结构力学矩阵位移法

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,结构力学教程（,I,）,第10章 矩阵位移法,10-1 概述,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,10-4 连续梁的整体刚度矩阵,10-5 刚架的整体刚度矩阵,10-6 荷载列阵,10-7 计算步骤及算例,10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析,10-9 桁架结构的整体分析,主要内容,10-1 概述,1、结构分析方法,1）,传统方法,前面介绍的力法、位移法、力矩分配法等都是传统的结构分析方法,适用于手算,只能分析较简单的结构。,2）,矩阵分析方法,矩阵力法和矩阵位移法，或称为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方法，它能解决大型复杂的工程问题。,2、基本思路,1）手算位移法,（1）,取基本体系,构造各自独立的单跨超静梁的组 合体；,（2）,写出杆端弯矩表达式,建立各杆件的杆端弯矩与杆端位移间的关系；,3）,矩阵位移法,它是以结点位移作为基本未知量的结构分析方法。由于它易于实现计算过程程序化，故本章只对矩阵位移法进行讨论。杆件结构的矩阵位移法也被称为杆件结构的有限元法。,10-1 概述,（3）,根据结点、截面的平衡条件,建立力的平衡方程，即位移法方程。,2）矩阵位移法,（1）,结构离散化,划分单元；,（2）,单元分析,建立单元的杆端力与杆端位移间的关系，形成单元刚度矩阵；,（3）,整体分析,建立整个结构的结点位移与结点荷载间的关系，形成结构刚度矩阵。,10-1 概述,下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。,用位移法解该题 ：,2、杆端,弯矩,：,1、未知量：,M,1,M,3,M,2,i,1,i,2,10-1 概述,1,3,2,3、建立方程：,4、解方程得：,5、回代得：杆端,弯矩,M,1,M,3,M,2,i,1,i,2,10-1 概述,1,3,2, , ,把以上解题过程写成矩阵形式：,1、确定未知量：可以通过编号来解决（一个结点一个转角未知量）。,2、杆端弯矩表达式（按杆件来写）,1-2杆,单元刚,度方程,M,1,M,3,M,2,i,1,i,2,10-1 概述,1,3,2,写成矩阵形式,1 2,1,2,2-3杆,单元刚,度方程,M,1,M,3,M,2,i,1,i,2,10-1 概述,1,3,2,写成矩阵形式,2 3,2,3,3、位移法方程：, , , ,位移法方程写成,矩阵形式：,整体刚度矩阵,4,、,解方程得：,5,、,回代得：杆端,弯矩,以上五个方面就是我们在本章中需仔细研究的,。,M,1,M,3,M,2,i,1,i,2,10-1 概述,1,3,2,1 2 3,1,2,3,结点荷载列阵,结点位移列阵,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,1、单元划分及编号,在杆系结构中以自然的一根杆件,为一个单元，并以加圈的数字为记号。,如图所示为刚架的单元划分。,2、结点编号及未知量确定,结点编号的作用：,用于单元定位,确定未知量,结点编号的方法：,先处理法,后处理法,因此一个刚结点就有3个位移： ，而且支,座位移也要作为未知量。,在确定未知量时：,不忽略轴向变形；,所有单元都是两端固定的,。,先处理法：是直接给未知量编号。,后处理法：是先给结点编号（包括支座结点），,然后按一个结点3个位移再减去支座约束计算。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法：,结点编号如图所示，,先处理法：,1,2,3,4,1,2,3,4,5,6,0,0,0,0,0,0,例1：,因此未知量为6个。,结点编号如图所示，,编号顺序为：先水平，,后竖向，再转动。位移,为零编“0”号。,由于：,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法：,单元编号如图所示，,先处理法：,1,2,3,4,1,2,3,4,5,6,0,0,0,0,0,0,例1：,单元编号如图所示，,单元两头的结点号为：,“1”、“2”，如果结点的,坐标已知，单元的位置,就定了。,单元两头的结点号为：,“1,2,3”、“4,5,6”，如,果结点的坐标已知，单,元的位置同样定了。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法：,结点编号如图所示，,1,2,3,4,5,6,0,0,7,0,0,0,例2：,1,2,3,4,由于：,因此未知量为7个。,先处理法：,结点编号如图所示，,7个未知量，号就编到7。