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第二讲,三,角恒等变换,第四章,三角函数,、解三角形,考点帮,必备知识通关,考点 三角恒等变换,考,法帮,解题能力提升,考,法,1,公式的应用,考法,2,三角函数式的化简,考法,3,三角函数的求值,高分帮,“,双一流,”,名校冲刺,明易错 误区警示,易错 不会缩小角的范围而致误,考情解读,考点,内容,课标,要求,考题取样,情境,载体,对应,考法,预测,热度,核心,素养,1,.,两角和与差的正弦、余弦、正切公式,掌握,2020,全国,T5,课程学习,考法,1,3,数学运算,2,.,二倍角的正弦、余弦、正切公式,掌握,2020,全国,T13,课程学习,考法,1,3,数学运算,3,.,简单的三角恒等变换,理解,2019,江苏,T13,探索创新,考法,1,3,数学运算,逻辑推理,命题分,析预测,本讲在近五年高考中均有考查,重点考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的综合应用,主要体现在:(1)三角函数式的化简;(2)三角函数的求值;(3)通过恒等变换研究函数的性质等.预计 2022 年高考命题趋势变化不大,注意三角恒等变换与三角函数的图象和性质、解三角形、平面向量的综合命题,难度中等偏下.,在2022年复习备考中要切实掌握公式的正用、逆用和变形用,注意角和函数名的变换是解决三角恒等变换的关键,.,考情解读,考点,三角恒等变换,考点帮,必备知识通关,考点,三角恒等变换,1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式,S(,):sin(,)=sin cos,cos,sin,.,C(,):cos(,)=cos cos,sin,sin,.,T(,):tan(,)=,(,+,k,k,Z,).,注意,在公式T(,)中,都不等于,k,+(,k,Z,),即保证tan,tan,tan,(,),都有意义.,考点,三角恒等变换,2,.二,倍角公式,S,2,:sin,2,=,2sin,cos,.,C,2,:cos 2,=,cos,2,-,sin,2,=,2cos,2,-,1,=,1,-,2sin,2,.,T,2,:tan 2,=,(,k,+,且,+,k,Z,),.,说明,对于两角和的正弦、余弦、正切公式,分别令,=,可得二倍角的正弦、余弦、正切公式.,考点,三角恒等变换,3.,辅助角,公式,a,sin,+,b,cos,=,sin(,+,)(,其中,sin,=,cos,=,tan,=,),.,说明,常见,形式有,sin,x,+cos,x,=,sin(,x,+,),sin,x,+,cos,x,=2sin(,x,+,),sin,x,+,cos,x,=2sin(,x,+,),.,考点,三角恒等变换,规律总结,1.两角和与差的正切公式的变形,tan,tan,=,tan(,)(1tan,tan,);tan,tan,=,1,-,=,-,1,.,2,.降幂公式,:,sin,2,=,;cos,2,=,;sin,cos,=,sin 2,.,3,.升幂公式,:,1,+,cos 2,=,2cos,2,;1,-,cos 2,=,2sin,2,;1,+,sin 2,=,(sin,+,cos,),2,;,1,-,sin,2,=,(sin,-,cos,),2,.,4,.其他常用变,式,sin 2,=,=,;cos 2,=,=,;tan,=,=,.,考,法,1,公式的应用,考法,2,三角函数式的化简,考法,3,三角函数的求值,考法帮,解题能力提升,考法,1,公式的应用,命题角度,1,公式的正用、逆用、变形,用,示例,1,(1)2021,山东新高考模拟,已知,sin(,-,)cos,-cos(,-,)sin,=,为第三象限角,则,cos(,+,)=,.,(2)(1+tan 20)(1+tan,25)=,.,考法,1,公式的应用,解析,(,1)sin(,-,)cos,-cos(,-,)sin,=sin(,-,)cos,-cos(,-,)sin,=sin(,-,-,)=sin(-,)=-sin,=,(,两角差的正弦公式的逆用,),sin,=-,因为,为第三象限角,所以,cos,=-,所以,cos(,+,)=cos,cos,-,sin,sin,=(-,),-(-,),=-,.,(,两角和的余弦公式的正用,),(2),由题意知,(1+tan 20)(1+tan 25)=1+tan 20+tan 25+tan 20tan 25,.,因为,tan 20+tan 25=tan 45(1-tan 20tan 25)=1-tan 20tan 25,.,所以,(1+tan 20)(1+tan 25)=1+1-tan 20tan 25+tan 20tan 25=2,.,(,两角和的正切公式的变形用,),考,法,1,公式的应用,方法,技巧,应用,三角函数公式的策略,1,.,正用三角函数公式时,要记住公式的结构特征和符号变化规律,如两角差的余弦公式可简记为,“,同名相乘,符号反,”,.,2,.,逆用公式时,要准确找出所给式子和公式的异同,创造条件逆用公式,.,3,.,注意和差角和倍角公式的变形用,详见,P085,规律总结,.,4,.,三角恒等变换常与同角三角函数基本关系、诱导公式等综合应用,.,说明,(1),公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系,.,(2)tan,tan,tan,+tan,(,或,tan,-tan,),tan(,+,)(,或,tan(,-,),三者中可以知二求一,且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题,.,考法,1,公式的应用,命题角度,2,角,(,函数名,),的,变换,示例,2,2018,江苏,16,14,分,已知,为锐角,tan,=,cos(,+,)=-,.,(1),求,cos 2,的值,;,(2),求,tan(,-,),的值,.,解析,(1),因为,tan,=,所以,sin,=,cos,.,因为,sin,2,+cos,2,=1,所以,cos,2,=,因此,cos 2,=2cos,2,-1=-,.,考法,1,公式的应用,(,2),因为,为锐角,所以,+,(0,),.,又,cos(,+,)=-,所以,sin(,+,)=,因此,tan(,+,)=-2,.,因为,tan,=,所以,tan 