函数的连续性习题

第 十 节 、 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用 （一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用 最 值 概 念设 f(x)在 区 间 I上 有 定 义 ， 如 果 存 在 x0 I， 使 得对 任 一 x I， 恒 有 0 0( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x 则 称 f(x0)是 函 数 f(x)在 区 间 I上 的 最 大 值 （ 最 小 值 ） .注 (1) 最 大 值 可 以 等 于 最 小 值(2) 函 数 在 区 间 I上 可 能 取 不 到 最 值在 闭 区 间 上 连 续 的 函 数 在 该 区 间 上 有 界 且 一 定 能 取 得 它 的最 大 值 和 最 小 值 .定 理 几 何 意 义 a bxoy 1 2定 理 的 条 件 是 重 要 的l注u例 y=x在 (1,2)内 xoy 1 2 213 11 101 xx x xxy在 0,2上 xoy 1 2 （一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用 （一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用 设 函 数 f(x)在 闭 区 间 a,b上 连 续 ， 且 f(a)与 f(b)异 号 （ 即f(a)f(b)0)， 则 在 开 区 间 (a,b)内 至 少 有 一 点 使 f()=0.定 理几 何 意 义如 果 连 续 曲 线 弧 y=f(x)的 两 个 端 点位 于 x轴 的 不 同 侧 ， 那 么 这 段 曲 线 弧与 x轴 至 少 有 一 个 交 点 . xoy a b如 果 x0使 f(x0)=0， 那 么 x0称 为 函 数 f(x)的 零 点 . （一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用 （一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用 设 函 数 f(x)在 闭 区 间 a,b上 连 续 ， 且 在 这 区 间 的 端 点 取不 同 的 函 数 值 f(a)=A及 f(b)=B， 则 对 于 A与 B之 间 的 任 意一 个 数 C， 在 开 区 间 (a,b)内 至 少 有 一 点 使 得 f()=C (ab)定 理几 何 意 义 A b xoy a )(xfy BC 连 续 曲 线 弧 y=f(x)与 水 平 直 线 y=C至 少相 交 于 一 点 .推 论在 闭 区 间 a,b上 连 续 的 函 数 f(x)的 值 域为 闭 区 间 m,M,其 中 m与 M依 次 为 f(x)在 a,b上 的 最 小 值 与 最 大 值 . （一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用 （一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用 u例u例 014 23 xx证 明 方 程有 一 个 实 根 . 在 区 间 (0,1)内 至 少),( 若 f (x)在 内 连 续 ,且 )(lim xfx 存 在 ,则内 有 界 .f (x)在 ),( 函 数 的 连 续 性 习 题 课一、内容小结二、题型练习 函 数 的 连 续 性 习 题 课一、内容小结二、题型练习 连 续 的 概 念定 义 注 意 优 点yx 0lim 0)()(lim 000 xfxxfx 是 变 量x 直 观 、 便 于 分 析 )(lim0 xfxx )(lim0 xfxx )( 0 xf左 连 续右 连 续 三 个 要 点 便 于 应 用自 然 、,0 0 当 | 0 xx 时 |)()(| 0 xfxf x可 以 等 于 0 x 清 晰 、 便 于 论 证 间 断 的 概 念 与 分 类u概 念 在 处 没 有 定 义)(xf 0 x在 处 有 定 义)(xf 0 x )(lim 0 xfxx 存 在在 处 有 定 义)(xf 0 x )(lim0 xfxx 不 存 在但 )()(lim 00 xfxfxx 但u分 类间 断 点 和)( 0 xf )( 0 xf都 存 在第 一 类 间 断 点和)( 0 xf )( 0 xf至 少 一 个 不 存 在第 二 类 间 断 点 )()( 00 xfxf可 去 间 断 点 )()( 00 xfxf跳 跃 间 断 点无 穷 间 断 点振 荡 间 断 点 初 等 函 数 的 连 续 性基 本 初 等 函 数 在 定 义 域 内 连 续连 续 函 数 经 过 复 合 运 算 仍 连 续连 续 函 数 经 过 四 则 运 算 仍 连 续 初 等 函 数在 其 定 义 区 间 内 连 续闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质u有 界 性 与 最 大 值 最 小 值 定 理u零 点 定 理 与 介 值 定 理 函 数 的 连 续 性 习 题 课一、内容小结二、题型练习 函 数 的 连 续 性 习 题 课一、内容小结二、题型练习 二 、 题 型 练 习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题 二 、 题 型 练 习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题 (1)(6)(2) )(xf 在 0 x 处 连 续 ， )( xf 在 0 x 处 也 连 续 .(3) )( xf 在 0 x 处 连 续 ， )( xg 在 0 x 处 不 连 续)()( xgxf 在 0 x 处 一 定 不 连 续 .(4) )( xf 在 0 x 处 不 连 续 ， )( xg 在 处 不 连 续)()( xgxf 在 0 x 处 一 定 不 连 续 .)(xf 在 ba, 上 不 连 续 ， 则 )( xf 在 ba, 上 无 界(5) 一 切 初 等 函 数 在 其 定 义 域 内 连 续 .u例 1 判 断 下 列 说 法 的 正 确 性)(xf 在 0 x 处 连 续 ， 在 0 x 处 也 连 续 .