微积分课件：导数

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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,南京 *大学高数教研室,微积分,教学课件,第五章导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,内容导航,前言,理论基础：中值定理,一阶导数的应用,二阶导数的应用,数学建模：最优化模型,第五章导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,前言,本章我们进一步用导数来研究函数的特性，并由此解决一些实际问题。,导数可应用于求各种变化率，如求变速直线运动的速度、加速度、切线的斜率，经济的边际等问题。,用数学解决实际问题，可统称为,数学建模,。,最后介绍微分的概念及应用,5-1,理论基础,:,中值定理,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,拉格朗日中值定理,设函数由于,y=,f(x,),在闭区间,a,，,b,上连续，在开区间（,a,，,b,）内可导，则必定在（,a,，,b,）内至少存在一点,x,0,使得,如图所示,x,y,0,b,a,x,0,y=,f(x,),5-1,理论基础,:,中值定理,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,例,1,试证当,x0,时，有,令,f(t,)=ln(1+t),，则,f(t,),在,0,，,x,上满足拉格,朗日中值定理，则,其中,即,因为,所以,证,5-1,理论基础,:,中值定理,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,例,2,试证当,有,则,y,f(x,),在,a,，,b,是增函数。,任,，由于,说明可用中值定理有,其中,由已知,，,故,，,证得,f(x,),在,a,，,b,递增。,证,在,a,，,b,存在；,应用此中值定理注意（构造）什么函数在什么区间上运用。,拉格朗日中值定理是导数与函数联系的桥梁,。,5-2,一阶导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,函数单调性的判定,设函数,y=,f(x,),在,a,b,连续，（,a,b,）可导，那么,例,3,判别函数的单调性,解,5-2,一阶导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,例,4,求函数,的单调区间。,令,得,，,解,函数的定义域为,数轴上讨论，如图,x,-1,3,y,y,+,_,+,在,区间取,代入,得,在,区间取,x=0,代入,得,区间取,代入,得,在,得函数在,和,上递增；在,上递减,。,5-2,一阶导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,重要说明,:,，,解题步骤：,1.,求导,；,2.,令,，求驻点,x,i,和奇点,x,i,（,y,不可导的点，见下例）；,首先求出函数的定义域，因为要把函数的定义域讨论完，,技巧是只须取一好计算的点,x,0,，这有,“,投石问路,”,的方法技巧。,确定,函数单调区间的依据为：,的点）,（,.,数轴上以,xi,（驻点、奇点可统称为分界点）分区间讨论,正负号，得结论。,以及定义域外不讨论单调性；关于讨论一个区间上符号，,5-2,一阶导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,例,5,确定,函数的定义域为,的单调区间。,解,由于,则无驻点；,则,x=0,为奇点,当,x=0,时,不存在，,（也可以是单调区间分界点）,讨论,得函数在,递减，,递增。,5-2,一阶导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,函数的极大值和极小值,定义,设函数,y,f(x,),在（,a,，,b,）有意义，,，若,x,0,附近的函数值都大于（或都小于）,f(x,0,),，则称,f(x,0,),为函数,f(x,),的一个,极大值,（或极小值），点,x,0,叫函数,f(x,),的,极大值点,（或极小值点）。,函数的极大值和极小值统称为,极值,。极大值点和极小值点统称为,极值点,。,注意,:,极值是,局部,概念,-,局部最大或最小；一个函数在一个区间内只可能有一个最大值、一个最小值，但可能有多个极大值和极小值。,5-2,一阶导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,如何求函数的极值？,如下图所示：,可见，极值与函数的单调性密切联系，极值就是函数单调区间的分界点。,因而可以通过求单调区间来求极值。,x,y,0,y=,f(x,),x,1,x,2,x,3,x,4,5-2,一阶导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,例,6,求函数,的极值,。,f(x,),的定义域为,令,解,得驻点,讨论如图,x,1,极大,2,极小,y,y,+,_,+,得，当,x=1,时，函数有极大值,f(1)=2,；,当,x=2,时，函数有极小值,f(2)=1,。,5-2,一阶导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,说明,求函数极值的方法与步骤,：,令,分区间讨论,将极值点代入,f(x,),算出极值。,求,。,，求一阶驻点和奇点,x,i,。,的正负号，确定单调区间,进而确定极值点。,5-2,一阶导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,例,7,求函数,的极值。,函数的定义域为,解,令,得,讨论如图,得函数的极小值为,，驻点,不是极值点。,x,-1,y,y,+,_,+,5-2,一阶导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,例,8,求函数,的极值。,函数的定义域为,解,奇点,，驻点,讨论如图,得，函数的极大值为,，极小值为,x,0,y,y,+,_,+,5-3,二阶导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,曲线凹凸区间的判定（如图）,直观看曲线“往上弯”为,凹,，每点切线在曲线下方；,曲线“往下弯”为,凸,，每点切线在曲线上方。,x,y,0,x,y,0,a,b,b,a,y=,f(x,),y=,f(x,),a,图,b,图,5-3,二阶导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,进一步观察曲线凹凸性与切线的关系,a,图曲线是凹的,切线的倾斜角,为锐角，且由小变大，,是递增的，,有,f(x,),递增，则表明,有,递增，反之亦然，这就得到,有,f(x,),凹；,(b,）图同理有,，,f(x,),凸。,回忆,曲线上凹凸的分界点叫做曲线的,拐点,。,5-2,二阶导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,例,9,求,的凹凸区间和拐点。,解,函数的定义域为,，令,（为二阶驻点）,讨论如图,得曲线在,凸，在,凹，拐点为（,3,，,-146,）。,x,3,-,+,104,52,-146,-464,6,3,-2,x,y,草图,5-3,二阶导数的应用,5-3,二阶导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,求曲线凹凸区间、拐点与,单调区间、极值的步骤与要点类似,：,、,（,2,）求二阶驻点和奇点,x,i,；,其分界点,x,i,代回函数,f(x,),，并算出,f(x,i,),，则有拐点。,（,1,）求,；,（,3,）由,x,i,分区间讨论,符号确定凹凸区间；,5-3,二阶导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,例,10,求曲线,的凹凸区间和拐点。,解,函数的定义域为,，,有二阶奇点,x=0,，讨论如图,得曲线在,凸，在,可见，二阶导数不存在的点也可能是曲线的拐点,凹，拐点为（,0,，,0,）,x,0,-,+,5-3,二阶导数的应用,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,曲线形态判别方法小结,曲线增减与极值,1,、,极值为增减区间分界点,2,、步骤,（,1,）求,（,2,）求一阶驻点、奇点,x,i,；,（,3,）以,x,i,分区间讨论,曲线凹凸与拐点,1,、,拐点为凹凸区间分界点,2,、步骤,（,1,）求,、,（,2,）求二阶驻点、奇点,x,i,（,3,）以,x,i,分区间讨论,；,符号确定增减区间与极值,符号确定,凹凸区间,与,拐点,5-4,数学建模：最优化问题,精品课程,序言,第,1,章函数,第,2,章导数,第,3,章定积分,第,4,章求导方法,第,5,章导数应用,第,6,章求积分方法,第,7,章定积分应用,第,8,章微分方程,求出某些量的最大值和最小值对于许多实际问题都显得十分重要。,例如求时间最短、利润最大、成本最低等等。相应，大学生数学建模竞赛题几乎都是优化问题，或说必须用优化思想、方法去分析解决。初等数学中用二次函数、三角函数、不等式等等方法可以求函数最值，这里我们将看

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