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返回,后页,前页,数列极限是整个数学分析最重要的根底,1,数列极限的概念,一、数列的定义,五、再论 “ - N 说法,四、按定义验证极限,三、收敛数列的定义,备知识.,为今后学习级数理论提供了极为丰富的准,之一, 它不仅与函数极限密切相关，而且,返回,二、一个经典的例子,六、一些例子,为数列.,因为,N,+,的所有元素可以从小到大排列出来,则称,若函数,f,的定义域为全体正整数的集合,或简记为 ,a,n,.,这里,a,n,所以我们也将数列,写成,称为数列,a,n,的通项.,一、数列的定义,二、一个经典的例子,样的过程可以无限制地进展下去.,我们把每天截下局部 (或剩下局部) 的长度列出：,第一天截下,第二天截下,第,n,天截下,这样就得到一个数列:,古代哲学家庄周所著的庄子 天下篇引用了,一句话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭. 它的,意思是: 一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这,容易看出: 数列,随着,n,的无,限增,大而无限趋于,0,.,三、收敛数列的定义,下面给出严格的数学定义.,定义,1,为一个数列,a,为一个常数,若对于,任意的正数 ,总存在正整数,N,使当,n,N,时,则称数列,收敛于,a,又称,a,为数列,的极限,一般地说,对于数列,若当,n,充分变大时,a,n,能无限地接近某个常数,a, 则称,收敛于,a .,记作,若,不收敛, 则称 为,发散数列,.,注 定义1 这种陈述方式，俗称为 “ - N 说法.,四、按定义验证极限,以说明, 希望大家对 “ - N 说法能有正确的认识.,例1,用定义验证:,分析,对于任意正数,要使,只要,证,对于任意的正数,所以,为了加深对数列收敛定义的了解, 下面结合例题加,例,2,用定义验证,分析,对于任意的正数, 要使,只要,这就证明了,证,只要 即可.,例,3,用定义验证,分析,故要使,成立,证,对于任意的正数,取,即得,注意,解这个不等式是在 的条件下进行的.,所以,例,4,用定义验证,因此证得,证,这里只验证,的情形（ 时自证）.,故对于任意正数,五、再论 “ - N 说法,从,定义,及上面的例题我们可以看出:,此外，又因,是,任意正数, 所以,1.,的任意性:,定义中的,用来,刻画数列 ,a,n, 的通,项与定数,a,的接近程度. 显然正数,愈小,表示,a,n,与,a,接近的程度愈高；,是任意的, 这就表示,a,n,与,a,可以任意接近.要注意，, 一,旦,给出，在接下,来计算,N,的过程中，,它,暂时看作是确定不变的.,可以用,(,K,为某一正常数 ) 来代替.,定义 1, 那么对, 1,自然也可以验证成立.,均可看作任意正数, 故定义 1 中的不等式,2.,N,的相对性:,从定义,1,中,又,可看出,随,着,的取值,不同,N,当然也会不同. 但这并不意味着,N,是由,再有, 我们还可以限定 小于某一个正数 ( 比方, 1 ). 事实上, 对 0 N1 = 2N 时, 对于同样的 , 更应有,惟一确定. 例如, 当,n,N,时, 有,求 N 的 “ 最正确性 .,也就是说, 在这里只是强调,N,的存在性, 而不追,3.,极限的几何意义,示当,n,N,时,从几何上看,实际上就是,时有,所有下标大于,N,的,a,n,全都落在,邻,域,之内，,而在,之外, ,a,n, 至多只有有限项(,N,项 ).,反过来, 如果对于任意正数, 落在,之外至,多只有有限项, 设这些项的最大下标为,N, 这就表, an 的有限多项, 那么称数列 an 收敛于a . 这样,a,n, 不以,a,为极限的定义也可陈述为:存在,之外含有 ,a,n, 中的无限多,不以任何实数,a,为极限.,以上是定义 1 的等价说法, 写成定义就是:,定义1,任给,若在,之外至多只有,项.,注 an 无极限即发散的等价定义为: an ,以下定理显然成立,请读者自证.,4,.无穷小数列和无穷大数列,六、一些例子,为了更好地理解,定义, 再举一些例题.,例5,证明,发散.,又因,a,是任意的, 所以 发散.,a,为极限.,证,对于任意实数,a, 取,之外有无限多,所以由定义1,不以,个偶数项（奇数项）.,例6,证明,解,当,时，,从而,证,我们用两种方法来证明.,例7,证明,1) 任给正数,有项都能使不等式 成立即可.,注,这里我们将,N,取为正数, 而非正整数. 实际上,N,只是表示某个时刻, 保证从这一时刻以后的所,没有定义.,2) 任给正数, 限制 由,可知只需取,注 这里假定 0 1 是必要的, 否那么 arcsin 便,复习思考题,1. 极限定义中的 “ ” 是否可以写成 “,” ? 为什么?,2.,反之是否成立?,3. 已知,是一个一一影射.,请依据极限定义证明:,
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