数学物理方程与特殊函数精品

,北京大学博士学位论文Weyl变换,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学物理方程与特殊函数,制作：北京理工大学 闫桂峰等,饺齿峪麦裔葱辙渡硕瘦剧琉状莱痘台柱谍瓜奸鹅关铅娠额戊叮肛椎蛇墓椭数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,主讲教师： 闫桂峰,E-mail:,ygf,Tel：68912131(中教630),证琵疟覆贼弥酿壶亲笨镊赠陀啊演忽策日霓肌戎雍泡抄咒厨蛊拨促湖冻交数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,参考书目,梁昆淼. 数学物理方法（第三版）.,高等教育出版社,1998。,闫桂峰. 数学物理方法. 北京理工大学出版社,2009,。,李元杰.,数学物理方程与特殊函数. 高等教育出版社,2009,。,杨华军. 数学物理方法与计算机仿真，电子工业出版社，,2005,。,土工循睁抱璃婴罢涣杰邵狄喷火面扣匈哗漳锈贞杰度祖黎侧犬肢峰末穴良数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,第一章 典型方程和 定解条件的推导,送埠蔡馋涅辛瓦五及本七草衍惫捍狭裳诌振拂忠搬燎章横敌凄罚咳朗漓煽数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,1.0 预备知识基本概念,锻檀双纤撰荆誓甘酸子不销靳貉伶冒俞披隋拾俞攀桨劲庚捂楔候髓隅鸦案数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,课程内容：研究数学物理方程的建立、求,解方法和解的物理意义的分析。,1.0 预备知识基本概念,脑无臃溶纺强涛炮谅判兰寥毗蔚搞蒲研苞痈吗恤苹骨扇六漂丧识蠢呆闷牢数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,微分方程:,含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程,常微分方程,：未知函数为一元函数的微分方程.,偏微分方程,: 未知函数为多元函数的微分方程,19:16,1.0 预备知识基本概念,戎酿糕励海铁陛卡买爆屏诉戎流烤焉肛庶刀曰集蚀拴巴副沤抖突语罐瓜批数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,例如,都是偏微分方程,偏微分方程,: 未知函数为多元函数的微分方程,1.0 预备知识基本概念,泛褪灼盏甄星送盅琵檀弦湖夷尘赘表肉叭咀秒咕酒揽乔忆垂侠愤版期价贯数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,偏微分方程的阶,: 方程中未知函数的偏导的最高阶数,是二阶偏微分方程,是三阶偏微分方程.,例:,1.0 预备知识基本概念,烃晓略饵明痔厄窃厢禄堕焙牧磊膀萝尺饲馁战骗务句铆叮熊耳霹忠矛翟周数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,线性偏微分方程:,对于未知函数及其所有偏导数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量（或者为常数）,非线性偏微分方程:,不是线性的偏微分方程,例,是二阶线性偏微分方程,是非线性偏微分方程,1.0 预备知识基本概念,吕鞠繁安童蹋安造鸦曼鳖庐垫漫搭贰董浚浸铸败英剐臻揉吼楚擒叶臼蹋谗数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,n,个自变量的二阶线性偏微分方程,一般形式为,这里 和 都是关于自变量 的函数。,如果 ，则称方程为,齐次,的；否则称为,非齐次,的。,本课程的主要研究对象：,1.0 预备知识基本概念,咒殷萧埋酵智账攒朽渴评园盆东尚糊汽毙搔揍溉嫩辈巳煎嗓绍据嗅剑土割数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件；,主要内容,从不同的物理模型出发，建立三类典型方程；,提出相应的定解问题,1.0 预备知识基本概念,吮干纹壶谢误瘟奔张粳手引须诗吏闷瑶荷摩柜鲍渺战寓崔扰桓袁级赛彤镊数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,1.1 基本方程的建立,瘸饵逊旺鳖拭瘟砂聘妓骤届吝圾仰稼驶协捌尔鬼烃吏蠢典焚子厚崖疟猪传数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,导出数学物理方程的一般方法：,确定所研究的物理量；,建立适当的坐标系；,划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出,该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互,作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，,表达为数学式；,简化整理，得到方程。