多自由度系统

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,4,章 多自由度系统的振动,4.2.2,固有频率和固有振型,自由振动解 ：,A,振幅矢量,x,位移矢量,无阻尼固有频率,初相角,齐次方程组 ：, 无法确定A中的所有元素，但可确定其相比照值；, A中的 n-1个未知元素和 , 可由方程(4.2.6)唯一确定。,特点,：,特征值问题：,为特征值，,A,为特征矢量。,非零解条件,频率方程：,频率方程关于,2,的,n,个根，即系统的固有频率。,4.2.2,固有频率和固有振型,第,4,章 多自由度系统的振动,性质1. 动能T正定，即M正定，且M和K对称，那么 i2 必为实根；,证明,：,设满足方程(4.2.6)的某个特征对= 2 和A为复数，那么有,M,和,K,为对称矩阵,以上二式相减,:,M,正定,:,证毕,#,性质2. 假设势能V也是正定，即K正定，即系统具有足够的约束，不会发生刚体位移 ，那么 i2 必为正的实根；,证略。,特征根性质,第,4,章 多自由度系统的振动,设系统的,n,个特征值互异,:,系数矩阵奇异，矩阵的秩,=,n,1,。,计算,A,i,的具体过程 ：,任选,n,1,个方程,;,取,A,i,中某个元素为单位,1,，化为,n,1,阶,非齐次方程组,;,求解得,A,i,，,作归一化处理得归一化振型,i,。,n,个特征对：,特征矢量的计算过程,第,4,章 多自由度系统的振动,特征矢量的计算过程,(,续,),第,4,章 多自由度系统的振动,例,4.2.1,计算例中三层框架的固有频率和固有振型。,解,:,特征方程：,例,第,4,章 多自由度系统的振动,例续,第,4,章 多自由度系统的振动,例,4.2.2,求例所述系统的固有频率和振型矩阵。,解,:,特征方程：,例,第,4,章 多自由度系统的振动,4.2.3,主坐标,在特定的初始条件下，系统可能以单一的振型振动,主振动,ji,(,j,=1 , 2 ,n,) ,第,i,阶归一化振型矢量的各元素,自由振动一般解,:,主坐标,:,坐标变换的矩阵形式,:,振型矩阵,：由各归一化振型矢量,i,组成的矩阵；,x,为物理坐标，,X,为振型坐标特殊形式的广义坐标。,4.2.3,主坐标,第,4,章 多自由度系统的振动,4.2.4,振型矢量的正交性,运动方程的特点：,耦合，求解困难，费时！,解耦，变成,n,个独立的单自由度系统 。,措施：,前提：,坐标变换，,基矢量具有正交和完备的性质。,第,i,阶主振动,:,第,j,阶主振动,:,4.2.4,振型矢量的正交性,第,4,章 多自由度系统的振动,模态质量,:,模态刚度,:,等效模态单自由度,:,正交性条件,:,系统的动能和势能可以用主坐标表示,!,拉格朗日方程,主坐标表示系统的动能和势能,第,4,章 多自由度系统的振动,4.2.5,振型矢量的归一化,方法,1,:,令振型矢量中最大的元素等于单位,1,;,方法,2,:,关于质量矩阵归一化的振型矩阵：,4.2.6,初始条件,由物理坐标的初始条件确定模态坐标的初始条件：,4.2.5,振型矢量的归一化,第,4,章 多自由度系统的振动,分量形式：,4.2.6,初始条件,第,4,章 多自由度系统的振动,4.2.7,关于特征根的重根问题,不失一般性，假定某一特征根为二重根：,系数矩阵的秩等于,n,2,。,4.2.7,关于特征根的重根问题,第,4,章 多自由度系统的振动,4-3,多自由度系统的有阻尼自由振动,瑞雷耗散函数：,拉格朗日方程：,运动方程：,方程解耦的关键：,阻尼矩阵,C,的对角化！,4-3,多自由度系统的有阻尼自由振动,第,4,章 多自由度系统的振动,4.3.1,阻尼的处理,瑞雷阻尼,:,振型折算阻尼系数,:,通常利用前两阶振型的阻尼比来近似计算,和,1和2可通过实验方法测试，也可以根据经历来选定 !,4.3.1,阻尼的处理,第,4,章 多自由度系统的振动,高阶的阻尼比,:,瑞雷阻尼扩大了高阶阻尼，即抑制了高阶振型对响应的影响,!,振型叠加法,:,模态截断求系统的响应,:,瑞雷阻尼的振型,阻尼比,第,4,章 多自由度系统的振动,4.3.2,响应的计算,坐标变换,按振型分解,:,根据正交性条件,(4.2.28),和,(4.3.5),以及关系,(4.3.6),运动方程：,单自由度系统的运动方程，根据初始条件求解。