数学建模概率模型案例

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,概率模型,概率模型,（一）传送系统的效率问题,（二）,报童的诀窍,（三）航空公司的超额订票问题,确定性因素和随机性因素,随机因素可以忽略,随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现,随机因素影响必须考虑,概率模型,统计回归模型,马氏链模型,随机模型,确定性模型,随机性模型,数学期望,离散型随机变量 X 的概率分布为,则随机变量 X 的数学期望值为,连续型随机变量 X 的概率密度函数为,则随机变量 X 的数学期望值为,期望值反映了随机变量取值的“平均”意义！,传送系统的效率,在机械化生产车间里，你可以看到这样的情景：排列整齐的工作台旁工人们紧张的生产同一种产品，工作台上方一条传送带在运转，带上若干个钩子，工人们将产品挂在经过他上方的钩子上带走，当生产进入,稳态,后，请大家构造一个衡量传送系统,效率,的指标，并建立模型描述此指标与工人数量、钩子数量等参数的关系。,效率：工人所生产的产品数，,传送系统带走的产品数，,稳态：工人生产一件产品的时间长短相同，即，生产周期相同，,当生产进入稳态后，工人生产一件产品的时刻再一个周期那是等可能，,工人的生产是相互独立的。,钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的钩子为空钩。,模型的建立：工人人数n个,钩子个数 m个,带走的产品数s个,定义：当生产进入稳态后，衡量传送系统 效率的指标，在一个生产周期内,D带走的产品数/生产的产品数,s/n,S的确定：与空钩个数有关,从工人角度：每个工人能将自己的产品挂 上钩子的概率与工人位置有关。,从钩子的角度：钩子无次序，处于同等地位，在一周期内，m个钩子求出非空的概率p，则s=mp,P的确定,任一只钩子被一名工人触到的概率：,任一只钩子不被一名工人触到的概率：,工人相互独立，任一只钩子不被n名工人挂产品的概率：,任一只钩子非空的概率为,则传送系统效率为：d=s/n=mp/n,=,当n10,m=40,报童的诀窍,问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为,b,，零售价为,a,，退回价为,c,，假设,abc,。即报童售出一份报纸赚,a,-,b,，退回一份赔,b,-,c,。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。,1.确定设计变量和目标变量,2.确定目标函数的表达式,每天的总收入为目标变量,每天购进报纸的份数为设计变量,3.寻找约束条件,寻找设计变量与目,标变量之间的关系,设计变量所受的限制,问题分析,若每天购进 0 份，,则,收入为 0。,若每天购进 1 份，,售出，则,收入为,a,-,b,。,退回，则,收入为,(,b,-,c)。,若每天购进 2 份，,售出1份，则,收入为,a,-,b,(,b,-c),。,退回，,则,收入为,2,(,b,-,c)。,售出2份，则,收入为 2(,a,-,b,),。,收入还与每天的需求量有关，而需求量是随机变量,则收入也是随机变量，通常用均值，即期望表示。,1 设每天购进,n,份，,日平均收入为,G,(,n,),每天需求量为,r,的概率,f,(,r,),r,=0,1,2,2 售出一份赚,a,-,b,；退回一份赔,b,-,c,模型假设与符号说明,求,n,使,G,(,n,),最大,每天的收入函数记为,U,(,n,)，则,收入函数的期望值为,建模,将,r,视为连续变量,模型求解,使报童日平均收入达到最大的购进量,应满足上式。,因为,售完的概率,因为当购进,份报纸时，,是需求量,不超过,的概率,是需求量 超过,的概率,售不完的概率,上式意义为：购进的份数,之比，恰好等于卖出一份赚的钱,与退回一份赔的钱,之比。,应该使卖不完与卖完,的概率,根据需求量的概率密度,的图形可以确定购进量,在图中用,分别表示曲线,下的两块面积，则,O,n r,当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。,结论,求解的几何意义,注意,求解技巧：,连续化,建模方法：,从特殊到到一般,归纳抽象,1998年B题 灾情巡视路线,单旅行商到多旅行商,1999年B题 钻井布局,网格的平行移动到旋转运动,2000年B题 钢管的订购与运输,线形到树形,2000年C题 飞越北极,球形到椭球形,人口模型，战争模型,随机变量的目标函数：,期望值,航空公司的超额订票模型,利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？,举例,查概率积分表得,航空公司的,预订票策略,1 问题的提出,航空公司为了提高经济效益开展了一项预订票业务。随之带来一系列的问题：若预订票的数量恰等于飞机的容量，则由于总会有部分已订票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员而利润降低，或亏本；若不限制订票的数量，那些,本已订好了某家航空公司的某趟航班的乘客，却被意外地告知此趟航班已满，公司不管以什么方式补救总会引起乘客的抱怨，导致荣誉受损。