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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第九节 函数与方程,主干知识梳理,一、函数的零点,1,定,义：,对于函数,y,f,(,x,)(,x,D,)，把使,成立的实数,x,叫做函数,y,f,(,x,)(,x,D,)的零点,2函数的零点与相应方程的根、函数的图象与,x,轴交点间的关系：,方程,f,(,x,)0有实数根,函数,y,f,(,x,)的图象与,有交点,函数,y,f,(,x,)有,f,(,x,)0,x,轴,零点,3函数零点的判定(零点存在性定理)：,如果函数,y,f,(,x,)在区间,a,，,b,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有,，那么，函数,y,f,(,x,)在区间,内有零点，即存在,c,(,a,，,b,)，使得,，这个,也就是方程,f,(,x,)0的根,f,(,a,),f,(,b,)0)的图象与零点的关系,0,0,0,二次函数,y,ax,2,bx,c,(,a,0)的图象,与,x,轴的交点,(,x,1,，0),无交点,零点个数,(,x,1,，0),(,x,2,，0),两个,一个,零个,，,三、二分法,对,于在区间,a,，,b,上连续不断且,的函数,y,f,(,x,)，通过不断地把函数,f,(,x,)的零点所在的区间,，使区间的两个端点逐步逼近,，进而得到零点近似值的方法叫做二分法,f,(,a,),f,(,b,)0,一分为二,零点,基础自测自评,1,(教材习题改编),下,列图象表示的函数中能用二分法求零点的是(),C,关键要点点拨,1,函,数的零点不是点：,函数,y,f,(,x,)的零点就是方程,f,(,x,)0的实数根，也就是函数,y,f,(,x,)的图象与,x,轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标,2对函数零点存在的判断中，必须强调：,(1),f,(,x,)在,a,，,b,上连续；(2),f,(,a,),f,(,b,)0；(3)在(,a,，,b,)内存在零点,这是零点存在的一个充分条件，但不必要,3对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号,确定函数零点所在的区间,规律方法,利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数,y,f,(,x,)在区间,a,，,b,上的图象是否连续不断，再看是否有,f,(,a,),f,(,b,)0.若有，则函数,y,f,(,x,)在区间(,a,，,b,)内必有零点,典题导入,(1),(2012湖北高考),函,数,f,(,x,),x,cos 2,x,在区间0，2上的零点的个数为(),A2B3,C4 D5,判断函数零点个数,作出,y,f,(,x,)的图象，由图象知零点的个数为5.,答案,5,规律方法,判断函数零点个数的常用方法,(1)解方程法：令,f,(,x,)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点,(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间,a,，,b,上是连续不断的曲线，且,f,(,a,),f,(,b,)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点,(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数,B,函数,y,f,(,x,)(,x,R,)满足,f,(,x,1),f,(,x,)，,故,f,(,x,2),f,(,x,1),f,(,x,),f,(,x,)，,即函数,f,(,x,)的周期为2，作出,x,(1，1时，,f,(,x,)|,x,|的图象，并利用周期性作出函数,f,(,x,)在5，5上的图象，在同一坐标系内再作出,g,(,x,)在5，5上的图象，,由图象可知，函数,f,(,x,)与,g,(,x,)的图象有9个交点，,所以函数,h,(,x,),f,(,x,),g,(,x,)在区间5，5上的零点的个数为9，选B.,典题导入,已,知函数,f,(,x,)e,x,x,a,有零点，则,a,的取值范围是_,听课记录,f,(,x,)e,x,x,a,，,f,(,x,)e,x,1.