资源描述
单辑母版标题样式击此处编,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,留数定理复习,一、留数概念：,存在奇点的区域中，函数以奇点为中心展开为双边幂级数洛朗级数，,其中系数a,-1,称为函数f(z)在奇点z,0,的留数，记为Resf(z,0,)=a,-1,1,设函数,f,(,z,)在回路,l,所围区域B上除有限个孤立奇点b,1,b,2,b,n,外解析，在闭区间B上除b,1,b,2,b,n,外连续，则,留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点（,有限远点,）的留数之和。,推论：,函数在全平面上所有各奇点（,有限远和无限远点,）的留数和为零。,二、留数定理,2,三、留数的计算方法：,1）,级数法,将函数围绕奇点展开为洛朗级数，,从而得到函数f(z)在奇点z,0,的留数Resf(z,0,)=a,-1,3,2）单极点留数,即可以用来判断z,0,是否是单极点，也可用来求函数在单极点的留数公式,（1）,（2）,4,3）,m,阶极点的留数,假设z,0,为f(z)的n阶极点，则,5,第五章 傅里叶变换,重点,1、傅立叶（Fourier）级数的展开方法；,2、傅立叶（Fourier）积分与变换；,6,傅里叶生平,1768年生于法国,1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数的级数表示”,1822年发表“热的分析理论”，首次提出“任何非周期信号都可用正弦函数的积分表示”,7,5.1 傅里叶（Fourier）级数,一.周期函数的傅里叶展开,在工程计算中,无论是电学、力学、光学,经常要和随时间而变的周期函数,f,T,(,t,)打交道.例如:,8,最常用的一种周期函数是三角函数,f,T,(,t,)=,A,sin(,t,+,)，其中,=2,/,T,具有性质,f,T,(,t,+,T,)=,f,T,(,t,)的函数称为周期函数。,t,工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.,9,方波,4个正弦波的逼近,100个正弦波的逼近,数学表示为,10,则函数,f,(,x,)可在,-,l,l,展为傅里叶级数,1、傅里叶级数,若函数,f,(,x,)以2,l,为周期，即,f,(,x+2l,),=,f,(,x,)，,并在区间-,l,l,上,满足狄里希利(Dirichlet)条件,即在区间-,l,l,上,（简称狄氏条件）,1),连续或只有有限个,第一类间断点,；,只有有限个极值点,则级数收敛，,11,说明,基矢量,1)函数以傅立叶级数展开是在函数空间中以三角函数为基进行分解,12,说明,2)三角函数族是两两正交的,13,3)可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的,系数,；,称为傅里叶系数,说明,14,2、傅立叶展开的意义：,理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；,应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。,例1,设,f,（,x,）函数是周期为2周期函数，它在（，）,表达式,将,f,（,x,）展为傅立叶级数。,-,x,f(x),在连续点上级数和等于,解,函数满足狄氏条件，它在,x=k,（,k,=0，1，-1，2，-2),第一类间断点，级数和,且只有有限个极值点,15,因为T=2,，所以,=2,/T=1,则,16,二、奇函数和偶函数的傅里叶展开,若,f,(,x,)是奇函数，则,a,k,为0,，展开式为,叫做傅里叶正弦级数，特点：,f,(,0,),=f,(,l,),=0,=,=,1,k,k,l,x,k,b,x,f,sin,),(,奇奇=偶,奇偶=奇,偶偶=偶,叫做傅里叶正弦级数，特点：,f,(,0,),=f,(,l,),=0,17,若,f,(,x,)是偶函数，则,b,k,为0，展开式为,=,+,=,1,k,k,0,l,x,k,a,a,x,f,cos,),(,d,),(,1,0,=,f,l,a,l,0,x,x,叫做傅里叶余弦级数,特点：,),2,1,(,d,cos,),(,2,0,L,=,=,k,l,k,f,l,a,l,k,x,px,x,18,例2,设,f,（,x,）是周期为2的周期函数，它在（-，）,上的表式为,f,（,x,）=,x,。将它展为傅立叶级数。,解,首先，所给函数满足狄氏条件，在,处不连续，因此，f（x）的傅立叶级数在,级数和,在连续点处级数和,f,（,x,）。,19,则,函数是周期为2,且是奇函数,。,20,1、定义在（0,l,）上的函数,f,(,x,)展开；,三、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开,工程以及物理上用到的函数一般是定义在有限区间上的.,方法,将函数,f,（,x,）解析延拓到,（-,l，l,）,区间，再做周期延拓，构成函数,g,（,x,），其周期为2,l。,f(x),然后将g(x)做傅里叶展开，其级数和在区间（0，,l,）,上代表,f,(,x,).,21,例3,定义在（0，,l,）上的函数,f,（,x,）=,a,（1-,x,/,l,），将,该函数展开为傅立叶级数。,解,函数曲线如图,先将函数延拓到（-,l，l,）后再周期延拓，,22,所以,如图对函数做偶延拓至,（,-l，l,）后,做周期延拓：,23,如图做奇延拓：,-a,24,延拓的方式有无数种，因而展开式也有无数种，但他们,在(0,l,)上均代表,f,(,x,)，且函数值相等。,有时，对函数,f,(,x,)边界的限制就决定了延拓的方式。,如要求,f,(0)=,f,(,l,)=0，则应延拓成奇周期函数，,如要求 ，则应延拓成偶的周期函数。,四 复数形式的傅立叶级数,而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:,有些时候利用三角函数和复指数函数的关系，将函数以复指数函数展开讨论函数的性质更方便。,25,cosz=(e,iz,+e,-iz,)/2,sinz=(e,iz,-e,-iz,)/2i,-k换成k,则k的取值范围扩大,26,27,例4,把锯齿波,f,（,x,）在（0，,T,）这个周期上可表示,为,f,（,x,）=,Hx/T,，试把它展为复数形式的傅立叶,级数。,解,函数曲线如图,所以，复数形式的傅立叶级数是以 为基展开的级数。,28,周期为,29,小结,一、周期函数的傅里叶展开,函数在区域（-T/2,T/2）上的解析式为f(x),周期为T，则,1）可展为以三角函数为基矢的傅里叶级数,：,2）可展为以指数为基矢的复数形式的傅里叶级数,傅里叶系数,30,3）奇偶函数的傅里叶展开,特点：,f,(,0,),=f,(,l,),=0,（1）若周期函数,f,(,x,)是奇函数，周期T（,=2/T），则,a,k,为0,，,展开式为傅里叶正弦级数,（2）若周期函数,f,(,x,)是偶函数，周期T（,=2/T），则,b,k,为0,，,展开式为傅里叶余弦级数,特点：,f,(,0,),=f,(,l,),=0,31,定义在（0,l,）上的函数,f,(,x,)的傅里叶展开,二、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开,方法,将函数,f,（,x,）解析延拓到,（-,l，l,）,区间，再做周期延拓，构成函数,g,（,x,），其周期为2,l。,f(x),然后将g(x)做傅里叶展开，其级数和在区间（0，,l,）,上代表,f,(,x,).,如果函数,f,(,x,)在边界的有限制：,如要求,f,(0)=,f,(,l,)=0,，则应延拓成奇周期函数，,如要求 ，则应延拓成偶的周期函数。,32,作业,P92：4.（3），5.（3）,33,34,35,左极限,右极限,存在,第一类跳跃间断点,第一类可去间断点,左极限,右极限,存在,36,第二类间断点,第二类间断点：,而在工程上所应用的函数,尤其是物理量的变化函数,全部满足狄氏条件.,37,
展开阅读全文