2,=,=-,因此,tan(,-,)=tan2,-(,+,)=,=-,.,考法,1,公式的应用,方法技巧,1,.,三角函数求值中的变角技巧,(1),当,“,已知角,”,有两个时,“,所求角,”,一般表示为两个,“,已知角,”,的和或差的形式,;,(2),当,“,已知角,”,有一个时,此时应着眼于,“,所求角,”,与,“,已知角,”,的和或差的关系,再应用诱导公式把,“,所求角,”,变成,“,已知角,”,.,2,.,常见的配角技巧,2,=(,+,)+(,-,);,=(,+,)-,=(,-,)+,;,-,=(,-,)+(,-,);15=45-30;,+,=,-(,-,),等,.,3,.,函数名的变换技巧,明确各个三角函数名称之间的联系,常用到同角三角函数间的基本关系、诱导公式等,.,考法,2,三角函数,式的化简,示例,3,化,简,:,=,.,解析,原式,=,=1,.,点评,该,题化简中运用了,“,同化原则,”,先根据角,(,-,),与角,(,+,),互余的关系,将,sin(,+,),化成,cos(,-,),能减少角,再采用切化弦法,减少函数名,最后分母逆用二倍角公式,与分子化成同次,很容易得出结果,.,考法,2,三角函数,式的化简,方法技巧,1,.,三看,原则,一看角,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理拆分,从而正确使用公式,.,二看函,数名,看函数名之间的差别与联系,从而确定使用的公式,常用的有诱导公式,弦切互化等,最后实现名称的统一,.,三看结,构特征,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有,:,遇到分式要通分,遇到根式要升幂,常值代换,逆用变形公式,分解与组合,配方与平方等,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,.,考法,2,三角函数,式的化简,2,.,化简方法,(1),弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂或升幂,;,(2),常值代换,三角公式的正用、逆用、变形用,;,(3),在三角函数式的化简中,“,次降角升,”,和,“,次升角降,”,是基本规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次,.,3,.,化简要求,(1),使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少,;,(2),式子中的分母尽量不含三角函数,;,(3),尽量使被开方数不含三角函数等,.,考法,3,三角函数,的求值,命题角度,1,给角求,值,示例,4,(,1)sin 133cos 197+cos 47cos 73=,.,(2)(tan 10-,),=,.,思维导引,(1),通过诱导公式、两角和的余弦公式的逆用求解,.,(2),注意到,10,50,与特殊角,60,的关系,:10+50=60,同时,=tan 60,考虑利用特殊值化切为弦,;,也可直接将,tan 10,化为,然后通分变为,再考虑用引入辅助角的方法求解,.,考法,3,三角函数,的求值,解析,(,1)sin 133cos 197+cos 47cos 73=-sin 47cos 17+cos 47cos 73,=,-,sin 47sin 73+cos 47cos 73=cos(47+73)=cos 120=-,.,(,两角和的余弦公式的逆用,),(2),解法一,原式,=(tan 10-tan 60),=(,),=-2,.,解法二,原式,=(,),=-2,.,考法,3,三角函数,的求值,方法技巧,给,角求值问题的解题策略,一般给出的角都是非特殊角,求解时要观察所给角与特殊角的关系及三角函数名称,然后进行角的变换和式子结构的变换,通过公式的正用、逆用及变形应用化简求值,.,变换思路,:(1),化为特殊角的三角函数值,;(2),化为正、负相消的项消去求值,;(3),化为分子分母相约形式求值,.,注意,注意,特殊角的应用,当式子中出现,1,等数时,要考虑引入特殊角,通过,“,值变角,”,构造适合公式的形式,.,考法,3,三角函数,的求值,命题,角度,2,给值求,值,示例,5,(1),已知,为锐角,为第二象限角,且,cos(,-,)=,sin(,+,)=,则,sin(3,-,)=,A.-,B,.,C,.-,D,.,(2),已知,sin,+cos,=,则,sin,2,(,-,)=,.,考法,3,三角函数,的求值,思维导引,(1),根据已知角与所求角之间的关系,可以从两个角度求解,:,一是,3,-,=2,+(,-,),需先利用,2,=(,+,)+(,-,),及,为锐角求出,2,的值,进而求得结果,;,二是,3,-,=2(,-,)+(,+,),需先利用倍角公式求出,cos 2(,-,),和,sin 2(,-,),的值,进而求得结果,.,(2),根据所求目标式,将已知式化为一角一函数的形式,然后利用同角三角函数的基本关系求值即可,;,或将已知式两边同时平方,求出,sin 2,的值,再利用降幂公式求解即可,.,考法,3,三角函数,的求值,解析,(1),解法一,因为,为锐角,为第二象限角,cos(,-,)0,sin(,+,)0,所以,-,为第四象限角,+,为第二象限角,(,符号定象限,),因此,sin(,-,)=-,cos(,+,)=-,所以,sin 2,=sin(,-,+,+,)=-,(-,)+,=1,.,因为,为锐角,所以,2,=,所以,sin(3,-,)=sin(2,+,-,)=cos(,-,)=,故选,B,.,(,变换角求值,),考法,3,三角函数,的求值,解法,二,同解法一可得,sin(,-,)=-,cos(,+,)=-,.,所以,cos 2(,-,)=2cos,2,(,-,)-1=2(,),2,-1=-,sin 2(,-,)=2sin(,-,)cos(,-,)=2(-,),=-,.,所以,sin(3,-,)=sin2(,-,)+(,+,)=sin 2(,-,)cos(,+,)+cos 2(,-,)sin(,+,)=,(-,)(-,)+(-,),.,故选,B,.,(,
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