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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,对坐标的曲面积分,第十一章,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),其方向用,法向量指向,方向余弦,0 为前侧,0 为右侧,0 为上侧,0 为下侧,外侧,内侧,设,为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫,有向曲面,表示:,其面元,在,xOy,面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,1.引例,设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面,的流量,.,分析:,若,是面积为,S,的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,对一般的,有向曲面,用,“大化小,常代变,近似和,取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得,则,设,为光滑的有向曲面,在,上定义了一个,意分割,和在局部面元上,任意取点,分,记作,P,Q,R,叫做,被积函数,;,叫做,积分曲面,.,或,第二类曲面积分,.,下列极限都存在,向量场,若对,的,任,则称此极限为向量场,A,在有向曲面上,对坐标的曲面积,2.定义：,引例中,流过有向曲面,的流体的流量为,称为,Q,在有向曲面,上,对,z,x,的曲面积分;,称为,R,在有向曲面,上,对,x,y,的曲面积分.,称为,P,在有向曲面,上,对,y,z,的曲面积分;,若记,正侧,的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,3.性质,(1)若,之间无公共内点,则,(2)用,表示,的反向曲面,则,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理:,设光滑曲面,取上侧,是,上的连续函数,则,证:,取上侧,若,则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面,取下侧,则,例1.,计算,其中,是以原点为中心,边长为,a,的正立方,体的整个表面的,外侧.,解:,利用对称性.,原式,的顶部,取上侧,的底部,取下侧,解:,把,分为上下两部分,根据对称性,思考:,下述解法是否正确:,例2.,计算曲面积分,其中,为球面,外侧在第一和第五卦限部分.,例3.,设,S,是球面,的外侧,计算,解:,利用,轮换对称性,有,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,令,向量形式,(,A,在,n,上的投影,),例4.,位于原点电量为,q,的点电荷产生的电场为,解,:,。,求,E,通过球面,:,r=R,外侧的电通量,.,例5.,设,是其外法线与,z,轴正向,夹成的锐角,计算,解:,例6.,计算曲面积分,其中,解:,利用两类曲面积分的联系,有,原式=,旋转抛物面,介于平面,z=,0,及,z=,2 之间部分的下侧.,原式=,原式=,内容小结,定义:,1.两类曲面积分及其联系,性质:,联系:,思考:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾?,两类曲面积分的定义一个与,的,方向无关,一个与,2.常用计算公式及方法,面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)统一积分变量,代入曲面方程,(方程不同时分片积分),(2)积分元素投影,第一类：面积投影,第二类：有向投影,(4)确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注,：,二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,当,时，,（上侧取“+”,下侧取“,”),类似可考虑在,yOz,面及,zOx,面上的二重积分转化公式.,思考与练习,1.P227,题,2,提示:,设,则,取上侧时,取下侧时,2.P244 题 1,3.P227 题3,(3),是平面,在第四卦限部分的上侧,计算,提示:,求出,的法方向余弦,转化成第一类曲面积分,P227 题3,(3),.,设,作业,P227 3,(1),(2),(4);,4,(1),(2),第六节,备用题,求,取外侧.,解:,注意号,其中,利用轮换对称性,
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