高等代数概念引入

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,高等代数概念引入,矩阵运算,1.,线性函数,在平面上建立直角坐标系,.,将平面上每个点,P,绕原点,向逆时针方向旋转角,到点,P.,写出点,P,的坐标,(,x,y,),与点,P,的,坐标,(,x,y,),之间的函数关系式,.,矩阵乘法,例,1,(2),将,x,轴绕原点向逆时针方向旋转角,得到直线,l,.,平面上任一点,P,关于直线,l,的对称点为,P.,写出点,P,的坐标,(,x,y,),与点,P,的坐标,(,x,y,),之间的函数关系式,.,解 设原点,O,到,P,的距离,|OP|=r,由射线,OX(,即,x,轴正方向,),到,OP,所成的角,.,则,|OP|=|OP|=r,x=,rcos,y=,rsin,.,(1),x=,rcos,(,+,),=,rcos,cos,-,rsin,sin,=,xcos,-,ysin,y=,rsin,(,+,),=,rcos,sin,+,rsin,cos,=,xsin,+,ycos,(2),在旋转变换的表达式,中,x,是,x,y,的线性函数,(,一次齐次函数,),可以表示成,可以直接写,f,1,=(,cos,-sin,).,类似地有,一般地,任意一个,n,元线性函数,可以由它的一次项系数组成的行向量,(a,1,a,n,),来表示,称为这个线性函数,f,的坐标,.,可直接写,f=(a,1,a,n,),n,个自变量看成一个整体,X,写成列向量,函数,f,在自变量,X,上的作用可以看作行,f,与列,X,相乘,:,2.,线性映射的矩阵,f:,自变量,因变量,旋转,轴对称,一般地,考虑映射,f:X=,Y=,如果每个,y,i,都是,x,1,x,n,的一个线性函数,决定,则映射,f:X,Y,由,m,个行向量,f,i,决定,.,f,称为线性映射,.,写成,看作矩阵,A=,与列,X,相乘的结果,.,3.,线性映射的合成,:,Y=,Z=,是,X,的,m,个线性函数,f,1,f,n,的线,Z=CX=BAX,C=BA,的第,i,行元素分别乘,A,的各行相加得到,.,性组合,仍是,X,的线性函数,其坐标,的坐标,(,即,A,的各行,),的相应的线性组合,4.,利用分块运算理解矩阵乘法,1,、,AB=A(B,1,B,2,B,k,),A,依次乘,B,的各列。,例,.,对可逆方阵,A,，解矩阵方程,AX=B.,将,X,B,按列分块,A(X,1,X,k,)=(B,1,B,k,),即,(AX,1,AX,k,)=(B,1,B,k,),AX,j,=,B,j,(j=1,2,k),相当于同时解,k,个有公共系数矩阵,A,的线性方程,.,同时对,k,个增广矩阵,(A,B,j,),做同样的初等行变换。,可以合并到一起作初等行变换,:,(A B),(I X,），,X=A,-1,B,。,2,、,A =(A,1,A,n,)=x,1,A,1,+,x,n,A,n,.,3,、,行变换,:,B AB,列变换,:,B BA,A,：,施工方案，,B,：,被施工的材料,例,5.,初等变换与初等矩阵,解,:,B,AB,与,I AI,经过相同的行变换,。,谢谢,