1.2 复数的几种表示

,*,第一章 复数与复变函数,1.2,复数的几种表示,一、,复数的几何表示,1.,复平面,此时，,x,轴称为,实轴,，,y,轴称为,虚轴,。,在平面上建立一个直角坐标系，,定义,用坐标为,的点来,表示复数,从而将全体复数和平面上的全部点,一一对应起来，,的平面称为,复平面,或者,这样表示复数,z,z,平面,。,P4,引进复平面后，,复数,z,与,点,z,以及,向量,z,视为同一个概念。,在复平面上，从原点到点,所引的向量与该复数,z,也构成一一,一、,复数的几何表示,1.,复平面,y,实轴,虚轴,x,O,对应关系,(,复数零,对应零向量,),。,比如，,复数的加减法,等同于,向量的平行四边形法则,。,将复数和向量对应之后，除了利用,实部与虚部来给定一个复数以外，,一、,复数的几何表示,2.,复数的模与辐角,y,x,O,x,y,定义,设,z,的是一个不为,0,的复数，,(1),向量,z,的长度,r,称为复数,z,的,模,，记为,还可以借助向量的长度与方向来给,定一个复数。,(2),向量,z,的,“,方向角,”,称为复数,z,的,辐角,，记为,P5,一、,复数的几何表示,2.,复数的模与辐角,x,y,+,-,两点说明,(1),辐角是多值的，,(2),辐角的符号约定为：,逆时针取正号，顺时针取负号。,相互之间可相差,其中,k,为整数。,例如,对于复数,则有,复数,0,的模为,0,，辐角无意义。,注,由此就有如下关系：,一、,复数的几何表示,2.,复数的模与辐角,主辐角,对于给定的复数,设有 满足：,且,则称 为复数,z,的,主辐角,，记作,解,x,y,(1),已知实部与虚部，求模与辐角,。,一、,复数的几何表示,3.,相互转换关系,y,x,O,x,y,P7,(1),已知实部与虚部，求模与辐角,。,一、,复数的几何表示,3.,相互转换关系,(2),已知模与辐角，求实部与虚部,。,由此引出复数的三角表示式,。,y,x,O,x,y,二、,复数的三角表示和指数表示,1.,复数的三角表示,称 为,复数,z,的,三角表示式,。,y,x,O,x,y,如图，,有,定义,设复数,r,是,z,的模，,是,z,的任意一个辐角，,由,P9,二、,复数的三角表示和指数表示,2.,复数的指数表示,利用欧拉公式 得,称 为,复数,z,的,指数表示式,。,定义,设复数,r,是,z,的模，,是,z,的任意一个辐角，,但习惯上一般取为,主辐角,。,在复数的三角表示式与,指数表示式中，辐角不是唯一的，,注,补,(,欧拉公式,),解,x,y,复数 的三角表示式为,复数 的指数表示式为,二、,复数的三角表示和指数表示,3.,利用指数表示进行复数的乘除法运算,设,乘法,即,(,在集合意义下,?),两个复数乘积的,幅角等于它们幅角的和。,模等于它们的模的乘积；,P10,补,、,(,集合意义,),二、,复数的三角表示和指数表示,3.,利用指数表示进行复数的乘除法运算,设,除法,(,在,集合意义下,),两个复数的商的,幅角等于它们幅角的差。,模等于它们的模的商；,即,例,计算,解,由,有,附,一些“简单”复数的指数形式,解,由,有,P11,例,1.5,修改,复数,z,的,乘幂,，,设,z,是给定的复数，,n,为正整数，,n,个,z,相乘的积称为,定义,三、,复数的乘幂与方根,1.,复数的乘幂,设,则,法则,利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则,。,即,记为,P12,三、,复数的乘幂与方根,1.,复数的乘幂,由,以及复数的三角表示式可得,在上式中令,r,=,1,，则得到,棣莫弗,(De Moivre),公式,：,棣莫弗,(De Moivre),公式,进一步易得到正弦与余弦函数,的,n,倍,角公式,。,例,此外，显然有,由此引出,方根,的概念,。,复数,w,，,三、,复数的乘幂与方根,2.,复数的方根,称为把复数,开,n,次方,，或者称为求复数 的,复数求方根是复数乘幂的逆运算,。,设 是给定的复数，,n,是正整数，求所有满足 的,定义,n,次方根,，,记作 或,复数 的,n,次方根一般是多值的,。,P13,三、,复数的乘幂与方根,2.,复数的方根,利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。,设,推导,即,得,正实数的算术根。,由,有,三、,复数的乘幂与方根,2.,复数的方根,描述,在复平面上，这,n,个根均匀地,为半径的圆周上。,根的辐角是,分布在一个以原点为中心、以,其中一个,方法,直接利用公式求根,；,先找到一个特定的根，再确定出其余的根,。,例,求,解,具体为：,例,求解方程,解,具体为：,四、几个关系,(1),(2),(3),P6,P8,P6,证,利用复数与向量的关系，可以证明一些几何,问题,。,A,B,C,比如，上例证明的结论可描述为：,三角形的两边之和大于等于第三边。,P8,1748,年，欧拉给出了著名的公式,令 有,它把五个最重要的数 联系起来。,公式之一，,附：,知识广角,奇妙的欧拉公式,克莱茵认为这是数学中最卓越的,欧拉的毅力极其顽强！,可以在任何不良的环境中工作。,常常抱着孩子在膝上完成论文。,在双目失明以后，也没有停止对数学的研究。,在失明后的,17,年间，还口述了,400,篇左右的论文。,