应力和应变分析强度理论之应力状态分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第七章,应力和应变分析,强度理论,目录,1,第七章 应力状态分析,应力状态的概念,用解析法分析二向应力状态,用图解法分析二向应力状态,三向应力状态,广义胡克定律,三向应力状态下的应变能密度,强度理论概述,四种常见的强度理论,目录,目录,2,低碳钢,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸 铁,1、问题的提出,71,应力状态的概念,目录,3,脆性材料扭转时为什么沿45螺旋面断开？,低碳钢,铸 铁,71,应力状态的概念,目录,4,一、,应力状态的概念及其描述,（一）、应力状态的概念,目录,5,轴向拉压,同一横截面上各点应力相等：,F,F,同一点在斜截面上时：,目录,6,此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即,应力的面的概念,。,目录,7,横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即,应力的点的概念,。,目录,8,过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的,应力状态,（State of the Stresses of a Given Point）。,应 力,哪一个面上,？,哪一点,？,哪一点,？,哪个方向面,？,指明,目录,9,应力状态的概念,2、受力构件内应力特征：,（1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的；,（2）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是不同的；,（3）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况一般是不同的。,1、一点处的应力状态:,受力构件内一点处不同方位的截面,上应力的集合, 称为一点处的应力状态。,10,P,A,(a),a,b,c,d,A,(b),3、单元体法,(c),（1）单元体截取方法: 围绕该点,取出一个单元体。,例如 图 9-1,a,所示矩形截面,悬臂梁内,A,点的应力状态,11,（2）单元体特征,单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；,任意一对平行平面上的应力相等,12,F,F,示例一,S平面,1,1,1,目录,13,1,F,F,S平面,1,n,同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.,目录,14,F,l,a,S,1,3,S,平面,z,M,z,T,4,3,2,1,y,x,71,应力状态的概念,目录,15,y,x,z,单元体上没有切应力的面称为,主平面,；主平面上的正应力,称为,主应力，,分别用 表示，并且,该单元体称为,主应力单元。,71,应力状态的概念,目录,16,空间（,三向）应力状态：三个主应力均不为零,平面（二向）应力状态：一个主应力为零,单向应力状态：两个主应力为零,71,应力状态的概念,目录,17,7-3 二向应力状态分析-,解析法,18,x,y,a,1.正负号规则,正应力：拉为正；反之为负,切应力：,使微元顺时针方向转动为正；反之为负。,角：,由,x,轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。,n,t,x,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,19,x,y,a,2.斜截面上的应力,d,A,n,t,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,20,列平衡方程,d,A,n,t,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,21,利用三角函数公式,并注意到 化简得,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,22,确定正应力极值,设,0,时，上式值为零，即,3.,正,应力极值和方向,即,0,时，切应力为零,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,23,（2）主平面的位置,以,1,代表,max,作用面的方位角， ,2,代表,min,作用面的方位角。,24,若,若,25,试求,（1）, 斜面上的应力；,（2）主应力、主平面；,（3）绘出主应力单元体。,例题1：,一点处的平面应力状态如图所示。,已知,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,26,解：,（1）, 斜面上的应力,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,27,（2）主应力、主平面,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,28,主平面的方位：,代入 表达式可知,主应力 方向：,主应力 方向：,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,29,（3）主应力单元体：,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,30,例7-3-1 分析受扭构件的破坏规律。,解：,确定危险点并画其原,始单元体,求极值应力,xy,C,yx,M,C,x,y,O,xy,yx,31,破坏分析,低碳钢,铸铁,32,7-3 二向应力状态分析-图解法,33,这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆,7-3 二向应力状态分析-图解法,目录,34,R,C,1. 应力圆：,7-3 二向应力状态分析-图解法,目录,35,建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）,二、应力圆的画法,在,坐标系内画出点,A,(,x,，,xy,),和,B,(,y,，,yx,),AB,与,a,轴的交点,C,便是圆心。