找到一次因数,（,2,）然后用除法或待定系数法,练习：,x,3,5x,2,+9x,6,试想：,当多项式最高次项的系数不为,1,时，能直接将常数项的约数带入原式吗？,例,1,：,2x,3,13x,2,+3,思路：假设,2x,3,13x,2,+3=0,那么，如何找到（,x-a,）中这个,a,呢？,用最高次项的系数的约数，分别去除常数项的约数，将得到的商分别带入原式，当值为,0,时，即能找到原式的一次因式,注意,n,为偶数 ，（,x-y,）,n,= (y-x),n,n,为奇数 ，（,x-y,）,n,= -(y-x),n,（,1,）若,a-3b=-5,，,a+b,=15,，求多项式,a,2,-2ab-3b,2,的值。,（,2,）对下列多项式进行因式分解。,4a(x-y),2,-2b(y-x),2,+(y-x),；,a,2,(b,2,-c,2,)-c,2,(b-c)(,a+b,),；,a,2,-4b,2,-4c,2,-8bc,；,x,4,+x,2,2ax,a+1,；,（,3,）已知,x,2,+y,2,+2z,2,-2x+4y+4z+7=0,，求,xyz,的值。,（,4,）,已知,x(x-1)-(x,2,-y)=-3,，求,x,2,+y,2,-2xy,的值,。,（,5,）如果,ax,2,+24x+b=(mx-3),2,求,a,、,b,、,m,的值。,（,6,）,先化简，再求,值：,y(,x+y,)+(x-y),2,-x,2,-2y,2,，其中,x=-1/3,，,y=3,。,强化练习,谢谢！,