22.2期末概率论复习

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,概率论与数理统计,(,复习一,),开始,2,2.,样本空间,S,1.,随机试验,E,、三个特点,3.,随机事件,A,第一章,概率论的基本概念（知识点）,运算,及,原理,：,交换 结合 分配 对偶,4.,概率函数,P,(,A,),的定义,及性质：,*5.,概率空间,5.1,等可能概型即古典概型,5.2,几何概型,3,7.,条件概率,定义,8.,乘法定理,6.,加法公式,样本空间的,划分,9.,全概率公式,10.,贝叶斯公式,11.“A,与,B,相互独立”的定义,*12.n,个事件的,互相独立,与,两两独立,的区别,4,事件的关系与运算一览,包含关系，,相等关系，,并,事件，,交,事件，,补,事件。,（差事件）,相交关系，,互斥关系，,对立关系。,5,运算原理,：,交换,结合,分配,对偶,6,概率,的,性质,：,1,。,P,(,),=0;,2,。有穷可加,;,4,。,3,。,5,。,6,。,2.,P,(,),=1;,完全性,3.,可列可加性,（加法公式）,1.,P,(,A,),0,;,非负性,概率,的,定义,:,加法公式,7,(S,A,P),为概率空间。,A,B,为两个事件，且,P(A)0,。则称,P(B|A)=P(AB)/P(A),为“在事件,A,发生的条件下，事件,B,发生的,条件概率,”。,条件概率,定义,:,乘法定理,:,设,P(AB)0,，则有,P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A),设,P(A,1,A,(n-1),)0,，则有,P(A,1,A,n,)=,P(A,n,|A,1,A,(n-1),)P(A,(n-1),|A,1,A,(n-2),).P(A,2,|A,1,)P(A,1,),设,P(A)0,，则有,P(AB)=P(B|A)P(A),又,设,P(B)0,，还有,P(AB)=P(A|B)P(B),8,定义；,随机试验,E,的样本空间为,。,B1,，,B2,，,Bn,为,E,的一组事件。,若,(1),两两不相容且,(2),它们的和集为,则称,B1,，,B2,，,Bn,为,的一个,划分,。,定理；,随机试验,E,的样本空间为,。,B1,，,B2,，,Bn,为,的一个,划分,。,且,P(Bi)0,i=1,n,。,A,为,E,的一个事件,则,P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|Bn)P(Bn),称为,全概率公式。,9,定理；,随机试验,E,的样本空间为,。,(,A,P),A,A,为,E,的一个事件,P(A)0,。,B1,，,B2,，,Bn,为,S,的一个划分。,且,P(Bi)0,i=1,n,。则,P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/P(A)=,P(A|Bi)P(Bi)/P(A|B1)P(B1)+P(A|Bn)P(Bn),称为,贝叶斯公式。,10,1.,随机变量,X=X(e),之定义。,第二章,随机变量及其,分布,（知识点）,2.,何谓,随机变量,的,分布,函数,3.,分布,函数,F(,x),的,性质,:,11,4.,何谓离散随机变量,的定义及分布律，,4,个分布律。,5.,离散随机变量,分布函数的特点,6.,何谓,连续型随机变量,7.,连续型随机变量,的,概率密度及其性质，,3,个分布。,8.,连续型随机变量,的,概率密度与分布函数的关系,9.1,离散随机变量,函数,的分布律之求法,9.,随机变量函数,的,分布,9.2,连续型随机变量,函数,的,概率密度的求法，,一维正态分布,的,线性变换。,12,定义,:,随机试验,E,样本空间,=e,对于,中的,每个,e,都有一个实数,X(e),与之对应。,这样就得到一个定义在,上的单值实函数,X=X(e),，称为,随机变量,。,为概率空间。