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,先处理法：,后处理法：,1,2,4,5,3,1,2,3,4,5,6,0,0,8,0,0,0,4,5,7,例3：,结点编号如图所示，,由于：,因此未知量为8个。,结点编号如图所示，,8个未知量，号就编到8。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,先处理法：,后处理法：,1,2,4,5,3,1,2,3,4,5,6,0,0,8,0,0,0,4,5,7,例3：,单元编号如图所示，,单元编号如图所示。,单元 “1”、“2”,对应,单元 “1”、“4”,对应,单元 “3”、“5”,对应,单元 “123”、“456”,对应,单元 “123”、“008”,对应,单元 “457”、“000”,对应,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法：,1,2,3,4,1,2,3,4,0,0,0,5,例4：,结点编号如图所示，,桁架一个结点2各线,位移，由于：,因此未知量为5个。,先处理法：,结点编号如图所示，,8个未知量，号就编到8。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法：,例4：,1,2,3,4,单元编号如图所示，,1,2,3,4,0,0,0,5,先处理法：,单元编号如图所示，,单元 “1”、“2”,对应,单元 “1”、“4”,对应,单元 “1,2”、“3,4”,对应,单元 “1,2”、“0,5”,对应,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,3、建立坐标,坐标系：,局部坐标,整体坐标,1）局部坐标,作用：用于表明杆端力及单元定位,方法：,x 轴与杆件重合及顺时针转原则。,标法如图所示，箭头表示x 轴的方向，y轴,不标出。单元的起始点是“1”，终点是“2”。,1,2,3,4,A,B,F,AX,F,BX,F,BY,F,AY,M,AB,M,BA,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法：,例4：,局部坐标如图所示，,1,2,3,4,单元 “1”、“2”,对应,单元 “4”、“1”,对应,单元定位向量：,1,2,3,1,4,2,3,4,4,1,3,2,先起始点后终点,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,例4：,先处理法：,局部坐标如图所示，,单元 “1,2”、“3,4”,对应,1,2,3,4,0,0,0,5,单元 “0,5”、“1,2”,对应,单元定位向量：,1,2,3,4,0,0,1,2,0,5,3,4,0,0,0,5,0,5,1,2,0,0,3,4,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,2）整体坐标,作用：用于建立位移法方程,方法：,可根据结构情况及顺时针转原则建立。,1,2,3,4,X,Y,X,Y,O,x,表述杆端力时每根杆件都需要一套局部坐标，但,建立位移法方程时每个结构则需要一个统一的坐标。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,4、单元刚度矩阵,单元刚度矩阵,两端固定单元，由两端发生单,位位移产生的杆端力的矩阵形式。,单元刚度矩阵,局部坐标下的单元刚度矩阵,整体坐标下的单元刚度矩阵,本节先介绍局部坐标下的单元刚度矩阵,以,两端固定单元为研究对象，让其两端各发生3,个位移，求出6个杆端力，然后写成矩阵形式，即可,得到单元刚度矩阵。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,单元形式,两端固定单元,杆端位移,每端各三个位移，,杆端力,每端各三个杆力，,正负号规定,与局部坐标一致为,正，相反为负。,e,E，A，I,l,1,2,2,u,2,v,1,u,e,2,1,1,v,1,q,2,q,x,2,F,y,2,F,2,M,x,1,F,1,M,y,1,F,e,1,2,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,1,2,1,2,1,2,EA,L,EI,EA,EA,L,EI,EA,6EI,L,2,12EI,L,2,6EI,L,2,12EI,L,2,4EI,L,6EI,L,2,2EI,L,6EI,L,2,EI,EA,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,1,2,1,2,1,2,EI,EA,EA,L,EA,L,EI,EA,12EI,L,2,12EI,L,2,2EI,L,6EI,L,2,4EI,L,6EI,L,2,EI,EA,6EI,L,2,6EI,L,2,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