平面矢量矩阵和微分运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,机械系统动力学及仿真软件ADAMS应用,肖 涵,coolxiaohan163,.com,201,2,.9,2.1 几何矢量,一、本课程中矢量及标量的表示方法,第二章 平面矢量、矩阵和微分运算,标量,用大写或小写字母表示，不加横线或箭头，,a,，,矢量,用一小写字母上面加一箭头表示,平面矢量的几何意义,表示从起点A到终点B的有向直线段,自由矢量,平面矢量的大小(模),该有向线段的长度，用,a,表示，或,在某一矢量方向上的单位矢量,模等于1的矢量。,零矢量,模等于零的矢量，它是起点和终点重合的矢量,某矢量的负矢量,模与该矢量的模相等而方向相反的矢量,二、矢量运算,1.矢量加法,2.矢量的数乘,矢量与一个标量的乘积。,3.矢量的分解,平面矢量可以分解为沿两个坐标轴x、y的分矢量之和。,(,x,B,=,a,x,，,y,B,=a,y,),(,x,B,a,x,，,y,B,a,y,),矢量和的坐标分量表示：,矢量和的坐标分量等于各相加矢量的坐标分量之和,4.矢量的点积,两个非零矢量的点积定义为这两个矢量的大小与这两个矢量夹角的余弦的乘积,是一个标量，也称为数量积或标量积,矢量 到 的夹角，逆时针为正,将定义在-,之间，沿矢量 的方向看过去，如果 在 的左边，则 为正；如果 在 的右边，则 为负。,点积的物理背景：,功等于力与位移的点积,矢量 与单位矢量 的标量积,该矢量在由单位矢量定义的有向直线上的投影。,点积的坐标分量表示。,矢量 的正交矢量,正交矢量的用途之一：准确给出两矢量的夹角,先定义符号函数sgnx,仅靠 ，并不能准确确定两个矢量的夹角。,如果矩阵有m行n列，则矩阵的阶数为mn,2.2 矩阵代数,一、本课程中矩阵的表示方法(与教材不同),用一大写字母下面加一横线表示。,二、矩阵的运算,矩阵的转置:把相应的行变成相应的列。,矩阵的加法:对应的元素相加。,矩阵的矢量表示：,列矢量表示,行矢量表示,矩阵乘积的矢量表示。,对称矩阵:,矩阵的数乘。,反对称矩阵:,反对称矩阵对角线上的所有元素等于0,矩阵法不满足交换律。,矩阵和的转置:,矩阵乘积的转置:,二、矩阵的秩(复习线性代数相关章节!),矢量组的线性相关性。,矩阵的行相关。,矩阵的列相关。,矩阵的行秩：该矩阵中最大的线性无关的行数,矩阵的列秩：该矩阵中最大的线性无关的列数,满秩矩阵：指各行（列）都线性无关的方阵,奇异矩阵：不具有满秩的方阵。,非奇异矩阵：具有满秩的方阵。,逆矩阵：非奇异矩阵具有逆阵，记为,逆矩阵的转置矩阵:,矩阵乘积的逆矩阵:,正交矩阵。,2.3 矢量的坐标阵,一、矢量坐标阵的定义,矢量的代数表达式,矢量的坐标阵。,矢量的几何表达式。,二、矢量运算的坐标阵表示。,数乘：,矢量和：,点积。,三、正交矢量的坐标阵和正交旋转矩阵,一个矢量左乘正交旋转矩阵相当于将该矢量逆时针旋转了/2角,将正交旋转矩阵逐次应用到矢量上,2.4 矢量变换与点的坐标变换,同一个矢量在不同坐标系下的坐标阵有何联系？同一个点在不同坐标系下的坐标有何联系？,一、矢量和点坐标在原点重合的两个坐标系中的变换,平面旋转变换矩阵,二、矢量和点坐标在原点不重合的两个坐标系中的变换,运动坐标系x-y可以认为是由静止坐标系x-y先从O点平移到O点，再旋转一个角度得到,点在不同坐标系中的坐标变换与矢量在不同坐标系中的坐标阵变换是有区别的,点在不同坐标系中的坐标变换,矢量在不同坐标系中的坐标阵变换,三、矢量在三个坐标系之间的坐标阵变换,例：确定构件2上的点P在固定坐标系x-y中的坐标与角度1和2的关系,首先建立坐标系。,再建立矢量关系式。,一次变换式,二次变换式,试建立曲柄滑块机构的运动学模型。,曲柄滑块机构的几何条件与前例中2杆定位机构类似，区别仅在于增加了一个滑移铰的约束,建立与2杆定位机构类似的坐标系统,约束条件：,Q,