,4.3.2,响应的计算,第,4,章 多自由度系统的振动,初始条件,:,分量形式,:,模态坐标,X,i,的,自由振动响应,:,按振型叠加求响应,:,模态坐标方程,:,模态坐标响应,第,4,章 多自由度系统的振动,4-4,多自由度系统的受迫振动分析,4.4.1,概述,运动方程：,模态分析法：,运动方程解耦；,选用较少的低阶模态,反映响应的总体特征,；,直接用振型阻尼比,i,计算响应；,只能适用于线性系统；,选取振型的阶数与荷载的频谱特性有关。,选用较少的高阶模态,反映响应的局部变形特征,；,4-4,多自由度系统的受迫振动分析,第,4,章 多自由度系统的振动,在每个小区间内直接对运动方程进展积分;,适合于任意系统,;,具有低通滤波的作用，,f,c,=1/,t,逐步积分法：,弹性阶段，先解耦，再求模态坐标的受迫振动响应。,4.4.2,无阻尼受迫振动的响应计算,运动方程 ：,(1),简谐荷载引起的振动及系统的共振,共振法测固有频率。,4.4.2,无阻尼受迫振动的响应计算,第,4,章 多自由度系统的振动,(2),任意荷载引起的振动与模态分析法,正交性条件,初始条件,:,模态坐标的无阻尼受迫振动响应,:,(2),任意荷载引起的振动与模态分析法,第,4,章 多自由度系统的振动,4.4.3,有阻尼受迫振动的响应计算,(1),简谐荷载引起的稳态响应,代入方程，,比较系数,周期荷载,:,按富里叶展开,;,一般荷载,:,联合运用模态分析法和数值积分法。,运动方程 ：,4.4.3,有阻尼受迫振动的响应计算,第,4,章 多自由度系统的振动,(2),模态分析法求任意荷载引起的稳态响应,初始条件,:,(2),模态分析法求任意荷载引起的稳态响应,第,4,章 多自由度系统的振动,(3),传递函数,复数形式解,:,运动方程：,(4.4.21),单点激振,:,分量形式,:,(3),传递函数,第,4,章 多自由度系统的振动,多输入和多输出离散系统,传递函数,:,单点激振,:,分量形式,:,多输入和多输出离散系统,多输入多输出系统的,传递函数,第,4,章 多自由度系统的振动,【,例,】,四层剪切型框架构造，在构造的顶部作用水平简谐荷载：F=cos pt，求：,系统的固有频率，固有振型及各阶的模态质量和模态刚度；,(2),用振型分析法分别求当,p,=0,1,和,1.3,2,时顶层的水平位移。,解：,(1),选各层的水平位移为广义坐标,例,第,4,章 多自由度系统的振动,特征值问题,:,图,4.4.1,四层剪切型框架的振型图,(2,阶,),(3,阶,),(4,阶,),(1,阶,),模态质量,:,模态刚度,:,四层剪切型框架的振型图,第,4,章 多自由度系统的振动,(2),三个激振频率下分别计算顶层的水平位移响应,顶层水平位移响应,:,N,=1,N,=2,N,=3,N,=4,p,1,=0,1.97010,3,2.49210,3,2.60210,3,2.60410,3,p,2,=0.5,1,2.62610,3,3.17610,3,3.28910,3,3.29110,3,p,3,=1.3,3,-1.30110,4,-3.63010,4,-5.22810,4,-4.98710,4,表不同模态截断下的顶层水平位移响应,x,11,/,F,1,前两种情况,:,N,=2,具有一定精度，,N,=3,具有足够精度；,后一种情况,:,振型不能截断，,p,3,已接近,4,。,表,第,4,章 多自由度系统的振动,4.4.4,模态加速度法,运动方程 ：,伪静态响应 ：,第二项为加速度的影响,模态加速度法。,4.4.4,模态加速度法,第,4,章 多自由度系统的振动,第,r,个自由度的响应,:,【,例,】,同例，用模态加速度法求解。,解：,先求,K,的逆,例,第,4,章 多自由度系统的振动,N,=1,N,=2,N,=3,N,=4,p,1,=0,2.60410,3,2.60410,3,2.60410,3,2.60410,3,p,2,=0.5,1,3.26110,3,3.28810,3,3.29110,3,3.29110,3,p,3,=1.3,3,5.04410,4,-2.50610,4,-5.20610,4,-4.98710,4,表,4.4.2,模态加速度法计算的顶层水平位移响应,x,11,/,F,1,p,1,不需要振型叠加；,p,2,取一阶振型就有足够的精度；,对于,p,3,，第四阶振型仍为主模态,，,振型不能截断。,表,第,4,章 多自由度系统的振动,习题,4.1,图示伸臂梁上面有两个集中质量,m,1,=,m,2,=,m,，梁的抗弯刚度为,EI,，不计梁的质量，试建立系统的自由振动微分方程，并求系统的固有特性。,题,4.1,图,运动微分方程,:,第,4,章 多自由度系统的振动,习题,4.2 假设习题中的A为固定端，重新计算习题。