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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,11.已知函数,f,(,x,)的定义域为N，且对任意正整数,x,，都有,f,(,x,),f,(,x,1),f,(,x,1)若,f,(0)2004，求,f,(2004)解：因为,f,(,x,),f,(,x,1),f,(,x,1)所以,f,(,x,1),f,(,x,),f,(,x,2)两式相加得0,f,(,x,1),f(x,2)即：,f,(,x,3),f,(,x,),f,(,x,6),f,(,x,),12,设函数f(x)对任一实数x满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且f(0)=0。求证：f(x)在-30，30上至少有13个零点且f(x)是以10为周期的函数。,解f(x)关于x=2和x=7对称。,f(4)f(2+2)f(22)f(0)0,f(10)f(7+3)f(73)f(4)0，于是（0，10上至少有两个零点。,f(x10)f(73x)f(73x)f(4x)f(22x)f(22x)f(x)，f(x)以10为周期。f(30)=f(30310)=f(0)=0综上，f(x)在30，30上至少有13个零点,13函数,f,(,x,)=,的图象的对称轴方程为,x,=2，则常数,a,=,4,.,函数第三讲 奇偶性和单调性,莆田四中 许沐英,这里主要研究运用函数的概念及函数的性质解题,函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，,在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材,复习,这里以例题讲解应用,一.函数奇偶性的定义：,如果对于函数f（x）的定义域内任意的一个x，都有：,（1）f（x）=f（x），则称 y=f（x）为奇函数,（2）f（x）=f（x），则称 y=f（x）为偶函数,例1：若 f(x)是奇函数，当,x,0时，,f,(,x,)=,x,(43,x,),求当,x,时,f(x)的解析式,【解法1】,x,0时，,f,(,x,)=,x,(43,x,)，,在其上取三点,P,1,（0，0）、,则它们关于原点的对称点分别是,Q,1,(0，0)，,设,x,时，,3,4,),3,2,(,),(,2,-,+,=,x,a,x,f,Q,2,在其上，,解之，得,a,=3，,x,时，,0,3,4,),3,2,3,4,(,2,=,-,+,-,a,),4,3,(,3,4,),3,2,(,3,),(,2,+,=,-,+,=,x,x,x,x,f,例1：若 f(x)是奇函数，当,x,0时，,f,(,x,)=,x,(43,x,),求当,x,时,f(x)的解析式,【解法2】设,x,0，则,x,0,f,(,x,)=(,x,)(4+3,x,),f,(,x,)是奇函数，,f,(,x,)=,f,(,x,),x,0时，,f,(,x,)=,f,(,x,)=,x,(4+3,x,),例2 已知函数,f,(,x,)对任意实数,a,，,b,都有,，且,f,（0）0，则,f,(,x,)是,（A）奇函数非偶函数,（B）偶函数非奇函数,（C）是奇函数也是偶函数,（D）既非奇函数也非偶函数,例3 函数,y,=,f,(,x,)在(-,0 上是减函数，而函数,y,=,f,(,x,+1)是偶函数设 ，,b,=,f,(3)，,c,=,f,(,)那么,a,，,b,，,c,的大小关系是_.,【解】,c,=,f,(,),y,=,f,(,x,+1)是偶函数,y,=,f,(,x,)的图像关于,x,=1对称，,于是由,y,=,f,(,x,)在(-,0上递减知，,f,(,x,)在2,+)上递增,f,(2)=,f,(4)而 23,4,f,(3),f,(,),f,(4)，即,b,c,a,例4.设f(x)是R上的奇函数，且,f,(,x,3),f,(,x,)，当,0,x,时，,f,(,x,),x,，则,f,(2003)(),A.1B.0C.1D.2003,解：,f,(,x,6),f,(,x,33),f,(,x,3),f,(,x,),f,(,x,)的周期为6,f,(2003),f,(63351),f,(1),f,1,用定义证明函数的单调性的步骤:,(1).,设,x,1,x,2,并是某个区间上任意二,值,;,(2).,作差,f(x,1,)f(x,2,);,(3).判,断,f(x,1,)f(x,2,)的符,号,:,(4).作,结论,.,分解因式,得出因式,x,1,x,2,.,配成非负实数和.,方法小结,二.函数的单调性,例5,已知函数 ，判断该函数在区间 上的单调性，并说明理由,【解法1】设 ,1,1,),(,2,1,2,1,1,2,+,+,+,-,+,-,=,x,x,x,x,x,x,2,2,1,1,2,1,1,1,),(,),(,x,x,x,x,x,f,x,f,+,+,-,-,+,=,-,+,+,+,+,-,-,=,1,1,1,),(,2,1,1,2,1,2,x,x,x,x,x,x,f,(,x,1,),f,(,x,2,),故函数 是减函数,1,1,1,1,1,2,1,2,1,1,2,2,+,+,+,+,+,+,x,x,x,x,x,x,x,x,1,1,1,1,2,1,2,+,+,+,+,-,x,x,x,x,x,x,x,f,-,+,=,1,),(,【解法2】,x,0,时，和 都是增函数，,也是增函数，,从而 是 上的减函数,x,x,x,x,y,+,+,=,-,+,=,1,1,1,x,x,+,+,1,x,x,y,+,+,=,1,1,),+,0,例6 填空,（1）函数 的递增区间是_,（2）函数 递减区间是_,在,y,轴左侧，增减的转折点是,x,=2，且先减后增，故-2,0 是递增区间；,在,y,轴右侧，增减的转折点是,x,=2，且先减后增，故2,+)是递增区间,6,5,4,3,2,1,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-6,-4,-2,2,4,例7.已知(3,x,y,),2001,x,2001,4,x,y,0，,求4,x,y,的值.,解：构造函数,f,(,x,),x,2001,x,，则,f,(3,x,y,),f,(,x,)0注意到f(x)是奇函数且为R上的增函数，所以 3,x,y,x,4,x,y,0,例8解方程：ln(,x,)ln(2,x,)3,x,0,解：构造函数,f,(,x,),ln,(,x,),x,则由已知得：,f,(,x,),f,(2,x,)0不难知，f(,x,)为奇函数，且在,R,上是增函数(证明略)所以,f,(,x,),f,(2,x,),f,(2,x,)由函数的单调性，得,x,2,x,所以原方程的解为,x,0,思考1,2,3,练习,函数方程与迭代,思考1答案,思考,3,答案,3答案,4答案,
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