,试建立航空公司订票决策的数学模型，解决以上的问题。,2 问题分析,公司的经济利益,公司的社会声誉,利润=收入,-,成本,-,赔偿金,已订票但被挤掉的乘客的数量,怎样确定预订票数量限额，使得利润最大，同时被挤掉的乘客的数量尽可能小。,问题转化为,以预订票数量为决策变量的双目标随机规划问题。,订票策略：,为了航空公司的经济利益与社会声誉，确定预订票的最佳数量。,3 模型假设,飞机容量为常数,n,，机票价格为常数,g,，飞行 费用为常数,r,。,机票价格按照 来制订，其中 是利润调节因子，如 表示飞机,60%,满员就不亏本。,预订票数量的限额为常数,m(n),，每位乘客不按时前来登机的概率为,p,，各位乘客是否按时登机是相互独立的。,每位被挤掉的乘客获得的赔偿金为常数,b,。,4 模型建立,先不考虑社会声誉的影响。,公司的经济利益用平均利润,（数学期望）,S,来衡量,订票的总人数是,，,有可能超出,航空公司可能从航班中得到的利润为,当有,个人误机时，,个人误机的概率是 ，,平均利润 即(数学期望值)，,设有,由,得,当 给定后，可以求 m 使 最大。,考虑到社会声誉，应该要求被挤掉的乘客不能太多。,而由于被挤掉者的数量是随机的。,用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为衡量标准。,设被挤掉的乘客数超过 人的概率为 ，则,被挤掉的乘客数超过 j 人等价于m位预订票的乘客中不按时前来登机的不超过 m,-,n,-,j 人。,从社会声誉和经济利益两方面考虑,n,m,-,n,j,m-n-j,所建模型为双目标的优化模型,模型变形,航空公司综合考虑大量的因素，得出,的临界人数大约是航班载客量的60%，即,计算一架载客量为300的飞机所能得到的预期利润，假设,5 模型求解,m,300,302,304,306,308,310,312,314,316,P5,0,0,0,0,0,0.0005,0.0044,0.0232,0.0791,J1,0.5833,0.5939,0.6044,0.6150,0.6254,0.6355,0.6445,0.6519,0.6568,m,318,320,322,324,326,328,330,332,334,P5,0.1931,0.3627,0.5558,0.7295,0.8565,0.9335,0.9730,J1,0.6594,0.6600,0.6592,0.6577,0.6558,0.6537,0.6517,结果表明：当超额订票的乘客数分别为20和36时，可以达到,最大的预期利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率分别为,36%和54%。,当超额订票的乘客数分别为18和36时，可以达到较大的预期利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率却分别为20%和30%。,m,300,302,304,306,308,310,312,314,316,P5,0,0,0,0,0,0,0,0,0,J2,0.5000,0.5100,0.5200,0.5300,0.5400,0.5500,0.5600,0.5700,0.5800,318,320,322,324,326,328,330,332,334,336,0,0.0002,0.0008,0.0030,0.0093,0.0243,0.0547,0.1074,0.1869,0.2922,0.5900,0.5999,0.6097,0.6193,0.6283,0.6365,0.6436,0.6492,0.6533,0.6559,6 模型推广,1）酒店,酒店接受房间预订主要是建立在诚信之上，因此通常不会再,接受有过失信记录的顾客的预订。一些酒店在接受预订时会,要求顾客交纳押金，以此来确保顾客住房的概率（施行这种,方案的一般是低价酒店，因为它们的周转资金往往不多），,而另一些酒店则可能会给长期订房或是预付房费的顾客打折。,这种多价格系统的经营方式是可以考虑的。,3）图书馆,图书馆都有可能购买一些畅销书籍的多种版本。特别是在,学院或大学图书馆里，时常购买一系列课本。某些版本极,有可能仅限在图书馆内，以方便学生们的使用。可以尝试,建立书籍使用的模型。,2）汽车出租公司,汽车出租公司一般会保留固定数量的汽车（至少在短期内）,以出租给顾客。出租公司可能会为频繁租借汽车的顾客打折，以此来确保公司能有最低量的收入。而一些长期出租品（一,次出租一周或一个月）也会标上优惠的价格，因为这给出了一个至少确定了未来的一段日子会有收入的策略。在预,测一些车辆的预订可能会被取消的情况下，一间公司有可,能充分地留出比它们计划中要多的汽车。,求解双（多）目标的优化模型,根据对多目标的偏好程度，通过加权组合形式，化为单目标规划问题。,把一个目标作为约束条件，解另一个目标的规划问题。,7 注意,假设在某一高校里只有两类餐厅，一类是学校公办餐厅，另一类是私人的承包餐厅，通过调查发现，在公办餐厅就餐的学生有60%会回到这类餐厅，而在承包餐厅就餐的学生有50%的回头率，试建立数学模型求解学生在每类餐厅长期就餐的百分比。,课堂练习,学生就餐问题,