,13,*,随机变量,的,分布,函数,F(,x,)=P,X,x,称为,X,的分布,函数,。,X,的分布,函数,F(,x,),的,性质,:,1,0,F(,x,),是一个不减函数。,2,0,0,F(,x,),1,。,且左无穷远点为,0,右无穷远点为,1,。,3,0,F(,x+,0,)=,F(,x,),，即,F(,x,),是右连续的。,定义,:X,为一个随机变量,x,是任意实数,函数,14,*,离散随机变量,的分布函数,设：离散随机变量可能取的值为,x,k,(,k,=1,2,),X,取可能值的概率为,p,k,=P(X=,x,k,),(,k,=1,2,),F(,x,)=P,X,x,为阶梯函数,跳跃点在,x,k,处,跃度为,p,k,。,4,个,离散随机变量,的分布,律,:,二项分布、超几何分布、泊松分布、几何分布,。,15,*,连续型随机变量,的,概率密度,则,称,X,为,连续型,随机变量,其中,f,(x),称为,X,的,概率密度函数,简称,概率密度,。,定义,:,随机变量,X,分布,函数,F(,x,),存在非负函数,f(x),对于任意实数,x,有，,F(,x,),为,f,(,x,),在区间,(,-,x,上的积分,注意,:1.,这时,F(,x,),为连续函数,。,2.,这时,PX=,a,=0,。,16,概率密度,f(,x,),的,性质,:,1,0,f(,x,),是一个非负函数。,3,0,P,x,1,X,x,2,=F(,x,2,)-F(,x,1,)=,f,(,x,),在区间,(,x,1,x,2,上的积分,为,4,0,若,f,(,x,),在点,x,处,连续，则,F,(,x,)=,f,(,x,),。,x,1,x,2,2,0,f,(,x,),在全区间上的积分为,1,。,3,个,连续,随机变量,的分布,:,均匀分布、指数分布、正态分布,。,17,一、,离散随机变量,函数,的分布,设：离散随机变量可能取的值为,x,k,(,k,=1,2,),X,取可能值的概率为,p,k,=P(X=,x,k,),(,k,=1,2,),*,随机变量函数,的,分布,Y=g(X),的可能取值也是离散的。,记为,y,j,(,j,=1,2,).,取相应可能值的概率为,r,j,=Pg(,x,k,)=,y,j,对,k,=1,2,求和,(,j,=1,2,).,18,1,：随机变量,X,具有,概率密度,f,X,(x),-x,y,a,F,Y,(,y,)=PY,y=Pg(X),y=PX,L(y),关键是解出,L(,y,),来,，,再求导,。,二、,连续型随机变量,函数,的,分布,19,1.n,维随机向量,或,n,维随机变量的定义,。,第三章,多维随机变量及其,分布,（知识点）,2.,何谓,随机变量,X,1,X,n,的,联合分布,函数,。,3.,分布,函数,F(,x,1,x,n,),的,性质,:,20,4.,何谓,n,维离散随机变量,的定义及分布律,5.n,维离散随机变量,分布函数的特点,6.,何谓,n,维,连续型随机变量，,二维正态分布。,7.n,维,连续型随机变量,的,概率密度及其性质,8.n,维,连续型随机变量,的,概率密度与分布函数的关系,9.1 n,个,离散随机变量,函数,的分布律之求法,9.,n,个随机变量函数,的,分布,9.2,n,个,连续型随机变量,函数,的,概率密度的求法,21,11.,何谓,n,维随机变量,(,X,1,X,n,),的边缘分布函数，,例如：,n,维随机变量,(X,1,X,n,),关于,X,1,和,关于,(X,1,X,2,),的边缘分布函数,是什么？,边缘分布,12.,联合分布律,与,边缘分布律,的关系,13.,联合概率密度函数,与,边缘概率密度,的关系,22,*14.(X,Y),是,离散型,二维,随机变量,对于固定的,j,若,PY=,y,j,0,什么是,在,Y=,y,j,条件下,随机变量,X,的条件分布律。,同样，,对于固定的,i,若,PX=,x,i,0,什么是,在,X=,x,i,条件下,随机变量,Y,的条件分布律。