,以,C,为圆心，以,AC,为半径画圆应力圆；,x,xy,y,x,y,O,n,a,O,a,a,C,A,(,x,xy,),B,(,y,yx,),x,2,a,n,D,(,a,a,),36,三、,单元体与应力圆的对应关系,面上的,应力(,，,),应力圆上一点(,，,),面的法线,应力圆的半径,两面夹角,两半径夹角 2,；且转向一致。,x,xy,y,x,y,O,n,a,O,a,a,C,A,(,x,xy,),B,(,y,yx,),x,2,a,n,D,(,a,a,),37,四、在应力圆上标出极值应力,O,C,a,a,A,(,x,xy,),B,(,y,yx,),x,2,a,1,2,a,0,1,2,3,38,1.定义,三个主应力都不为零的应力状态,7-5 三向应力状态,目录,39,首先研究与其中一个,主平面 (例如主应力,3,所在的平面)垂直的,斜截面上的应力。,40,用截面法，沿求应力的截,面将单元体截为两部分，,取左下部分为研究对象。,41,与,3,所在的面,垂直的,斜截面上的应力可由,1,2,作出的应力圆上的点来表示。,主应力 ,3,所在的两平面上是一对,自相平衡的力， 因而该斜面上的,应力, 与 ,3,无关, 只由主应力,1, ,2,决定。,42,与主应力,2,所在主平面垂直的斜截面上的应力, 可用由,1,3,作出的应力圆上的点来表示。,43,与主应力,所在主平面垂直的斜截面上的应力, 可用由,2,3,作出的应力圆上的点来表示。,44,该截面上应力,和 对应的D点必位于上述三个应力圆所围成 的阴影内。,abc,截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面,a,b,c,45,结论,三个应力圆周上的,点及由它们围成的,阴影部分上的点的,坐标代表了空间应,力状态下所有截面,上的应力。,D,46,D,47,该点处的最大正应力,(指代数值)应等于最大,应力圆上A点的横坐标,1,A,（,9-8,）,48,最大剪应力则等于最,大的应力圆上B点的,纵坐标(图9-11c),A,B,（,9-9,）,49,A,B,最大剪应力所在的,截面与,2,所在平面,垂直, 并与,1,与,3,所在的主平面各成,45角。,50,上述两,公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态,只需将具体问题的主应力求出,并按代数值,1, ,2, ,3,的顺序排列。,空间应力圆画法,51,例题 9-3 单元体的应力如图 a 所示,作应力圆, 并求出主应力,和最大剪应力值及其作用面方位。,52,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力 z无关, 依据 x 截面和 y 截面上的应力画出应力圆.,解:,该单元体有一个已知主应力,53,o,A,1,A,2,46MP,-26MP,量得另外两个主应力为,c,54,该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为,o,A,1,A,2,c,55,o,c,A,1,A,2,B,根据上述主应力，作,出三个应力圆。,56,o,c,A,1,B,从应力圆上量得,A,2,据此可确定,1,所在的,主平面方位和主单元,体各面间的相互位置.,57,o,c,A,1,A,2,B,其中最大剪应力所在,截面与,2,垂直,与,1,和,3,所在的主平面各,成45 夹角。,58,max,59,76,平面内的应变分析,一、应变分析解,析,法,60,2、已知一点,A,的应变（ ），画应变圆,二、应变分析图解法应变圆,（,Strain Circle,）,1、应变圆与应力圆的类比关系,建立应变坐标系如图,在,坐标系内画出点,A,(,x,，,xy,/2,),B,(,y,，-,yx,/2,),AB,与,a,轴的交点,C,便是圆心,以,C,为圆心，以,AC,为半径画圆应变圆。,应力状态与应变状态,e,a,g,a,/2,A,B,C,61,e,a,g,a,/2,三、,方向上的,应变与,应变圆的对应关系,max,min,2,0,D,(,，,/2,),2,n,应力状态与应变状态,方向上的,应变(,，,/2,),应变圆上一点(,，,/2,),方向线,应变圆的半径,两方向间夹角,两半径夹角2,；且转向一致。,A,B,C,62,四、主应变数值及其方位,应力状态与应变状态,63,例5,已知一点在某一平面内的,1,、,2,、,3,、方向上的,应变,1,、,2,、,3,，,三个线应变，求该面内的主应变。,解：由,i,=1,2,3这三个方程求出,x,，,y,，,x y,；然后在求主应变。,应力状态与应变状态,64,例6,用45应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。,x,y,u,45,o,0,max,应力状态与应变状态,65,1. 基本变形时的胡克定律,y,x,1）轴向拉压胡克定律,横向变形,2）纯剪切胡克定律,7-8 广义胡克定律,目录,66,2、三向应力状态的广义胡克定律,叠加法,7-8 广义胡克定律,目录,67,7-8 广义胡克定律,目录,68,3、广义胡克定律的一般形式,7-8 广义胡克定律,目录,69,7-9 复杂应力状态的变形比能,（2） 各向同性材料在空间,应力状态下的 体积应变,（1）概念:构件每单位体积,的体积变化, 称为体积,应变用,表示。,1,2,3,a,1,a,2,a,3,目录,70,7-9,复杂应力状态的应变能密度,(2) 在三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为,1,、,应变能密度的定义,：单位体积物体内所积蓄的应变能称为应变能密度,2、,应变能密度的计算公式 :,(1) 单向应力状态下, 物体内所积蓄的应变能密度为,71,将广义胡克定律代入上式, 经整理得,用 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度，称为,体积改变能密度。,用 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度, 称为,形状改变能密度或畸变能密度,应变能密度,等于两部分之和,目录,72,(a),(b),图 918,由于两单元体的体积应变相等，所以,v,也相等。