,(,题,4.2,图,),(,基本结构,),第,4,章 多自由度系统的振动,习题,4.3,图示三跨连续梁的跨中各有一个集中质量，梁的抗弯刚度为,EI,，不计梁的质量，试建立系统的自由振动微分方程，并利用对称性求系统的固有特性。,题,4.3,图,对称模态,反对称模态,对称模态,(,对称模态的半结构,),(,反对称模态的半结构,),运用位移法画单位荷载弯矩图,.,第,4,章 多自由度系统的振动,习题,(,对称模态的半结构,),第,4,章 多自由度系统的振动,习题,(,反对称模态的半结构,),第,4,章 多自由度系统的振动,习题,4.4 求以下情况下系统的自由振动响应：(1) 例4.1 中分别在m1和m2处施加竖向集中力Fp，然后突然释放；(2) 两处同时施加竖向集中力Fp ，然后突然释放；(3) 分别在m1和m2处作用一个脉冲力使之产生初速度v0。,题,4.4,图,解：已求得柔度矩阵：,固有频率：,关于,M,归一化振型矩阵：,第,4,章 多自由度系统的振动,习题,4.4(,续,),模态变换,:,各模态坐标的响应,:,模态叠加求响应,:,第,4,章 多自由度系统的振动,习题,4.4(,续,),(1),在,m,1,处施加竖向集中力,F,P,引起的两质块的初始变形，初始条件为：,转化为模态坐标的初始条件,:,模态坐标的响应,:,系统响应,:,第,4,章 多自由度系统的振动,习题,4.5,按习题的三种情况，分别求习题中三跨连续梁的自由振动响应。,题,4.5,图,第,4,章 多自由度系统的振动,习题,4.6 质点m在空间运动，固定m的三个弹簧刚度系数均为k，各固定点的坐标如下图，当m在坐标原点时各弹簧处于自然位置。(1) 建立质点的运动方程；(2)将质点沿坐标轴方向各移动单位位移然后自由释放，分别求质点自由振动的响应。,(0.6, 0.8, 0),(0, 0.5, 0.5),(0.5, 0, 0.5),题图,第,4,章 多自由度系统的振动,习题,4.7,图示简支梁上有三个质量,m,1,=,m,2,=,m,3,=,m,置于等分处，梁的抗弯刚度为,EI,，跨中有弹簧支承，,k,=,EI /,l,3,，不计梁的质量。,(1),求各质点自由振动的微分方程；,(2),求有弹簧支承和无弹簧支承两种情况下系统的自振频率和主振型；,(3),在质量块重力作用下的静平衡位置，突然撤去弹簧，求梁自由振动的响应。,题,4.7,图,第,4,章 多自由度系统的振动,习题,题,4.8,图,4.8 图示构造，梁的抗弯刚度为EI，弹簧的刚度系数k=EI / l3 ，梁在跨受均布动荷载 q的作用，激振频率 p与系统的基频之比为1/2。(1) 建立系统的运动方程；(2) 求自振频率和主振型；(3) 求弹簧支座的最大动反力；(4) 求跨中点的最大动弯矩。,第,4,章 多自由度系统的振动,习题,4.9,图示,L,形杆，抗弯刚度为,EI,，,A,为刚结点。杆在,A,、,B,两点简支，。在,C,、,D,两点各有质量为,m,的集中质量，在,D,点作用水平简谐力。,(1),建立系统的运动方程；,(2),求杆的自振频率和主振型；,(3),求,A,截面处的最大动弯矩。,题图,第,4,章 多自由度系统的振动,习题,题,4.10,图,4.10,图示刚架，各杆的长度均为,l,，抗弯刚度为,EI,，在各杆的中间固定有集中质量，在垂直杆的质块上作用有水平简谐荷载，,m,1,=,m,2,=,m,。,(1),试确定系统的自由度，并建立运动微分方程；,(2),求自振频率和主振型；,(3),求,m,1,的最大动位移和截面,A,处的最大动弯矩。,第,4,章 多自由度系统的振动,习题,4.11,图示门式刚架，各杆的长度均为,l,，抗弯刚度为,EI,，在各杆的中间固定有集中质量，,m,1,=,m,2,=,m,3,=,m,。,(1),试确定系统的自由度，并建立运动微分方程；,(2),求自振频率和主振型；,(3),分别求在水平和竖向简谐荷载作用下各质块的最大动位移及,A,截面处的最大动弯矩。,题,4.11,图,第,4,章 多自由度系统的振动,习题,4.12,试按模态加速度法重新计算习题，设,p,/,1,。,第,4,章 多自由度系统的振动,习题,4.13,在习题、和中，假定系统具有瑞雷阻尼，并设各阶振型阻尼比,i,均为，试重新计算自由振动的响应。,第,4,章 多自由度系统的振动,习题,4.14,在习题中，假定系统具有瑞雷阻尼，并设各阶振型阻尼比,i,均为，试按各题的要求重新计算受迫振动的响应。,谢谢观赏！,2020/11/5,51,