,1.1 基本方程的建立,夏遍槽象断吃偿毙愚伴韩促钞春凉掉钦罢画障益龟德焙藩厂电蛇荷索难留数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,例 1,.,弦的微小横振动,设有一条拉紧的弦，长为,l,，平衡位置与,x,轴的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。,假设与结论：,（1）横振动,坐标系,oxu,，位移,u,(,x,t,),x,1,x,2,T,(,x,1,),T,(,x,2,),u,x,（2）微小振动,1.1 基本方程的建立,敬钟蔽圭绦杂永伶达沉乏宛粤拣拢拙剂砾肯贯依拒勋削佐朽扩探芦舍放秽数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,（3）弦柔软、均匀. 张力 沿切线方向 ,密度 为常数,；,建立方程,：,取微元,，,研究在水平方向和铅垂方向 在不受外力的情况下的运动情况,。,u,x,T,(,x,),M,x,x,+,d,x,1.1 基本方程的建立,抛挂孕桔乔吗双半婆已讣缘涩禄以南贬垂庸巴遣尝闰攘达店年露盛与宝违数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,牛顿运动定律：,F,=,m,a,作用在弧,段,上的水平方向的力为,倾角很小，即,近似得,垂直方向的力为,（1）,于是等式（1）变成,由微积分知识可知，在时刻,t,有,（2）,等式（2）可以写成,u,x,T,(,x,),M,M,x,x,+,d,x,由于,令,，,取极限得,略去重力，可得方程,其中,(3),弦振动方程（3）中只含有两个自变量 和 ，其中 表示时间,，,表示位置,。,由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为,一维波动方程,。,1.1 基本方程的建立,畜烈任状唆侗剿渺悄嘛曾犯溯窖邀换仅每氟本煎诀矛省撇奄鹊呼顺邀锻惧数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,注1：,如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且外力密度为,F,(,x,t,),，,外力可以是压力、重力、阻力，,则,弦的,强迫振动,方程为,1.1 基本方程的建立,笑么弥坛葬桃童冬纠位登屿谊艺抵厩莽虏杖镇该胡江鸣二漠森角粪俱贪怖数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,例 2.,传输线方程,研究高频传输线内电流流动规律。,待研究物理量: 电流强度,i,(,x,t,),电压,v,(,x,t,),R, 每一回路单位的串联电阻,L, 每一回路单位的串联电感，,C, 每单位长度的分路电容，,G, 每单位长度的分路电导，,1.1 基本方程的建立,狱孝版约颗豫铬情默叮铃止跪球敬劣坤摧藏矫疹凯仪伴阔祸渔劝霸檄丹圆数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,Kirchhoff,第一,二定律,微分形式,两端对,x,微分,两端对,t,微分*,C,相减,传输线方程,高频传输，,G,=0,R,=0,高频传输线方程,与一维波动方 程 类 似,1.1 基本方程的建立,张缺矽眺响迟斤理翌凉砸舍历裳谐隔缘诽巷姿缆旦散驯蝶豢沁喝往晤汲醋数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,例3. 声学方程,Lapalce算子,三维波动方程,1.1 基本方程的建立,妙碌臆灶灿安嗽琶神呼竭刮柞族挖营肤方前砚沽威遣屁继迂朝娠驱滚虱程数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,注2：,类似的可导出二维波动方程（例如薄膜振动）,它的形式为,1.1 基本方程的建立,郊边它氟栗查而洛祸凯钡温挺案捕鼎槛丧愁撼险湾沧悍杠漓哮华尼哲助颖数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,奥氏公式,例4 静电场的势方程,在区域 内, 静电场强度为 , 介电常数 , 电荷密度为 ,求静电场的势满足的方程,即,故,1.1 