10_第八节__闭区间上连续函数的性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九节 闭区间上连续函数的性质,一、最大值和最小值定理,二、零点定理与介值定理,基本要求：,1.,了解闭区间上连续函数的性质,最值定理,;,介值定理,;,零点定理,.,2.,能正确叙述定理得条件、结论,了解其几何意义,.,3.,能正确运用定理作一些不太复杂的证明题,.,一、最大值和最小值定理,定义,设函数,y,=,f,(,x,),定义在区间,I,内上,若,I,对,x,I,有：,f,(,x,),f,(,),f,(,x,),f,(,),则称,f,(,x,),在区间,I,上的最大值,f,(,),最小值,f,(,).,记为：,例如,:,定理,1(,最值定理,),在,闭区间,上,连续,的函数在该区间上有界并一定有最大值和最小值,.,注意,若区间是开区间,或区间内有间断点,定理结论不一定成立,.,例如,在,(0,1),内无最大值和最小值,.,又如,在,0,2,内无最大值和最小值,.,二、零点定理与介值定理,定理,2(,零点定理,),若,f,(,x,),C,a,b,且,f,(,a,),与,f,(,b,),异号,(,即,f,(,a,),f,(,b,)0),则至少存在一点,(,a,b,),使,f,(,)=0,.,几何解释,:,注意,1.,若区间是开区间,定理不一定成立,;,2.,若区间内有间断点,定理不一定成立,.,一个主要应用：,证明方程根的存在性,或者,证明函数零点的存在性,.,例,1,证,由零点定理,几何解释,:,M,f,(,b,),f,(,a,),m,a,b,定理,3(,介值定理,),若,f,(,x,),C,a,b,且,f,(,a,),f,(,b,),则对介于,f,(,a,),与,f,(,b,),之间的任意一个实数,至少存在一点,(,a,b,),使,f,(,)=,.,推论,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值,M,与最小值,m,之间的任何值,.,例,2,证,由零点定理,设辅助函数是微积分证明中常用到的技巧之一,.,例,3,证,由零点定理,即方程至少有三个实根,1,2,3,.,又方程为三次方程,至多只有三个实根,.,方程只有三个实根,.,命题得证,.,例,4,证明：实系数的奇次代数方程至少有一实根,.,证,设,实系数的奇次代数方程为,由零点定理,即方程至少有一个实根,x,0,.,三、小结,三个定理,最值定理,;,介值定理,;,零点定理,.,设,f,(,x,),C,a,b,则,:,1.,f,(,x,),在,a,b,上有界,.,2.,f,(,x,),在,a,b,上达到最大值与最小值,.,3.,f,(,x,),在,a,b,上可取最大与最小值之间的任何值,.,4.,若,f,(,a,),f,(,b,)0,则至少存在,(,a,b,),使,f,(,)=0,.,解题思路,1.,直接法,2.,辅助函数法,思考题,下述命题是否正确？,解答,不正确,.,例如,函数,