,当两端固定单元的两端同时发,生六个位移时，六个杆端力可利用,叠加原理求出：,1,号,杆,端,2,号,杆,端,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵形式：,EA,L,-EA,L,6EI,L,2,-6EI,L,2,4EI,L,2EI,L,12EI,L,3,-12EI,L,3,0,0,0,0,0,0,0,0,-EA,L,0,0,0,0,EA,L,6EI,L,2,0,0,0,0,6EI,L,2,-12EI,L,3,6EI,L,2,-6EI,L,2,2EI,L,12EI,L,3,-6EI,L,2,4EI,L,-6EI,L,2,F,X1,F,Y1,F,X2,F,y2,M,2,M,1,u,2,u,1,v,2,v,2,=,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,EA,L,-EA,L,6EI,L,2,-6EI,L,2,4EI,L,2EI,L,12EI,L,3,-12EI,L,3,0,0,0,0,0,0,0,0,-EA,L,0,0,0,0,EA,L,6EI,L,2,0,0,0,0,6EI,L,2,-12EI,L,3,6EI,L,2,-6EI,L,2,2EI,L,12EI,L,3,-6EI,L,2,4EI,L,-6EI,L,2,F,X1,F,Y1,F,X2,F,y2,M,2,M,1,u,2,u,1,v,2,v,2,=,可缩写成:,-,单元刚度方程,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,单元刚度方程：,其中：,-单元杆端力列阵,-单元杆端位移列阵,F,X1,F,Y1,F,X2,F,y2,M,2,M,1,=,u,2,u,1,v,2,v,2,=,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,EA,L,-EA,L,6EI,L,2,-6EI,L,2,4EI,L,2EI,L,12EI,L,3,-12EI,L,3,0,0,0,0,0,0,0,0,-EA,L,0,0,0,0,EA,L,6EI,L,2,0,0,0,0,6EI,L,2,-12EI,L,3,6EI,L,2,-6EI,L,2,2EI,L,12EI,L,3,-6EI,L,2,4EI,L,-6EI,L,2,=,-,单元刚度矩阵,也可写成：,1,2,2,1,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,单元刚度矩阵的性质,单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。,=,ij,k,j,i,k,其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端,位移引起的杆端力。由反力互等定理可知： ，,因此,单元刚度矩阵是对称矩阵。,第,k,列元素分别表示当第,k,个杆端位移=1时引起的六个,杆端力分量。,一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。 ，不,存在逆矩阵。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,EA,L,-EA,L,6EI,L,2,-6EI,L,2,4EI,L,2EI,L,12EI,L,3,-12EI,L,3,0,0,0,0,0,0,0,0,-EA,L,0,0,0,0,EA,L,6EI,L,2,0,0,0,0,6EI,L,2,-12EI,L,3,6EI,L,2,-6EI,L,2,2EI,L,12EI,L,3,-6EI,L,2,4EI,L,-6EI,L,2,=,1,2,2,1,由上述一般单元的刚度矩阵，可以根据实际情况处理后，,得到特殊情况下的单元刚度矩阵。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,EA,L,-EA,L,6EI,L,2,-6EI,L,2,4EI,L,2EI,L,12EI,L,3,-12EI,L,3,0,0,0,0,0,0,0,0,-EA,L,0,0,0,0,EA,L,6EI,L,2,0,0,0,0,6EI,L,2,-12EI,L,3,6EI,L,2,-6EI,L,2,2EI,L,12EI,L,3,-6EI,L,2,4EI,L,-6EI,L,2,=,1 2 3 4 5 6,1,2,3,4,5,6,例如：已知两端固定单元两头只发生转角，其它位移等于,零，同时只需要写杆端弯矩。处理的方法是：把下面刚度,矩阵的第1、2、4、5行和列划掉即可。