1.3-1.5共轭元正规子群

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3,共轭元与类,共轭元,若群,G,中存在一个元,X,，使群中的元,A,、,B,满足,B,=,XAX,-1,（,1.3-1,）,那么，群元,B,与群元,A,共轭,若,B,共轭于,A,，则,A,亦共轭于,B,，因为,A,=,X,-1,B,(,X,-1)-1,=,YBY,-1,（,1.3-2,）,其中,Y,X,-1,，是群,G,中的一个元，所以，,A,与,B,是,互为共轭的,.,共轭具有传递性若,A,与,B,共轭，,B,与,C,共轭，则,A,与,C,共轭,.,因为如果存在群元,X,及,Y,满足,B,=,XAX,-1,及,C,=,YBY,-1,（,1.3-3,）,则,C,=,YBY,-1,=,Y,(,XAX,-1,),Y,-1,=(,YX)A,(,YX,),-1,（,1.3-4,）,YX,是群中的一个元，所以，,A,与,C,共轭,对于矩阵群，两个元共轭就是两个矩阵相似,.,2.,类,定义：,群中互为共轭的元的完全集合就称作,类,即，群,G,中的任何一个类,C,都满足,（,1.3-5,）,例如，包含群元,A,的类，就由群中的每一个元,X,与,A,作乘积,XAX,-1,形成，,A,本身就是这个类的一个元，,因为,A,=,EAE,-1,.,D,3,群中，,E,自成 一类，,D,、,F,属一类，因为：,EDE,-1,=,D,ADA,-1,=,BA,=,F,BDB,-1,=,CB,=,F,CDC,-1,=,AC,=,F,DDD,-1,=,FD,-1,=D,FDF,-1,=,ED=D,A,、,B,、,C,属一类,.,C,3V,群分成几类？,类的简单性质,(l),单位元,自成一类,(2),群中没有任何一个元是属于两个不同的类的，,即不同的类中,没有共同的元,(3),除单位元这一类外，其余各类都不是子群，因,为这些类中不包含单位元,(4),交换群,（阿贝尔群）每元自成一类因为交换,群中的每一个元都可与其它元对易，因此对一切,X,G,都有,XAX,-1,=,XX,-1,A,=,A,A,G,(5),对于,矩阵群,，同一类中的各元互为相似,矩阵，因此，同类中各元具有相同的矩阵,迹,(6),同类,的元素有相同的阶即：,如群中有一元,A,，其阶为,a,，则,A,a,=,E,，,那么与,A,同类的任意元,XAX,-1,亦具有相同的,阶,a,。,证明,:,(,XAX,-1,),a,=(,XAX,-1,)(,XAX,-1,),(,XAX,-1,)=,XA,a,X,-1,=,XEX,-1,=,E,所以，,A,与,XAX,-1,有相同的阶,(7),对于含转动操作的群,转角相同而转轴可由群中,的元转成一致的，属同一类,例如在,D,3,群中，,A,、,B,、,C,同属一类，因为,DCD,-1,=,A,FBF,-1,=,A,也可以这样来考虑：,A,、,B,、,C,为转角相同而转轴不,同的操作，但,C,轴可通过操作,D,转成,A,轴，,B,轴可通,过操作,F,转成,A,轴，故,A,、,B,、,C,同属一类同样，,D,、,F,同属一类，因为,D,、,F,转角相同，且用,A,、,B,、,C,之中任一操作都可使,D,、,F,两操作的转轴转成,一致,(8),若,C,是群,G,的一个类，且,C,=,C,1,C,2,，,，,C,m,，,C,是,C,中所有元的逆的集合，即,C,=,C,1,-1,C,2,-1,，,，,C,m,-1,那么，,C,也是群,G,的一个类，称,作,C,的,逆类,证明：,己知,XCX,-1,=,C,对任一,X,G,成立，那么,XCX,-1,=(,XCX,-1,),-1,=,C,-1,=,C,对任一,X,G,成立,.,所以，,C,是群,G,的类,.,(9),互逆类乘积的集合中一定有,单位元,出现，且出现,的次数等于类的群元数,h,c,（有时称,h,c,为类的阶）,有关类的定理,定理一,若,为由群中若干完整的类构成的集合，即,X,是群,G,中的任意元，则,X,X,-1,=,成立,.,证明：已知,XC,k,X,-1,=,C,k,;,所以,逆定理：,任何一个服从关系 