|)(| xf 二 、 题 型 练 习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题 二 、 题 型 练 习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题 找 间 断 点 初 等 函 数分 段 函 数 无 定 义 的 点分 段 点 （ 嫌 疑 ）判 类 型 求 极 限求 连 续 区 间 有 定 义 的 开 区 间讨 论 分 段 点 的 连 续 性合 并 间 断 点间 断 点 无 定 义 的 点思 路 u例 2 xx xxxf 111 111 )(确 定 下 列 函 数 的 间 断 点 ,判 断 类 型 ,并 求 连 续 区 间讨 论 全 面xx xxxf )( sin)()( 112 讨 论 左 右 极 限1( ) lnf x x x=0也 是 间 断 点(1)(2)(3) 011sin)1ln( 0sin)( 23 xxx xxxxxf 11 12cos)( xx xxxf u补 1 01 0sin)( x xx xxf确 定 下 列 函 数 的 间 断 点 ,判 断 类 型 ,并 求 连 续 区 间xxf 1arctan)( x xxf 2tan)( 12 12)( 11 xxxf (4)(5) (1) (2)(3) (4) 二 、 题 型 练 习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题 二 、 题 型 练 习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题 u例 3 确 定 常 数 a,b使 函 数 01 1ln1 01 0cos1sin)( xbxx xxxaxxf在 x=0处 连 续 .u补 2 确 定 常 数 a,b使 函 数 10 0 0111 )21ln()( 2 xbx xa xxx xxf 在 x=0处 连 续 . u例 4 设 11xxaxxf )( 002 xxxbxg )(确 定 a,b使 )()( xgxf 在 ),( 内 连 续 .u例 5 设 21)(,lim)( xxgnn nnxf xx xxn 讨 论 复 合 函 数 )( xgf 在内 的 连 续 性 . 及 )( xfg ),( u例 6 讨 论 nn nnn xx xxxf 2lim)( 的 连 续 性 .u例 7u补 3 讨 论 xxx xxf nn nn 112 12 1lim)( 的 连 续 性 .设 ,1lim)( 2 212 nnn x bxaxxxf 确 定 常 数 a,b使 )(xf在 内 连 续 .),( 二 、 题 型 练 习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题 二 、 题 型 练 习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题 u例 8u例 9 设 bxaeaxf 1)( a,b为 常 数确 定 常 数 a,b的 正 负 并 求 lim ( ).x f x,0)(lim xfx 在 内 连 续 ,),( 且 有 无 穷 间 断 点设 )()( 1 xx aexf x 0 x 及 可 去 间 断 点试 求 常 数 a的 值 .,1x 二 、 题 型 练 习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题 二 、 题 型 练 习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题 (五 ) 证 明 题1连续的概念2闭区间上连续函数的性质 (五 ) 证 明 题1连续的概念2闭区间上连续函数的性质 u例 10u例 11u补 4 设 xexf )( 在 0 x 处 连 续 ,证 明 )(xf 在 内 连 续 .),( )()()(R, 212121 xfxfxxfxx 设 )(xf 在 0 x 处 连 续 ,证 明 )(xf 在 内 连 续 .),( 在)(xf )()()(R, 212121 xfxfxxfxx 设 0 x 处 连 续 ,证 明 )(xf 在 内 连 续 .),( (五 ) 证 明 题1连续的概念2闭区间上连续函数的性质 (五 ) 证 明 题1连续的概念2闭区间上连续函数的性质 2 闭 区 间 上 连 续 函 数 性 质（1）有界性与最值性（2）零点定理（3）介值定理 2 闭 区 间 上 连 续 函 数 性 质（1）有界性与最值性（2）零点定理（3）介值定理 u例 12u补 5 证 明 BxfAxf bxax )(lim,)(lim设 )(xf 在 内 连 续 ,)(xf 在 ),( ba 内 有 界 .),( ba设 )(xf 在 内 连 续 ,),( a BxfAxf xax )(lim,)(lim证 明 )(xf 在 ),( a 内 有 界 . 2 闭 区 间 上 连 续 函 数 性 质（1）有界性与最值性（2）零点定理（3）介值定理 2 闭 区 间 上 连 续 函 数 性 质（1）有界性与最值性（2）零点定理（3）介值定理 （ 2） 零 点 定 理u例 13 证 明 01 xxsin 在 22 , 内 至 少 有 一 个 实 根 .u例 14证 明 奇 次 多 项 式 )()( 001221120 aaxaxaxp nnn 至 少 有 一 个 实 根 .方 程 根 的 存 在 性 （ 2） 零 点 定 理构 造 辅 助 函 数u例 15u例 16u补 6 设 )(xf 在 2,0 a证 明 上 连 续 , )()( aff 20 ( ) ( )f x f x a 在 上 至 少 有 一 个 实 根 .,0 a设 为 连 续 函 数 ， 其 定 义 域 和 值 域 都 是证 明 存 在 , ba 使 .)( f)(xf , ba)()(),()( bgbfagaf 设 )(),( xgxf 上 的 两 个 连 续 函 数 ，是证 明 存 在 ),(0 bax 使 0 0( ) ( ).f x g x, ba 2 闭 区 间 上 连 续 函 数 性 质（1）有界性与最值性（2）零点定理（3）介值定理 2 闭 区 间 上 连 续 函 数 性 质（1）有界性与最值性（2）零点定理（3）介值定理 u例 17 设 在证 明 存 在 上 连 续 , , 21 baxxx n 使 得 )()()()( nn xfxfxff 2211 1,0, 2121 nn )(xf , ba , ba 作 业 ： P70 2,3, P72 9(2)(4)(6)(8),11