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,两端固定单元两头只发生转角的单元刚度矩阵：,4EI,L,2EI,L,2EI,L,=,1 2,1,2,4EI,L,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,EA,L,-EA,L,6EI,L,2,-6EI,L,2,4EI,L,2EI,L,12EI,L,3,-12EI,L,3,0,0,0,0,0,0,0,0,-EA,L,0,0,0,0,EA,L,6EI,L,2,0,0,0,0,6EI,L,2,-12EI,L,3,6EI,L,2,-6EI,L,2,2EI,L,12EI,L,3,-6EI,L,2,4EI,L,-6EI,L,2,=,1 2 3 4 5 6,1,2,3,4,5,6,又如：已知两端固定单元没有轴向变形，也不需要写杆端,轴力。处理的方法是：把下面刚度矩阵的第1、4行和列划,掉即可。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,两端固定单元不考虑轴向变形的单元刚度矩阵：,6EI,L,2,4EI,L,12EI,L,3,6EI,L,2,-6EI,L,2,2EI,L,-12EI,L,3,6EI,L,2,-12EI,L,3,6EI,L,2,-6EI,L,2,2EI,L,12EI,L,3,-6EI,L,2,4EI,L,-6EI,L,2,=,1 2 3 4,1,2,3,4,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,EA,L,-EA,L,6EI,L,2,-6EI,L,2,4EI,L,2EI,L,12EI,L,3,-12EI,L,3,0,0,0,0,0,0,0,0,-EA,L,0,0,0,0,EA,L,6EI,L,2,0,0,0,0,6EI,L,2,-12EI,L,3,6EI,L,2,-6EI,L,2,2EI,L,12EI,L,3,-6EI,L,2,4EI,L,-6EI,L,2,=,1 2 3 4 5 6,1,2,3,4,5,6,再如：对于轴力杆件的单元刚度矩阵，处理的方法是：,把下面刚度矩阵的第2、3、5、6行和列划掉即可。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,轴力杆件的单元刚度矩阵应该是22的，但考虑到,斜杆在整体坐标中的需要，写成44的。,-EA,L,0,EA,L,0,0,=,1 2 3 4,1,2,3,4,0,0,0,0,-EA,L,0,EA,L,0,0,0,0,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,整体坐标下的单元刚度矩阵,如前所述，为了表述杆端力，需要每个单元都要,有自己的一套局部坐标系。但当要建立位移法方程时，,则需要结构有一套统一的整体坐标系，因此在建立方,程之前，必须把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整,体坐标下的。下面以一根斜杆为例，说明两套坐标系,的转换方法。,y,x,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,x,1,F,y,1,F,1,M,x,2,F,y,2,F,2,M,y,x,y,x,局部坐标系,中的杆端力,x,1,F,y,1,F,1,M,x,2,F,y,2,F,2,M,整体坐标系,中的杆端力,y,x,y,x,y,x,局部坐标系中杆端力与整体坐标系中杆端力之间的关系：,x,1,F,y,1,F,1,M,x,2,F,y,2,F,2,M,y,x,x,1,F,y,1,F,1,M,x,2,F,y,2,F,2,M,y,x,局部坐标系,中的杆端力,整体坐标系,中的杆端力,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,其中：T,单元坐标转换矩阵,同理：,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,可缩写成：,写,成矩阵形式,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,T,单元坐标转换矩阵；,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,T,=,其中：,是一正交矩阵,T,-1,=T,T,。,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,整体坐标系中的单元刚度矩阵,局部坐标下的单元刚度方程：,将,、式,代入,式，有：,与,比较，令：, ,杆端力、杆端位移局部坐标和整体坐标的关系式：, , ,等式两边前乘,，,得：,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,与 同阶，性质类似：,一般单元的 是奇异矩阵。,是对称矩阵。,表示在整体坐标系第j个杆端位移分量=1时引,起的第i个杆端力。