MATLAB语言基础 第二讲 MATLAB的数值计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二讲,MATLAB,的数值计算,matlab,具有出色的数值计算能力，占据世界上数值计算软件的主导地位,数值运算的功能,创建矩阵,矩阵运算,多项式运算,线性方程组,数值统计,线性插值,函数优化,微分方程的数值解,一、命令行的基本操作,创建矩阵的方法,直接输入法,规则：,矩阵元素必须用 括住,矩阵元素必须用逗号或空格分隔,在 内矩阵的行与行之间必须,用分号分隔,矩阵元素可以是任何,matlab,表达式，可以是实数，也可以是复数，复数可用特殊函数,I，j,输入,a=1 2 3;4 5 6,x=2 pi/2;,sqrt,(3)3+5i,矩阵元素,符号的作用,逗号和分号的作用,逗号和分号可作为指令间的分隔符，,matlab,允许多条语句在同一行出现。,分号如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。,注意：只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。,变量名尽可能不要重复，否则会覆盖。,当一个指令或矩阵太长时，可用,续行,冒号的作用,用于生成等间隔的向量，默认间隔为1。,用于选出矩阵指定行、列及元素。,循环语句,2.用,matlab,函数创建矩阵,空,阵 ,matlab,允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。,rand,随机矩阵,eye,单位矩阵,zeros,全部元素都为0的矩阵,ones,全部元素都为1的矩阵,还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵、对角矩阵、范德蒙等矩阵的创建，就不一一介绍了。,注意：,matlab,严格区分大小写字母,，因此,a,与,A,是两个不同的变量。,matlab,函数名必须小写,。,3.矩阵的修改,直接修改,可用,键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改,。指令修改,可以用,A(,)=,来修改。,例如,a=1 2 0;3 0 5;7 8 9,a=1 2 0,3 0 5,7 8 9,a(3,3)=0,a=1 2 0,3 0 5,7 8 0,还可以用函数,subs,修改，,matlab6.0,还可用,find,函数修改。,把,matlab,工作空间中一些有用的数据长久保存下来的方法是生成,mat,数据文件。,save,将工作空间中所有的变量存到,matlab.mat,文件中。,二、数据的保存与获取,默认文件名,save data,将工作空间中所有的变量存到,data.mat,文件中。,save data a b,将工作空间中,a,和,b,变量存到,data.mat,文件中。,下次运行,matlab,时即可用,load,指令调用已生成的,mat,文件。,load,load data,load data a b,mat,文件是标准的二进制文件，还可以,ASCII,码形式保存。,即可恢复保存过的所有变量,矩阵加、减（,）运算,规则：,相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。,允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。,三、矩阵运算,2.矩阵乘（,）,运算,规则：,A,矩阵的列数必须等于,B,矩阵的行数,标量可与任何矩阵相乘。,a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;b=1;2;3;c=a*b,c=14,32,23,d=-1;0;2;f=pi*d,f=-3.1416,0,6.2832,矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵逆的运算，在,matlab,中有两种矩阵除运算,a p a,自乘,p,次幂,方阵,1的,整数,3.矩阵乘方,an,ap,pa,对于,p,的其它值,计算将涉及特征值,和特征向量，如果,p,是矩阵，,a,是标量,ap,使用特征值和特征向量自乘到,p,次,幂；如,a,p,都是矩阵，,ap,则无意义。,a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a2,ans=30 36 42,66 81 96,102 126 150,当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。,a0.5,ans=,0.4498+0.7623i 0.5526+0.2068i 0.6555-0.3487i,1.0185+0.0842i 1.2515+0.0228i 1.4844-0.0385i,1.5873-0.5940i 1.9503-0.1611i 2.3134+0.2717i,inv,矩阵求逆,det,行列式的值,eig,矩阵的特征值,diag,对角矩阵,矩阵转置,sqrt,矩阵开方,4.矩阵的其它运算,5.矩阵的一些特殊操作,矩阵的变维,a=1:12;b=,reshape,(a,3,4),c=zeros(3,4);c(:)=a(:),矩阵的变向,rot90,:,旋转;,fliplr,:,上翻;,flipud,:,下翻,矩阵的抽取,diag,:,抽取主对角线;,tril,:,抽取主下三角,;,triu,:,抽取主上三角,矩阵的扩展,关系运算,关系符号,意义,=,=,=,小于,小于或等于,大于,大于或等于,等于,不等于,数组运算指元素对元素的算术运算，,与通常意义上的由符号表示的线性代数,矩阵运算不同,数组加减(.+,.-),a.+b,a.-b,5.矩阵的数组运算,对应元素相加减（与矩阵加减等效）,2.数组乘除(,，./，.）,a,b a,，b,两数组必须有相同的行,和列两数组相应元素相乘。,a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;,b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;,a.