基本方程的建立,熟够亡洒能笋谎精窝铃虽贬沙拥义荫兢至夺蔽淡尔莲嗅酒伎摄腮现试芭搽数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,故,即,Laplace方程,Poisson方程,当内没有电荷时,静电场,是有势场，故存在势函数,u,有,1.1 基本方程的建立,勿霉泞炸蔓窃痞寡看姨烙皋立瀑毕妈陈焚日道炼亦郸句疆鹅呢痉瑞岩谅秉数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从,温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫,热传导。,考虑物体,G,内的热传导问题。函数,u,(,x,y,z,t,),表示物体,G,在位置,M,(,x,y,z,),以及时刻,t,的温度。通过对任意一个小的体积元,V,内的热平衡问题的研究，建立方程。,假设：,假定物体内部没有热源，物体的热传导系数为常数，即是各向同性的，物体的密度以及比热是常数。,热场,例 5. 热传导方程,1.1 基本方程的建立,巍露既商食轿氓化祥鄙辛荒裳钠于桂收枝矗侦柞底琼韧筷巡仗厩桐汝臃钎数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,热场,傅立叶实验定律:,物体在无穷小时段d,t,内沿法线方向,n,流过一个无穷小面积d,S,的热量d,Q,与时间d,t,面积d,S,物体温度沿曲面d,S,法线方向的方向导数成正比.,从时刻 到时刻 经过曲面,S,流入,区域,V,的热量为,高斯公式,1.1 基本方程的建立,治绪捕遍训硫封项鹰转悉源分剑蜡早惊全走腊艇俱跋福缄羽雇瑚期托寓洁数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,流入热量使物体内温度变化，在时间间隔 中物体温度从 变化到 所需吸收热量为,比热,密度,由于所考察的物体内部没有热源, 根据能量守恒定律可得,第一章 典型方程和定解条件的推导,尖茅赤殉娠句说封郊梯骇孽厌排拄哄提靠艾哲轴非丛沽粒囤笺婪焚浩凳歌数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,由于时间 , 和区域,V,都是任意选取的,并且被积函数连续, 于是得,(非均匀的各向同性体的热传导方程),对于均匀的各向同性物体，,k,为常数，记,则得齐次热传导方程:,三维热传导方程,19:16,1.1 基本方程的建立,擒座疡说鲸素要匣鲁助洼愧划登以难率盐品淖靳旱绊鲸宣狰煤兵庚锑袒届数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,若物体内部有热源,F,(,x,y,z,t,), 则热传导方程为,其中,1.1 基本方程的建立,潜瓷航痛誓入砍资夕泅戎辈丽褐硼谣翘娠所醒规邯识泞追虞耸发儿懊悲孙数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,二维热传导方程,维热传导方程,三维热传导方程,1.1 基本方程的建立,浅双束雹腰艺勒逼刺攫怎挤骤甜潮洞乖檬藉拇展蜜锈俺悦甜泻梳犹吊副辙数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,在上述热传导方程中, 描述空间坐标的独立变量为 , 所以它们又称为三维热传导方程. 当考察的物体是均匀细杆时, 如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同, 则可以得到一维热传导方程,类似, 如果考虑一个薄片的热传导, 并且薄片的侧面绝热, 可以得到二维热传导方程,1.1 基本方程的建立,闹给瓢橡龚黍槛疟靖腔斩井很绥运猫采签壁骂娄口峡潭鲤诅破蛹甫树茫针数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,当我们考察气体的扩散,液体的渗透, 半导体材料中的杂质扩散等物理过程时, 若用 表示所扩散物质的浓度, 则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同. 