,整体坐标下的单元刚度矩阵：,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,计算步骤：,1）对每个结点（包括支座结点）用先处理法或后处,理法进行编号；对每个单元进行编号；对每个单元分,别建立局部坐标；对结构建立一套整体坐标。,2）对每个单元按式写出局部坐标下的单元刚度矩阵。,3）对每个单元按式写出坐标转换矩阵。,4）对每个单元按式求出整体坐标下的单元刚度矩阵。,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,例1：求图示结构各单元的整体刚度矩阵，杆长5m,A=0.5m,2,I=1/24m,4,E=3,10,4,Mpa,。,解：1）编号、建立坐标如图所示。,1,2,3,1,2,3,0,0,0,0,0,4,y,x,2）写出各单元局部坐标下的刚,度矩阵。,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,3）写出各单元整体坐标下的刚度矩阵,单元的局部坐标与整体坐标一致，因此没有必要,转换，即：,k,k,单元： =90,0,，转换矩阵为：,T,1,1,3,5,5,6,2,2,3,4,4,6,x,y,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,k,k,T,T,1 2 3 0 0 0,1 2 3 0 0 0,k,10,4,1,2,2,1,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,例2：,求整体坐标下的单元刚度矩阵,A=0.5m,2,I=1/24m,4,E=310,7,Mpa。,y,x,1,2,3,1,2,3,0,0,0,0,0,0,6m,8m,6m,解：编号建立坐标如图所示。,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,k,k,由于单元的局部坐标与整体坐标一致，因此：,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,单元： =36.87,0,转换矩阵为：,T,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,k,T,T,k,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,1,2,3,4,2,6,1,2,3,4,5,6,x,y,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,1、编号、建立坐标如图所示。,2、单元刚度矩阵（局部坐标与整体坐标是一致的）。,M,1,M,3,M,2,i,1,i,2,1,3,2,10-4 连续梁的整体刚度矩阵,重做一下概述中的例题：,3、位移法方程整体刚度方程,这是目前会做的,由前面得到的位移法方程：, , , ,10-4 连续梁的整体刚度矩阵,写成矩阵形式：,可以缩写成：,整体刚度方程,10-4 连续梁的整体刚度矩阵,整体刚度方程：,其中：,整体刚度矩阵,结构位移列阵,结构荷载列阵,本节中主要讨论连续梁的整体刚度矩阵。,1 2 3,1,2,3,1,2,2,1,2,2,3,3,整体刚度矩阵形成步骤：,把单元的定位向量标在整体坐标下的单元刚度矩阵边上；,把单元刚度矩阵中已知支座位移为零的行和列划去；,整体刚度矩阵,K,的阶数等于结构未知量数，若未知量为n，,K,就是nn的方阵；,把各单元刚度矩阵k,e,按定位向量对入座于整体刚度矩阵，形成,K,。,10-4 连续梁的整体刚度矩阵,例1：,2）单元刚度矩阵,1,2,3,4,5,10-4 连续梁的整体刚度矩阵,解：1）编号及建立坐标,1,2,3,4,5,6,i,1,i,5,i,4,i,3,i,2,1 2,1,2,2 3,2,3,3 4,3,4,4 5,4,5,5 6,5,6,3）整体刚度矩阵,2 3 4 5 6,2,3,4,5,6,4i,1,+4i,2,2i,2,2i,2,4i,2,+4i,3,2i,3,2i,3,4i,3,+4i,4,2i,4,2i,4,4i,4,+4i,5,2i,5,2i,5,4i,5,10-4 连续梁的整体刚度矩阵,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,6EI,1,L,2,4EI,1,L,12EI,1,L,3,-6EI,1,L,2,2EI,1,L,-12EI,1,L,3,6EI,1,L,2,6EI,1,L,2,6EI,1,L,2,4EI,1,L,2EI,1,L,-6EI,1,L2,12EI,1,L,3,-6EI,1,L2,-6EI,1,L2,-12EI,1,L,3,例2：,单元刚度矩阵：,1,2,1,2,3,0,0,0,1,2,0,0 0 0 1,0,0,0,1,=,1,2,1,2,10-4 