重积分的概念及计算

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,铃,结束,返回,首页,将,任意分割成,n,个互不重叠的小区域,在 上任取一点 作积分和,其中表示小区域 的体积,若对区域的任意一种分割法,以及中间点的任意取法，积分和的极限,总存在，则称此极限为在区域上的三重积分，,记作,或,7-3 三重积分的概念与计算,当极限 存在时,称 在区域,上可积.,三重积分 中的各部分的名称,积分号,积分区域,f(x,y,z)被积函数,f(x,y,z)dv被积表达式,dv 体积元素,x,y,z积分变量,有界闭区域,上的连续函数或分块连续函数在,上是可积的.,若一物体占有空间位置,，又其体密度为 则该,物体的质量为,当f(x,y,z)=1,V表示,的体积，则,1,在直角坐标下的计算,（,）积分区域是一个柱面，而其底与顶可以是 曲面,及在上连续,其中,在上连续,则,穿入点,穿出点,穿入点的竖坐标：,穿出点的竖坐标：,先将,x,y看作定值，将f(x,y,z)看成z,的函数，在,上积分，其结果是,x,y的函数，记为,然后计算,F(x,y)在D上的二重积分,于是有,公式把三重积分化为先对,z、次对y、最后对x的,三次积分,或,累次积分.,穿入点,穿出点,其中,为三个坐标,补例,计算三重积分,所围成的闭区域.,解,面及平面,例1,求三重积分,解,D,（2）先二重积分后定积分的方法,一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分,设积分区域为,(x,y,z)|(x,y),D,z,a,z,b,其中D,z,是竖坐标为z的平面截空间闭区域,所得到的一个平面闭区域,则,即所谓的“先二后一”法.,说明：,例2,求三重积分,解,即,D,O,判定是否可以用此方法的具体步骤是：根据积分区域和被积函,数的特点，如果用垂直于某坐标轴（如,z,轴）的平面去截区域得截,面面积是该坐标轴（如,z,轴）的函数，而被积函数也仅是该坐标变,量（如,z,）的函数，或可化为仅是该坐标变量（如,z,）的函数，则有,同理得:,同理得:,同理得:,例3,求三重积分,解,于是,同理,故,空间点的柱面坐标,2,在柱坐标下的计算公式,设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P(,r,),则这样的三个数,r,、,、z就叫做点M的柱面坐标,这里规定,、,、z的变化范围为,0,r,0,2,z,直角坐标与柱面坐标的关系,x,r,cos,y,r,sin,z,z,圆柱面,半平面,平面,坐标面分别为,如图所示,在柱面坐标系中体积元素为,三重积分在柱面坐标下的计算公式是,(1)是一个正的柱体，在oxy平面上的投影的极坐标,区域 为D，其低曲面与顶曲面用柱坐标分别表示为,则,例 4,求三重积分,解,例 5,求三重积分,解,解,所求体积为,例 6,设 是(y,z)坐标平面上的圆盘,绕z轴旋转一周得到的区域，试求体积V.,3,在球坐标下的计算公式,设,P,(,x,y,z,)为空间内一点,P到原点的距离计作 ，向径 与Z轴正向的夹角计作 (),P在Oxy平面上的投影点 的极角计作 (),则数组()与点P 有一一对应关系，称()为点P 的,球坐标,.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,球面,半平面,锥面,如图所示,在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,例 7,求三重积分,解,例 8,求三重积分,解,4.在一般变量变换下的计算公式,定理3,设函数 在有界闭区域 上连续,又设变换,在 上连续,有连续的偏导数,将 一一对应地变到 ,且变换的雅可比行列式,则,球坐标变换,的雅可比行列式,柱面坐标变换,的雅可比行列式,因此，前面讲的球坐标及柱面坐标计算三重积分的,公式都是公式（7.10）的特例.,广义球坐标变换,例 9,求三重积分,解,得到:,