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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2021高教社杯全国大学生数学建模竞赛 C题,输油管线设计的数学模型,阐述的主要问题,某油田方案在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的模型。,针对这个问题，通过三个小问题进行解答：,1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出设计方案。假设有共用管线，考虑其共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。,2. 两炼油厂的具体位置其中 厂位于郊区， 厂位于城区，两个区域有明显的分界线。假设所有管线的铺设费用均相同， 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，根据三家工程咨询公司对此项附加费用的估计，为设计院给出管线布置方案及相应的费用。,3. 为进一步节省费用，炼油厂根据生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用就各不相同，拆迁等附加费用同上。给出管线最正确布置方案及相应的费用。,解决问题的前提,管道直线铺置，无弯道；,各管道路况对管道铺置无影响，因此管线的建设费用与管线的长度成正比；,对炼油厂厂址和车站站点用点表示，对管道用线表示；,车站可在铁路上任意一点修建；,铁路为一条直线无弯道；,区域分界线垂直于铁路；,共用管道和非共用管道的施工费用不予以考虑,问题一的解答：,方案一,图一,问题一的解答：,利用几何知识，用光学性质建立模型：如图一所示作点 关于直线 的对称点 ，连接 交于点 ，得所需输油管线总长度为：,问题一的解答：,方案二,图二,如图二所示虚线是平行 轴的直线，作点 关于直线 的对称点 ，,，,假设使 最小,对 求导得,令 得,问题一的解答：,讨论：1、当共用管线和非共用管线费用相同时只需考虑管线的距离：,1当 ； 的最小值:,当 时，那么 ；随机取一组符合条件的数据，得 求得方案二最正确；同理，当 时；解得 ；即方案二最正确。,问题一的解答：,2) 当 ； 的最小值为,同上的解法求得方案一最正确。,问题一的解答：,2、当共用管线和非共用管线费用不相同时要考虑方案二中的各局部管线的总费用并与方案一中的费用比照，得出最优方案。经过查阅资料得知某非共用管道5万元/千米；共用管道8万元/千米；方案一的费用为 ；方案二的费用为：,问题一的解答：,问题一的解答：,1当 时， ，随机取一组符合条件的 值 ，解得,即方案二最正确。,当 时， 即选方案二。,2同理：当 时，,当 时，解得 。当 时，解得,。即方案一最正确。,问题一的解答：,问题二的解答：,图三,根据题中所给数据和问题一中的结论综合分析此时方案二最正确。但在城区内铺设管道既要管道费用又要附加费用。,问题二的解答：,公司,一,二,三,附加费用（万元/千米）,根据他们的工作经验的权重确定附加费用为21.5万元/千米。在 上取 ，设,总费用,将 分别对 进行求偏导数并求出最优解。,问题二的解答：,解得,解方程组,问题二的解答：,解得,问题二的解答：,解得当 时，有最优解为,万元。,问题二的解答：,问题三的解答：,在问题二的根底上进行改进，,图四,根据题中给出的共用管道和非共用管道的铺设费用的不同对问题二的解答进一步优化。设 ，所以,问题三的解答：,将 分别对 求偏导数，在分别令它们等于 ，解方程组得,当 时，有最优解为,万元。,问题三的解答：,本文特色,本文思路清晰。,直观性强。,实用性强。,谢谢！,
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