连续梁的整体刚度矩阵,整体刚度矩阵：,6EI,2,L,2,4EI,2,L,12EI,2,L,3,-6EI,2,L,2,2EI,2,L,-12EI,2,L,3,6EI,2,L,2,6EI,2,L,2,6EI,2,L,2,4EI,2,L,2EI,2,L,-6EI,2,L2,12EI,2,L,3,-6EI,2,L2,-6EI,2,L2,-12EI,2,L,3,=,0 1 2 0,0,1,2,0,3,2,2,3,=,10-4 连续梁的整体刚度矩阵,4EI,1,L,4EI,2,L,-6EI,2,L,2,12EI,2,L,3,-6EI,2,L2,+,1,2,2,1,10-5 刚架的整体刚度矩阵,刚架的整体刚度矩阵一定求解方法与连续梁的,基本相同，步骤如下：,1）编号、建立坐标。,2）写出局部坐标下的单元刚度矩阵。,3）把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐,标下的。,4）把单元定位向量标在整体坐标下的单元刚度,矩阵边上，并划去已知支座位移等于零的行和列。,5）按定位向量号用对号入座的方法集合成整体,刚度矩阵。,例1：求图示结构各单元的整体刚度矩阵，杆长5m,A=0.5m,2,I=1/24m,4,E=3,10,4,Mpa,。,解：1）编号、建立坐标如图所示。,1,2,3,1,2,3,0,0,0,0,0,4,y,x,2）写出各单元局部坐标下的刚,度矩阵。,10-5 刚架的整体刚度矩阵,1,2,3,1,2,3,0,0,0,0,0,4,y,x,1 2 3 0 0 4,1,2,3,0,0,4,1,3,1 3,10,4,0 0 0,0 12 30,30,0 30 100 50,0 30 50 100,10,4,1 2 3 4,1,2,3,4,10-5 刚架的整体刚度矩阵,k,k,T,T,1 2 3 0 0 0,1 2 3 0 0 0,1,2,2,1,k,10,4,10-5 刚架的整体刚度矩阵,1 2 3,1 2 3,k,10,4,12 0,30,0 300 0,30 0 100,拼装整体刚度矩阵：,K,10,4,0 0 0,0 12 30,30,0 30 100 50,0 30 50 100,1 2 3 4,1,2,3,4,+100,+12,-30,+300,-30,10-5 刚架的整体刚度矩阵,整体刚度矩阵的特点：,1）整体刚度系数（,k,i j,）的意义,表示当第,j,个结点位移分量,1,=1（其它结点位移分量为零）时所产生的第,i,个结点力F,i,；,2）整体刚度是对称矩阵（,反力互等定理,）；,3）整体刚度矩阵是满秩非奇异矩阵（,先处理法，已考虑约束条件,）；,4）整体刚度矩阵是稀疏、带状矩阵（,有许多零元素，且非零元素都分布在以主对角线为中心的倾斜带状区城内,）。,10-5 刚架的整体刚度矩阵,例2：图示有中间铰刚架，求其整体刚度矩阵。,10-5 刚架的整体刚度矩阵,1,4,2,1,2,3,y,x,杆长5m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3104Mpa。,3,4,5,6,4,5,7,0,0,0,0,0,0,5,解：1）编号、建立坐标,2）整体坐标下的单元刚度矩阵,10,4,300 0 0 -300 0 0,0 12 30 0 -12 30,0 30 100 0 -30 50,-300 0 0 300 0 0,0 -12 -30 0 12 -30,0 30 50 0 -30 100,1 2 3 4 5 6,1,2,3,4,5,6,1,1,2,2,10-5 刚架的整体刚度矩阵,12 0 -30 -12 0 -30,0 300 0 0 -300 0,-30 0 100 30 0 50,-12 0 30 12 0 30,0 -300 0 0 300 0,-30 0 50 30 0 100,1 2 3 0 0 0,1,2,3,0,0,0,1,1,4,4,10,4,10-5 刚架的整体刚度矩阵,12 0 -30 -12 0 -30,0 300 0 0 -300 0,-30 0 100 30 0 50,-12 0 30 12 0 30,0 -300 0 0 300 0,-30 0 50 30 0 100,4 5 7 0 0 0,4,5,7,0,0,0,3,3,5,5,10,4,10-5 刚架的整体刚度矩阵,1 2 3 4 5 6 7,K,300,+12,0 0,-30,-300 0 0 0,0 12,+300,30 0 -12 30 0,0,-30,30 100,+100,0 -30 50 0,-300 0 0 300,+12,0 0,-30,0 -12 -30 0 12,+300,-30 0,0 30 50 0 -30 100 0,0 0 0,-30,0 0,100,10,4,1,2,3,4,5,6,7,10-6 荷载列阵,把位移法方程写成矩阵形式：,-,结点荷载列阵,一列n行，n未知量的个数，由作用在结点上的集中力组成，按编号的顺序及 的顺序由上而下排列，若某方向上没有集中力就填0。