成,立的集合,，必由若干完整的类构成,证明：,首先将,中的完整的类抽出，余下的,元的集合是,.,于是,X,X,-1,.,考虑,中的某个,元,R,，则上式左边是,R,类的所有元，因此右边的,就是一个完整的类即,必由一些完整的类构,成,定理二,两个类的类乘有,（,1.3-6,）,式中,c,ijk,是个整数，说明类,C,k,在类乘,C,i,C,j,中出现的次,数,其中类乘是这样定义的：,两个类的类乘为 一个集,合，其中的元分别由两个类中的元两两相乘而成,如,集合中有重复出现的元，则出现几次就取几次,证明：,由式,XCX,-1,=,C,得,XC,i,X,-1,=,C,i,，,XC,j,X,-1,=,C,j,所以，,C,i,C,j,=,XC,i,X,-1,XC,j,X,-1,=,XC,i,C,j,X,-1,对所有,X,G,成立根据刚刚证明过的逆定理，集合,C,i,C,j,必由一些完整的类构成，因而可写成式（,1.3,6,）的形式,.,例：,D,3,群中，六个元共分,三类,，可表为,C,1,=,E,；,C,2,=,A,B,C,;,C,3,=,D,，,F,于是，,C,1,C,2,=,C,2,;,C,1,C,3,=,C,3,;,C,2,C,3,=2,C,2,;,C,2,C,2,=3,C,1,+3,C,3,;,C,3,C,3,=2,C,1,+,C,3,;,定理三,有限群,G,的阶为,g,，类,C,的元数为,h,C,，则有,g,/,h,C,=,整,数成立，,即,h,C,是,g,的整数因子,证明：,分三步来证明这个定理,第一步：取群,G,中某一个确定的元,X,G,，取,S,G,，满足,SXS,-1,=,X,的所有元的集合,S,=,S,X,，证明,S,X,是群,G,的 一个子群设,S,i,S,j,S,X,则有,S,i,XS,i,-1,=,X,S,j,XS,j,-1,=,X,(1.3-7),于是,(,S,i,S,j,),X,(,S,i,S,j,),-1,=,S,i,(,S,j,XS,j,),-1,S,i,-1,=,S,i,XS,i,-1,=,X,(1.3-8),上式表明，,S,i,S,j,S,X,.,由于,S,X,是群,G,的具有封闭性的,子集，故,S,X,是群,G,的子群,.,第二步：将群,G,按子群,S,X,的陪集来分解，得,G,=,R,1,S,X,+,R,2,S,X,+,R,i,S,X,(1.3-9),其中，,R,1,=E,，,R,2,，,，,R,i,是陪集代表元,.,作,R,1,XR,1,-1,，,R,2,XR,2,-1,，,，,R,i,XR,i,-1,下面将证明，全部与,X,共轭的元共有,i,个，即,h,c,=,i,(1.3-10),为此只要证明：,(l),用属于同一个陪集内的元,R,m,及,R,n,作,X,的共轭,元，必有,R,m,X,R,m,-1,=,R,n,X,R,n,-1,(1.3-11),因为，若,R,m,，,R,n,同属于左陪集,R,m,S,X,，必有一,S,g,存,在，使,R,n,=,R,m,S,g,，其中,S,g,S,X,于是,R,n,X,R,n,-1,=(,R,m,S,g,),X,(,R,m,S,g,),-1,=,R,m,(,S,g,X,S,g,-1,),R,m,-1,(1.3-12),根据式,(1.3-7),S,g,X S,g,-1,=,X,，所以，上式变成,R,n,X,R,n,-1,=,R,m,X,R,m,-1,这就是式,（,1.3-11),.,(2),若,R,m,，,R,n,满足式,（,1.3-11),，则,R,m,，,R,n,属同 