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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,集合的含义与表示,（第一课时）,集合的含义与表示,了解,康托尔,德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。,数集,自然数的集合,有理数的集合,不等式x-73的解的集合,初中学习了哪些集合的实例,点集,圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合),线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合),等等.,一般地，把一些能够确定的不同的对象,看成一个整体,就说这个整体是由这些对象,的全体构成的集合(或集),1.集合的概念:,构成 集合的每个对象叫做这个集合的,元素.,基础练习,1.确定性,现有:不大于的正有理数.的近似数 全部长方形.全体无实根的一元二次方程程四个条件中所指对象不能组成集合的,基础练习,2.互异性,若 三个元素构成集合中的元素,求x的值.,基础练习,探究一 :(1)用列举法表示下列集合,自然数集,的图象的交点构成的集合,集合的表示方法,探究二:用描述法表示下列集合,小于10的所有非负整数构成的集合,集合的表示方法,的图象的交点构成的集合,三角形,思考：下列集合是否相同。,集合的表示方法,探究三:含参数问题,中各元素之和等于3,求a的值,集合的表示方法,选择题,以下说法正确的(),(A)“实数集”可记为R或实数集或所有实数,(B)a,b,c,d与c,d,b,a是两个不同的集合,(C)“我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定,已知2是集合M=中的元素，则实数为(),(A)2 (B)0或3 (C)3 (D)0,2,3均可,（3）下列四个集合中，不同于另外三个的是：,yy=2 B.x=2,C.2 D.xx,2,-4x+4=0,(4)由实数x,-x,x,所组成的集合 中，最 多含有的元素的个数为（）,A.2 B.3 C.4 D.5,（1）方程组 的解集用列举法表示,为_；用描述法表示为,.,（2）集合,用列举法表示为,.,3.填空,1.,用描述法表示下列集合,1，4，7，10，13,1/3,1/2,3/5,2/3,5/7.,能力提高题,2.用列举法表示下列集合：,（1）A=xN Z,(2)B=N xZ,4.,若-3 a-3,2a+1,a,2,+1,求实数a的值.,3.求集合3，x,x,2,-2x中，元素x应满足的条件。,回 顾 交 流,今天我们学习了哪些内容？,集合元素的性质：确定性，互异性，无序性,2,集合的含义,1,4,常用数集及其表示,5,集合的表示法：列举法、描述法,元素与集合的关系：,，,3,课堂作业,大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。,1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文关于一切实代数数的一个性质中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。,格奥尔格康托尔,康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德）德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。,1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。,康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。,康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在18791884年发表的题为关于无穷线性点集论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。,在1891年发表的集合论的一个根本问题里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。,在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877,说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。,19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。,他的著作有：G.康托尔全集1卷及康托尔-戴德金通信集等。,康托尔是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。,康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。,集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。,
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