,-等效结点荷载列阵,-整体刚度方程,其中 F ,-,荷载列阵,荷载列阵通常有两部分组成:,1）结点荷载列阵,10-6 荷载列阵,例：,例：,F,p,M,F,p,x,1,2,4,5,3,y,F,p2,M,F,p1,x,1,2,3,4,y,1,2,3,4,5,6,0,0,0,0,0,0,1,2,3,4,5,6,4,5,7,0,0,0,0,0,0,由节间荷载组成：,例：,（a）内力=（b）内力+（c）内力,（b）内力：固端力可查表,（c）内力：用矩阵位移法求解,2）等效结点荷载列阵,F,p,原结构,（a）,F,p,F,p,（b）,（c）,=,+,等效结点荷载,10-6 荷载列阵,把所有有结点位移的地方用附加刚臂或链杆固定起来，求出这些刚臂和链杆中的反力，把反力反向的加在结点上，即为等效结点荷载。,等效结点荷载求解方法：,=,+,F,p,q,q,F,p,1,3,2,0,0,0,0,0,0,1,2,3,F,Pe1,F,Pe2,F,Pe3,1,3,2,0,0,0,0,0,0,1,2,3,10-6 荷载列阵,q,F,p,1,3,2,取出“1”号结点,qL,2,qL,2,12,F,P,2,F,P,L,8,F,P,2,qL,2,qL,2,12,F,P,L,8,1,3,2,F,P,2,qL,2,qL,2,12,F,P,L,8,等效结点荷载,下一步的工作是如何把以上,的计算过程用矩阵形式来表示。,10-6 荷载列阵,x,y,q,F,p,1,3,2,取、单元，求出固端力，并按局部,坐标写成矩阵形式，称为局部坐标下的单元,固端力列阵。,q,qL,2,qL,2,qL,2,12,qL,2,12,0,F,P,0,qL,2,qL,2,12,qL,2,qL,2,12,=,F,P,F,P,2,F,P,L,8,F,P,2,F,P,L,8,0,F,P,0,=,F,P,2,F,P,L,8,F,P,2,F,P,L,8,10-6 荷载列阵,把局部坐标下的单元固端力列阵转换成整体坐标下的，并反号，称为整体坐标下的单元固端力列阵。,F,P,=,T,T,F,P,单元： =90,0,，转换矩阵为：,T,F,P,0,0,=,F,P,2,F,P,L,8,F,P,2,F,P,L,8,F,P,F,P,=,10-6 荷载列阵,把定位向量标在整体坐标下的单元固端力列阵边上。,F,P,0,0,=,F,P,2,F,P,L,8,F,P,2,F,P,L,8,0,F,P,0,qL,2,qL,2,12,qL,2,12,=,qL,2,1,0,0,0,3,2,2,1,0,0,0,3,10-6 荷载列阵,按对号入座的方式，求出等效结点荷载列阵。,1,3,2,0,+,0,F,P,L,8,F,P,2,+,qL,2,qL,2,12,P,=,1）求出局部坐标下的单元固端力列阵；,2）求出整体坐标下的单元固端力列阵；,3）按定位向量形成等效结点荷载列阵。,等效结点荷载的求解步骤：,10-6 荷载列阵,例：求图示结构的等效结点荷载P。,解:1）求,单元,单元,4.8kN/m,8kN,y,x,5m,2.5m,2.5m,10-6 荷载列阵,1,2,3,0,0,4,0,0,0,2）求,1 2 3 0 0 4,1,2,3,0,0,0,P,=,1,2,3,4,10-6 荷载列阵,0 + 4,12 + 0,10 5,10 + 0,4,12,5,10,=,1）编号及建立坐标；,3）求出整体坐标系下的单元刚度矩阵 ；,5）求出结构的荷载列阵 ；,10-7 计算步骤和算例,6）解方程 ，求出结点位移。,7）按公式： 求出各杆杆端内力。,计算步骤：,2）求出局部坐标系下的单元刚度矩阵 ；,4）按单元定位向量形成整体刚度矩阵 ；,10-7 计算步骤和算例,例1：求图示结构的内力。横梁,b,1,h,1,=0.5m 1.26m,立柱,b,2,h,2,=0.5m 1m。,解:1)编号、建立坐标,0,0,0,x,y,6m,12m,1kN/m,0,0,0,1,2,3,4,5,6,10-7 计算步骤和算例,2）局部坐标下的单元刚度矩阵,梁的原始数据：,柱的原始数据：,10-7 计算步骤和算例,10,3,10-7 计算步骤和算例,10,3,10-7 计算步骤和算例,3)整体坐标下的单元刚度矩阵,单元、(=90,o,)坐标转换矩阵为：,T,10-7 计算步骤和算例,转换后单元,、在整体坐标下的刚度矩阵为：,10,3,1 2 3 0 0 0,1,2,3,0,0,0,4 5 6 0 0 0,4,5,6,0,0,0,10-7 计算步骤和算例,10,3,单元的局部坐标与整体坐标一致，因此没有必要转换。,1 2 3 4 5 6,1,2,3,4,5,6,10-7 计算步骤和算例,4,）按单元定位向量形成整体刚度矩阵,三个单元的定位向量如下：,把三个单元的定位向量标在整体单元刚度边上。