,*,条件分布,23,*15.,连续型,二维,随机变量,(X,Y),的分布函数为,F(,x,y,),概率密度函数,为,f(x,y),若在点,(,x,y,),处,f(x,y),连续,且边缘概率密度,f,Y,(y),连续,且,f,Y,(y)0,则,在条件,Y=,y,下,X,的,条件分布函数,F,X|Y,(,x,|,y,),和,条件概率密度,f,X|Y,(,x,|,y,),是什么,?,在条件,X=,x,下,Y,的,条件分布函数,F,Y|X,(,y,|,x,),和,条件概率密度,f,Y|X,(,y,|,x,),是什么,?,且边缘概率密度,f,X,(x),连续,且,f,X,(x)0,则,24,随机变量的相互独立性,16.,何时称随机变量,X,1,X,n,是,相互独立的,？,何时称随机变量,(X,1,X,m,),与,(Y,1,Y,k,),是,相互独立的,？,随机变量的相互独立性定理的内容？,*17.n,个随机变量函数的分布,(,分布律、密度）的一般求法思路。,二维正态分布的性质。,25,1,。,随机试验,E,样本空间,=e,(,A,P,),为概率空间。,定义在,上的单值实向量,(X,1,X,n,)=(X,1,(e),.X,n,(e),，,称为,n,维随机向量,或,n,维随机变量,。,推广成,多维随机变量及其,分布,26,F(,x,1,x,n,)=P(,X,1,x,1,),.,(,X,n,x,n,),=P(,X,1,x,1,X,n,x,n,),称为,n,维随机变量,(X,1,X,n,),的,分布,函数,。,或称为,随机变量,X,1,X,n,的,联合分布,函数,。,2,。,(X,1,X,n,),为一个,n,维随机变量,对,任意实数,x,1,x,n,n,元,函数,27,分布,函数,F(,x,1,x,n,),的,性质,:,1,0,F(,x,1,x,n,),是各变量 的,不减函数,。,2,0,0,F(,x,1,x,n,),1,且,F(,-,.,),=0,F(,.,),=,1,。,3,0,F(,x,1,x,n,),是右连续的,。,4,0,落在任意长方体内的概率均非负。,28,则,称该,随机变量,为,连续型的,n,维,随机变量。,其中,f,(,x,1,x,n,),称为,n,维,随机变量,(,X,1,X,n,),的,概率密度,或称,n,个,随机变量,X,1,X,n,的联合,概率密度,。,3,。,n,维,随机变量,(,X,1,X,n,),分布,函数,为,F(,x,1,x,n,),若存在非负函数,f(,x,1,x,n,),对于任意实数,x,1,x,n,有,29,概率密度,f,(,x,1,x,n,),的,性质,:,1,0,f(,x,1,x,n,),是一个非负函数。,4,0,设,G,是,n,维空间上的一个区域,点落在,G,内的概率为,3,0,若,f,(,x,1,x,n,),在点,x,1,x,n,处,连续，则,有,2,0,f,(,x,1,x,n,),在全空间上的积分为,1,。,30,n,维随机变量,(,X,1,X,n,),的,分布,函数,为,F(,x,1,x,n,).,则,X,1,X,n,的,1,k,n,的边缘分布函数,也就确定,.,例如,n,维随机变量,(X,1,X,n,),关于,X,1,和,关于,(X,1,X,2,),的边缘分布函数,为,4,。,边缘分布,31,*,对二维,离散型随机变量,有,:,于是,(X,Y),关于,X,的边缘,分布律为,:,(X,Y),关于,Y,的边缘,分布律为,:,32,连续型,二维,随机变量,(X,Y),的,概率密度函数,为,f(x,y),由,知,X,是,连续型,随机变量,其,概率密度函数,f,X,(x),为,同样,Y,是,连续型,随机变量,其,概率密度函数,f,Y,(y),为,f,X,(x),f,Y,(y),依次称为,(X,Y),关于,X,和,关于,Y,的,边缘概率密度。,33,一般,:,f(,x,1,x,n,),为,(,X,1,X,n,),的,概率密度函数,则,(X,1,X,n,),关于,X,1,和,关于,(X,1,X,2,),的边缘概率密度,为,34,(,一,),离散型,二维,随机变量,的,(X,Y),条件分布,其,分布律为,:(X,Y)