一,个陪集,以,R,m,-1,左乘式,（,1.3-11,）,后，再以,R,m,右乘之，得,X,=,R,m,-1,R,n,X,R,n,-1,R,m,=(,R,m,-1,R,n,),X,(,R,m,-1,R,n,),-1,(1.3-13),可见,R,m,-1,R,n,S,X,，所以,R,n,R,m,S,X,(1.3-14),上式说明，,R,m,，,R,n,属同一个左陪集,R,m,S,X,.,第三步：根据式,（,1.3-10,）,及式,（,1.2-3),g,=,si,，得,i,=,h,C,=,g,/,s,或,g,/,h,C,=,s,(1.3-15),其中，,s,是一个整数，是子群,S,X,的阶,正规子群,共轭子群,若,S,是群,G,的一个,s,阶子群，即,S,=,E,=,S,1,S,2,，,，,S,s,，,（,1.4-1,）,X,是群,G,中某个确定的元，则集合,XS,1,X,-1,XS,2,X,-1,，,，,XS,s,X,-1,=,XSX,-1,（,1.4-2,）,构成群，称为群,G,的,共轭子群,.,1.4,正规子群与商群,证明：,（,1,）若,XS,m,X,-1,及,XS,n,X,-1,是集合,XSX,-1,中的任意两元，,那么，由于,S,m,及,S,n,是群,S,中的元，,(,XS,m,X,-1,)(,XS,n,X,-1,)=,X,(,S,m,S,n,),X,-1,也是,XSX,-1,中的一个元，满足,封闭性,条件,.,（,2,）若,XS,m,X,-1,，,XS,n,X,-1,及,XS,p,X,-1,是,XSX,-1,中的三个,元，那么它们之间的乘积满足,结合律,.,（,3,）,由于,S,中有单位元，,XSX,-1,中肯定有,单位元,.,（,4,）同样，由于,S,中每个元都有逆元，所以,XSX,-1,的,每个元都有,逆元,.,正规子群,对于群,G,中的每一个元,X,，当,G,的子群,S,满足,XSX,-1,=,S,（,1.4-3,）,时，称子群,S,为群,G,的,正规子群,，亦称为,不变子群,.,正规子群的性质,(l),群,G,的正规子群,S,是由群,G,的,一个或几个完整的,类,构成的反之，凡是包含群,G,中的一个或几个完整,类的子群，都是,G,的正规子群,证明：,令,S,m,是,S,中的任一元，当,S,是,G,的正规子,群时，对于每一个,X,G,，群元,XS,m,X,-1,必然也是,S,的,一个元，所以,S,包含了,S,m,的整个类,.,反之，若子群包,含了群,G,中的一个或几个完整类，例如：,S,=,C,1,+,C,2,（,1.4-4,）,根据式（,1.3-5),，对一切,X,G,存在,XC,1,X,-1,=,C,1,及,XC,2,X,-1,=,C,2,因此有,XSX,-1,=,XC,1,X,-1,+,XC,2,X,-1,=,C,1,+,C,2,=,S,所以，,S,是,G,的正规子群,(2),对于一切,A,G,，正规子群,S,对于,A,的左倍集,AS,及右陪集,SA,是一样的，即有,AS,=,SA,(1.4-5),证明：,只要证明,SA,中的一个元也是,AS,中的一个元,即可,当,S,是正规子群时，设,B,是,SA,中的元，那么，必,存在一个元,S,m,S,，使,B,=,S,m,A,，于是,A,-1,B,A,-1,S,m,A,，,这是,A,-1,SA,中的一个元所以也是,S,中的一个元，即,A,-1,B,S,，令,A,-1,B,S,k,，则,A,(,A,-1,B,),B,=,AS,k,是,AS,中的,一个元，得证,这个性质表明，,S,作为一个整体，可以与,群,G,中的任意元对易,.,(3),正规子群的一个陪集与另一个陪集的乘积（包,括陪集自身相乘）必为一个陪集或者正规子群,.,证明：,设正规子群,S,的两个陪集是,SA,及,SB,，,其中,A,、,B,是群,G,的两个元，二者可以相同这两个,陪集的乘积：,SASB=SASA,-1,AB=S,(,ASA,-1,),AB=SSAB=SAB,（,1.4-6,）,群元,A,、,B,G,，如果,A,、,B,不在子群,S,中，那么，,乘积,SAB,就是一个陪集如果,(,AB,),S,，那么，乘,积就是正规子群本身,商群,1,