,10-7 计算步骤和算例,10,3,52.5,+2.31,-52.5,0.58,+83.3,-0.58,3.47,3.47,3.47,-3.47,3.47,-3.47,-3.47,-3.47,-0.58,0.58,+83.3,52.5,+2.31,-52.5,13.9,27.8,+27.8,13.9,27.8,+27.8,-6.94,-6.94,-6.94,-6.94,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1 2 3 4 5 6,1,2,3,4,5,6,10-7 计算步骤和算例,5）求荷载列阵,（1）固端力列阵,局部坐标下的,（2）固端力列阵,整体坐标下的,（3）等效结点,荷载列阵,1,2,3,0,0,0,1,2,3,4,5,6,由于没有结点荷载，因此荷载列阵等于等效结点,荷载列阵。,10-7 计算步骤和算例,6）解方程,由方程解得结点位移如下：,10-7 计算步骤和算例,7）求杆端力,单元,：,10-7 计算步骤和算例,单元：,10-7 计算步骤和算例,单元：,10-7 计算步骤和算例,8）根据杆端力绘制内力图,1.24,0.43,0.43,8.49,2.09,3.04,4.38,M,图,(kN.m),F,Q,图,(kN),F,N,图,(kN),4.76,1.24,0.43,1.24,1.24,10-7 计算步骤和算例,1.24,对图示刚架进行分析时忽略,轴向变形。,2）单元定位向量,10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析,2,0,1,2,因此，1、2、3号点的竖向位,移等于零，并且水平位移相等。,1）编号及建立坐标,1,0,3,1,2,4,5,3,4,0,0,0,0,0,0,10,4,300 0 0 -300 0 0,0 12 30 0 -12 30,0 30 100 0 -30 50,-300 0 0 300 0 0,0 -12 -30 0 12 -30,0 30 50 0 -30 100,1 0 2 1 0 3,1,0,2,1,0,3,1,1,2,2,3）整体坐标下的单元刚度矩阵,10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析,12 0 -30 -12 0 -30,0 300 0 0 -300 0,-30 0 100 30 0 50,-12 0 30 12 0 30,0 -300 0 0 300 0,-30 0 50 30 0 100,1 0 2 0 0 0,1,0,2,0,0,0,1,1,4,4,10,4,10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析,12 0 -30 -12 0 -30,0 300 0 0 -300 0,-30 0 100 30 0 50,-12 0 30 12 0 30,0 -300 0 0 300 0,-30 0 50 30 0 100,1 0 4 0 0 0,1,0,4,0,0,0,3,3,5,5,10,4,10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析,1 2 3 4,K,1,2,3,4,10,4,0,+12,+12,0,-30,0,-30,0,-30,100,+100,50,0,50 100,-30,100,10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析,1 2 3 4 5 6 7,K,300,+12,0 0,-30,-300 0 0 0,0 12,+300,30 0 -12 30 0,0,-30,30 100,+100,0 -30 50 0,-300 0 0 300,+12,0 0,-30,0 -12 -30 0 12,+300,-30 0,0 30 50 0 -30 100 0,0 0 0,-30,0 0,100,10,4,1,2,3,4,5,6,7,10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析,上述工作还可以这样处理：对考虑轴向变形的整,体刚度矩阵进行修正：把已知位移为零的行和列划掉，,把已知位移相等的行和列相加。,12,12,-30,12+12,-30,局部坐标下的单元刚度方程：,10-9 桁架结构的整体分析,坐标转换矩阵：,10-9 桁架结构的整体分析,例： 求图示桁架内力(,EA=,常数)。,解：1）编号及坐标如图：,2）局部坐标下的单,元刚度矩阵,e,=,e,=,10kN,10kN,l,l,1,2,3,4,0,0,0,0,x,y,10-9 桁架结构的整体分析,3）整体坐标下的单元刚度矩阵,k,e,单元、=90,单元,、,=90,10-9 桁架结构的整体分析,单元=45,单元,=135,10-9 桁架结构的整体分析,4）整体,刚度矩阵,K,5）结点荷载列阵,1 2 3 4,1,2,3,4,1 2 3 4,10-9 桁架结构的整体分析,6）解方程,解得：,10-9 桁架结构的整体分析,7）杆端力计算,其它杆件的计算省略了,