线性代数42-向量组的线性相关性

单击此处编辑母版标题样式,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,一、向量、向量组与矩阵,向量组 ,，称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间,一一对应,定义,线性组合,向量 能,由向量组 线性表示,定理1,定义,向量组 能由向量组 线性表示,向量组等价,从而,注意,定义,二、线性相关性的概念,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,定理向量组 （当 时）线性相关,的充分必要条件是 中至少有一个向,量可由其余 个向量线性表示,证明,充分性,设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示.,即有,三、线性相关性的判定,故,因 这 个数不全为0，,故 线性相关.,必要性,设 线性相关，,则有不全为0的数使,因 中至少有一个不为0，,不妨设则有,即 能由其余向量线性表示.,证毕.,线性相关性在线性方程组中的应用,结论,定理2,下面举例说明定理的应用.,证明,（略）,解,例,解,例,分析,证,定理3,证明,说明,说明,.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方,程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,.线性相关与线性无关的概念；线性相关性,在线性方程组中的应用；,（,重点,）,.线性相关与线性无关的判定方法：定义，,两个定理,（,难点,）,四、小结,思考题,证明,（）、（）略,（）,充分性,必要性,思考题解答,