令,f,(,x,)0，得,x,0.,函数零点的应用,当,x,0时，,f,(,x,)0时，,f,(,x,)0，,函数,f,(,x,)在(0，)上是增函数,故,f,(,x,),min,f,(0)1,a,.,若函数,f,(,x,)有零点，则,f,(,x,),min,0，,即1,a,0，得,a,1.,答案,(，1,规律方法,已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法,(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围,(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决,(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解,跟踪训练,3,已,知函数,f,(,x,)满足,f,(,x,1),f,(,x,1)，且,f,(,x,)是偶函数，当,x,0，1时，,f,(,x,),x,，若在区间1，3上函数,g,(,x,),f,(,x,),kx,k,有4个零点，则实数,k,的取值范围是_,解析,由,f,(,x,1),f,(,x,1)得，,f,(,x,2),f,(,x,)，则,f,(,x,)是周期为2的函数,f,(,x,)是偶函数，当,x,0，1时，,f,(,x,),x,，,当,x,1，0时，,f,(,x,),x,，,易得当,x,1，2时，,f,(,x,),x,2，,当,x,2，3时，,f,(,x,),x,2.,在区间1，3上函数,g,(,x,),f,(,x,),kx,k,有4个零点，,【创新探究】“图”解函数的零点问题,【思路导析】,本题考查利用函数零点个数求参数的取值范围，解题的关键是画出函数,f,(,x,)的图象，结合图象，寻求方程有三个实数根的条件,【解析】,画出函数,f,(,x,)的图象如图所示，,观察图象可知，若方程,f,(,x,),a,0有三个不同的实数根，则函数,y,f,(,x,)的图象与直线,y,a,有3个不同的交点，此时需满足0,a,1，故选D.,【答案】,D,【高手支招】,函数零点问题主要有四类：一是判断函数零点或方程根的个数；二是利用函数零点确定函数解析式；三是确定函数零点或方程根的取值范围；四是利用函数零点或根的个数求解参数的取值范围解决这些问题主要用数形结合法,1(文),(2013湖南高考),函,数,f,(,x,)ln,x,的图象与函数,g,(,x,),x,2,4,x,4的图象的交点个数为(),A0 B1,C2 D3,C,利用图象知，有两个交点故选C.,2,(理),(2013重庆高考),若,a,b,c,，则函数,f,(,x,)(,x,a,),(,x,b,)(,x,b,)(,x,c,)(,x,c,)(,x,a,)的两个零点分别位于区间(),A(,a,，,b,)和(,b,，,c,)内,B(，,a,)和(,a,，,b,)内,C(,b,，,c,)和(,c,，)内,D(，,a,)和(,c,，)内,A,由题意,a,b,c,，可得,f,(,a,)(,a,b,)(,a,c,)0，,f,(,b,)(,b,c,)(,b,a,)0，,f,(,c,)(,c,a,)(,c,b,)0.,显然,f,(,a,),f,(,b,)0，,f,(,b,),f,(,c,)0，,所以该函数在(,a,，,b,)和(,b,，,c,)上均有零点，,故选A.,2(文),(2013天津高考),设,函数,f,(,x,)e,x,x,2，,g,(,x,)ln,x,x,2,3.若实数,a,，,b,满足,f,(,a,)0，,g,(,b,)0，则(),A,g,(,a,)0,f,(,b,)B,f,(,b,)0,g,(,a,),C0,g,(,a,),f,(,b,)D,f,(,b,),g,(,a,)0,A由,f,(,a,)e,a,a,20得0,a,1.,由,g,(,b,)ln,b,b,2,30得1,b,2.,因为,g,(,a,)ln,a,a,2,30，,f,(,b,)e,b,b,20，,所以,f,(,b,)0,g,(,a,)，故选A.,3(理),(2013安徽高考),若函数,f,(,x,),x,3,ax,2,bx,c,有极值点,x,1,，,x,2,，且,f,(,x,1,),x,1,，则关于,x,的方程3(,f,(,x,),2,2,af,(,x,),b,0的不同实根个数是(),A3 B4,C5 D6,A,由,f,(,x,)3,x,2,2,ax,b,0得，,x,x,1,或,x,x,2,，,即3(,f,(,x,),2,2,af,(,x,),b,0的根为,f,(,x,),x,1,或,f,(,x,),x,2,的解如图所示,由图象可知,f,(,x,),x,1,有2个解，,f,(,x,),x,2,有1个解，,因此3(,f,(,x,),2,2,af,(,x,),b,0的不同实根个数为3.,课时作业,
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