*b,ans=,2 8 18,4 15 30,49 72 90,a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;,b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;,a*b,ans=,25 37 46,55 85 109,85 133 172,a./b=b.a,a.b=b./a,a./b=b.a,都是,a,的元素被,b,的对应元,素除,a.b=b./a,都是,a,的元素被,b,的对应元,素除,例:,a=1 2 3;b=4 5 6;c1=a.b;c2=b./a,c1=4.0000 2.5000 2.0000,c2=4.0000 2.5000 2.0000,给出,a,b,对应元素间的商.,3.数组乘方(.)元素对元素的幂,例:,a=1 2 3;b=4 5 6;,z=a.2,z=,1.00 4.00 9.00,z=a.b,z=,1.00 32.00 729.00,matlab,语言把多项式表达成一个行向量，,该向量中的元素是按多项式降幂排列的。,f(x)=a,n,x,n,+a,n-1,x,n-1,+loa,0,可用行向量,p=a,n,a,n-1,a,1,+a,0,表示,poly,产生特征多项式系数向量,特征多项式一定是,n+1,维的,特征多项式第一个元素一定是1,四、多项式运算,例:,a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;,p=poly(a),p=1.00 -6.00 -72.00 -27.00,p,是多项式,p(x)=x,3,-6x,2,-72x-27,的,matlab,描述方法，我们可用：,p1=poly2str(p,x),函数文件，显示,数学多项式的形式,p1=x3-6 x2-72 x-27,2.,roots,求多项式的根,a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a),p=,1.00 -6.00 -72.00 -27.00,r=roots(p),r=12.12,-5.73 ,显然,r,是矩阵,a,的特征值,-0.39,当然我们可用,poly,令其返回多项式形式,p2=poly(r),p2=,1.00 -6.00 -72.00 -27.00,matlab,规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。,3.,conv,convs,多项式乘运算,例:,a(x)=x,2,+2x+3;b(x)=4x,2,+5x+6;,c=(x,2,+2x+3)(4x,2,+5x+6),a=1 2 3;b=4 5 6;,c=conv(a,b)=conv(1 2 3,4 5 6),c=4.00 13.00 28.00 27.00 18.00,p=poly2str(c,x),p=4 x4+13 x3+28 x2+27 x+18,4.,deconv,多项式除运算,a=1 2 3;,c=4.00 13.00 28.00 27.00 18.00,d=deconv(c,a),d=4.00 5.00 6.00,d,r=deconv(c,a),余数,c,除,a,后的整数,5.多项式微分,matlab,提供了,polyder,函数多项式的微分。,命令格式：,polyder,(p):,求,p,的微分,polyder,(a,b):,求,多项式,a,b,乘积的微分,p,q=,polyder,(a,b):,求,多项式,a,b,商的微分,例：,a=1 2 3 4 5;poly2str(a,x),ans,=x4+2 x3+3 x2+4 x+5,b=,polyder,(a),b=4 6 6 4,poly2str(b,x),ans,=4 x3+6 x2+6 x+4,五、代数方程组求解,matlab,中有两种除运算左除和右除。,对于方程,ax+b，a,为,a,nm,矩阵，有三种情,况：,当,n=m,时，此方程成为“恰定”方程,当,nm,时，此方程成为“超定”方程,当,nm,时，此方程成为“欠定”方程,matlab,定义的除运算可以很方便地解上,述三种方程,1.恰定方程组的解,方程,ax+b(a,为非奇异),x=,a,-1,b,矩阵逆,两种解:,x=inv(a),b,采用求逆运算解方程,x=ab ,采用左除运算解方程,方程,ax=b,a=1 2;2 3;b=8;13;,x=inv(a)*b,x=ab,x=x=,2.00 2.00,3.00 3.00,=,a x =b,例:,x,1,+2x,2,=8,2x,1,+3x,2,=13,2.超定方程组的解,方程,ax=b,mn,时此时不存在唯一解。,方程解(,a a)x=a b,x=(a,a),-1,a b,求逆法,x=ab matlab,用最小二乘法找一,个准确地基本解。,例:,x,1,+2x,2,=1,2x,1,+3x,2,=2,3x,1,+4x,2,=3,a=1 2;2 3;3 4;b=1;2;3;,解1,x=ab,解2,x=inv(a,a),a,b,x=x=,1.00 1.00,0 0.00,=,a x =b,3.欠定方程组的解,当方程数少于未知量个数时,即不定,情况,有无穷多个解存在。,matlab,可求出两个解：,用除法求的解,x,是具有最多零元素的解,是具有最小长度或范数的解，这个解是基于伪逆,pinv,求得的。,x,1,+2x,2,+3x,3,=1,2x,1,+3x,2,+4x,3,=2,a=1 2 3;2 3 4;b=1;2;,x=ab x=pinv(a),b,x=x=,1.00 0.83,0 0.33,0 -0.17,=,a x =b,六、微分方程求解,微分方程求解的仿真算法有多种，常用的有,Euler（,欧拉法）、,Runge Kutta(,龙,格-库塔法。,Euler,法称一步法，用于一阶微分方程,当,给定仿真步长时：,所以,y,n+1,=y,n,+hf(x,n,y,n,)n=0,1,2,y(x,0,)=y,0,Runge Kutta,法,龙格-库塔法：实际上取两点斜率,的平均 斜率来计算的，其精度高,于欧拉算法。,龙格-库塔法：,ode23 ode45,k,1,=hf(x,n,y,n,),k,2,=hf(x,n,+h,y,n,+k),例：,x+(x,2,-1)x+x=0,为方便令,x,1,=x，x,2,=x,分别对,x,1,x,2,求一,阶导数，整理后写成一阶微分方程组,形式,x,1,=x,2,x,2,=x,2,(1-x,1,2,)-x,1,建立,m,文件,解微分方程,建立,m,文件,function xdot=wf(t,x),xdot=zeros(2,1),xdot(1)=x(2),xdot(2)=x(2)*,(1-x(1)2)-x(1),给