,目录,73,(b),图 b 所示单元体的三个主应力相等，因而，变形后的形状与,原来的形状相似，即只发生体积改变而无形状改变。,目录,74,(a),(b),图 918,所以，a所示单元体的体积改变能密度,v,为,目录,75,(a),a单元体的应变能密度为,a所示单元体的体积改变应变能密度,v,为,目录,76,空间应力状态下单元体的,形状改变能密度,为,对于最一般的空间应力状态下的单元体, 其应变能密度为,目录,77,（拉压）,（弯曲）,（正应力强度条件）,（弯曲）,（扭转）,（切应力强度条件）,1. 杆件基本变形下的强度条件,7-10、强度理论概述,目录,78,满足,是否强度就没有问题了？,7-10、强度理论概述,目录,79,强度理论：,人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。,为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出,的关于材料破坏原因的假设及计算方法。,7-11、四种常见强度理论,目录,80,构件由于强度不足将引发两种失效形式,(1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,关于,屈服的强度理论：,最大切应力理论和形状改变比能理论,(2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。,关于,断裂的强度理论：,最大拉应力理论和最大伸长线应变理论,7-11、四种常见强度理论,目录,81,1.,最大拉应力理论,（第一强度理论）,材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值,构件危险点的最大拉应力,极限拉应力，由单拉实验测得,7-11、四种常见强度理论,目录,82,断裂条件,强度条件,1.,最大拉应力理论（第一强度理论）,铸铁拉伸,铸铁扭转,7-11、四种常见强度理论,目录,83,2.,最大伸长线应变理论,（第二强度理论）,无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。,构件危险点的最大伸长线应变,极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得,7-11、四种常见强度理论,目录,84,实验表明：,此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆,性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论,更接近实际情况。,强度条件,2.,最大伸长线应变理论,（第二强度理论）,断裂条件,即,7-11、四种常见强度理论,目录,85,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。,3.,最大切应力理论,（第三强度理论）,构件危险点的最大切应力,极限切应力，由单向拉伸实验测得,7-11、四种常见强度理论,目录,86,屈服条件,强度条件,3.,最大切应力理论,（第三强度理论）,低碳钢拉伸,低碳钢扭转,7-11、四种常见强度理论,目录,87,实验表明：,此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到,较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生,塑性变形或断裂的事实。,局限性：,2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，,1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达15%。,3.,最大切应力理论,（第三强度理论）,7-11、四种常见强度理论,目录,88,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的,畸变能密度,达到一个极限值。,4.,畸变能密度理论,（第四强度理论）,构件危险点的形状改变比能,形状改变比能的极限值，由单拉实验测得,7-11、四种常见强度理论,目录,89,屈服条件,强度条件,4.,畸变能密度,理论,（第四强度理论）,实验表明：,对塑性材料，此理论比第三强度理,论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。,7-11、四种常见强度理论,目录,90,强度理论的统一表达式：,相当应力,7-11、四种常见强度理论,目录,91,各种强度理论的适用范围及其应用,1、 在三向拉伸应力状态下，会脆断破坏，无论是,脆性或塑性材料，均宜采用最大拉应力理论。,2、对于塑性材料如低C钢，除三向拉应力状态以外的,复杂应力状态下，都会发生屈服现象，可采用第三、,第四强度理论。,目录,92,3、 对于脆性材料，在二向拉应力状态下，,应采用最大拉应力理论。,4、 在三向压应力状态下，材料均发生屈服失效，,无论是脆性或塑性材料均采用第四强度理论。,目录,93,例题 7 3,两端简支的工字钢梁承受载荷如图 (a) 所示。,已知其材料 Q235 钢的, = 170MPa , =100MPa,。,试按强度条件选择工字钢的号码。,200KN,200KN,C,D,A,B,0.42,0.42,1.66,2.50,例题 10-3 图,（a）,单位：m,目录,94,200KN,200KN,C,D,A,B,0.42,0.42,1.66,2.50,解：作钢梁的内力图。,(c),8kN.m,M,图,(b),Q图,200kN,200kN,Q,c,= Q,max,= 200kN,M,c,= M,max,= 84kN.m,C , D 为危险截面,按正应力强度条件选择截面,取 C 截面计算,目录,95,正应力强度条件为,选用28a,工字钢，其截面的,W=508cm,3,按剪应力强度条件进行校核,对于 28a 工字钢的截面，查表得,122,13.7,126.3,280,8.5,13.7,126.3,目录,96,最大切应力为,选用,28a,钢能满足切应力的强度要求,。,目录,97,a,(e),a,点的应力状态如图 e 所示,a,点的三个主应力为,由于材料是Q235钢，所以在平面应力状态下，应按第四强度理论,来进行强度校核。,目录,98,