极限应用的一个例子-连续函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,2.3 极限应用的一个例子 连续函数,连续函数的概念,反函数和复合函数的连续性,初等函数的连续性,连续函数的概念,1.连续函数的两个定义,设函数,y,=,f,(,x,)的定义域为,X,如图所示,x,=,x,x,0,称为自变量,在点,x,0,的,改变量,或,增量.,y,=,f,(,x,),f,(,x,0,)或,y,=,f,(,x,0,+,x,),f,(,x,0,),称为,函数的改变量,或,增量.,设函数,f,(,x,)在点,x,0,的邻域内有定,义,当,x,x,0,时,f,(,x,)的极限存在,且等于该,点处的函数值,f,(,x,0,),即,定义,1,则称函数,f,(,x,)在点,x,0,处,连续,x,0,称为函数,f,(,x,)的,连续点,.,如果函数在某一区间的任意一点都,连续,则称此函数是该区间上的,连续函数,.,连续函数的图形是一条连续而不间,断的曲线.,例1.证明函数,在,x,=0处连续.,证,又,f,(0)=0,则,由定义1知,函数,f,(,x,)在,x,=0处连续.,则称函数,f,(,x,)在点,x,0,处,连续,设函数,f,(,x,)在点,x,0,的邻域内有定,义,当,x,=,x,x,0,0时,y,=,f,(,x,),f,(,x,0,)0,即,定义2,函数在一点处连续的本质特征:,自变量变化很小时,函数值的变化也很小.,例2.证明正弦函数,y,=sin,x,在区间(,+,),内连续.,证,任取,x,(,+,),y,=sin(,x,+,x,)sin,x,由于|sin,|,|,，,当,x,0时,y,0,则,|,y,|0,a,1,)在(,+,),内单调且连续.,对数函数,y,=log,a,x,(,a,0,a,1,)在(,0,+,),内单调且连续.,幂函数,y,=,x,而,y,=,a,u,u,=,log,a,x,在,(,0,+,)内连续.,讨论,不同值,幂函数均在其定义域内连续.,可知,所有基本初等函数在其有定义,的区间内连续.,进一步,初等函数在其有定义的区间,内连续.,是初等函数,在点,x,0,=1处有定义,例.求,解：,原式=,故在,x,0,=1处连续,由连续函数求极限的法则,有,思考题,设,已知,f,(,x,)在,x,=0处连续,试确定,a,和,b,的值,答案：(,a,=1,b,=,e,),闭区间上连续函数的性质,一、最大值和最小值定理,二、介值定理,1.最大值和最小值定理,定理1 (最大值和最小值定理),闭区间上,的连续函数一定存在最大值和最小值.,x,1,x,2,至少存在一个,最高点(,x,1,f,(,x,1,)和,最低点(,x,2,f,(,x,2,),使得,x,a,b,有,f,(,x,1,),f,(,x,),f,(,x,2,),f,(,x,).,1.若区间不是闭区间,定理不一定,成立,2.若区间内有间断点,定理不一定,成立,注意:,但它既存在最大值,也存,在最小值.,推论(有界性定理),在闭区间上连续的,函数一定在该区间上有界.,例如,符号函数,不是连续函数,应注意条件与结论之间的逻辑关系.,2.介值定理,定理2(介值定理),若函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续,且,f,(,a,),f,(,b,),为介于,f,(,a,),与,f,(,b,)之间的任意一个数,即,f,(,a,),f,(,b,),则至少存在一个内点,(,a,b,),使得,f,(,)=,.,1,2,3,连续曲线弧,y,=,f,(,x,),与水平直线,y,=,至,少有一个交点.,推论(根的存在定理),若函数,f,(,x,)在闭区,间,a,b,上连续,且,f,(,a,),与,f,(,b,)异号,则至少,存在一个内点,(,a,b,),使得,f,(,)=0.,连续曲线弧,y,=,f,(,x,)的,两个端点位于,x,轴的,两侧,则曲线弧与,x,轴,至少有一个交点,若方程,f,(,x,)=0左端的函数,f,(,x,)在闭,区间,a,b,两个端点处的函数值异,号,则该方程在开区间(,a,b,)内至少,存在一个根,.,应用:,例1.证明方程,x,3,4,x,2,+1=0在区间(0,1)内,至少有一根.,证,令,f,(,x,)=,x,3,4,x,2,+1，,则,f,(,x,),在区间0,1上连续.,又,f,(0)=1,f,(1)=,2,由根的存在定理,(0,1),使,f,(,)=0.,即,3,4,2,+1=0.,故方程,x,3,4,x,2,+1=0在区间(0,1)内至少,有一根,.,0,0,例2.设函数,f,(,x,),在区间,a,b,上连续,且,f,(,a,),b,证明,(,a,b,),使,f,(,)=,.,证,令,F,(,x,)=,f,(,x,),x,则,F,(,x,)在,a,b,上连续.,而,F,(,a,)=,f,(,a,),a,0.,由根的存在定理,(,a,b,),使,F,(,)=,f,(,),=0,即,f,(,),=,.,例3.,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理,原命题得证.,内至少存在一点,在开区间,显然,正根.,