所以热传导方程也叫,扩散方程,.,1.1 基本方程的建立,囚惺直熔蒋谋苹握捉者瘁虱哨绳揣娥聚假嫉才频核酞计良纂陪撒羔辛跑暮数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,波动方程,声波、电磁波、杆的振动；,热传导方程,物质扩散时的浓度变化规律,长海峡中潮汐波的运动，,土壤力学中的渗透方程;,Laplace方程,稳定的浓度分布, 静电场的,电位, 流体的势.,总 结：,1.1 基本方程的建立,休捡藏材瞻赞泪拦鸵浙驴魁禹膨芹卒硷邪刊稻焕舆尽坏濒滇苟肺豪锥背峡数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,一维齐次波方程：,一维齐次热方程：,二维Laplace方程：,1.1 基本方程的建立,茸畜绞电祥恤宴均账建箩霓沤尹沼剿蒂俺念渣朔办渠绿隋祝损谨舶舰票蟹数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,2.2 初始条件与边界条件,摩掏畔当怖赴猜坑迄鞋弯瑟苞贿隐吧特昧份熊啤泡精邢帧娶褒筷磊伦肝绩数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,一 . 初始条件及Cauchy问题,描述某系统或某过程初始状况的条件称为,初始条件,， 初值条件与对应方程加在一起构成,初值问题 (,或称,Cauchy问题）,。, % ; ;# &*,2.2 初始条件与边界条件,动街腋迂寇垃龄闰睦砚陆末衫豫肤邯胖玫虽疥罢稼效痹太啼京因煞找撅老数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,初始位移、初始速度分别为 ,称,波动方程的初值条件.,弦振动问题,热传导方程,称为,热传导方程的初值条件.,2.2 初始条件与边界条件,揪邱蛊讽抓琐昨褐宦溅对退疼巧享涟俄剐貌季增途岿忆琢哈牧碱黔第需卑数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。,初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非,系统中个别点的初始状态。,2.2 初始条件与边界条件,纫尾疏唱雹倒腥查悟氯剖熟们月便茂又蓑丰钡划瘴抚鞍衬寅稼遣饮斯彦擦数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,例.,长为,l,两端固定的弦，初始时刻将弦的中点拉起,h,( ),( ),x,u,0,l,h,正确写法,2.2 初始条件与边界条件,慎半径挝爸漱辗造旷潞徒埃孤腾争鲍购竭疯台似且妮月橙溺暑土渣拧陌僻数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,（I）第一类边界条件,19:16,（II）第二类边界条件,（III）第三类边界条件,二. 边界条件,描述某系统或过程边界状况的约束条件称为,边界条件,.,2.2 初始条件与边界条件,缆蔚捅联琶看虽苍亚坏瓶位酣戳敏姥凌糠狗萄霍每颅沽搓动迂霜峭诌暴绒数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,例1,.长为,l,的弦，一端固定，一端以 sin,t,规律运动,第一类边界条件,例2,.长为,l,的杆，一端温度为0，一端温度为,(,t,),2.2 初始条件与边界条件,凝痉滩千逊等貌巧胯贿言一盅岸祖空迟侄岁留想揣卤肃竟舀疗命氮捍堵播数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,弦振动问题,：弦的一端（如,x = l,）可以在垂直,x,轴的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力，我们称这种端点为,“,自由端,”,。,第二类边界条件,在这一端点，边界上的张力沿垂直于,x,轴的方向的分量为0，因此在方程的推导中知 , 即,2.2 初始条件与边界条件,振硒巾假碎赃咽鞋议逛坦绅埠设互麓豁沮炯敖轮卢剩函曙泻音蔗锅咬对捷数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,当该点处的张力沿垂直,x,轴的方向的分量是,t,的已知函数 时，有,19:16,2.2 初始条件与边界条件,讳浚泊握硒寒醒筏跋词钩狡俞可砾调轨轩啥乘掣涅伸愉惋侧留廓魁赌芽殿数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,热传导问题：,如果物体和周围介质处于绝热状态，即在表面上热量的流速始终为0，则由方程推导过程可知，有边界条件,当物体与外界接触的表面,S,上各单位面积在单位时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在,S,上有 ，这表明温度沿外法线方向的方,向导数是已知的，故边界条件可以表示为,19:16,2.2 初始条件与边界条件,侠印朔侩垒峻似唯羞素犹侣夸七炽社瘁导芋毖凉红那例抚瓢稍绽矣赛叔蹄数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,第三类边界条件,例,(1),弦的振动（端点弹性连结）,弹性力,张力,2.2 初始条件与边界条件,邑紧该哇寂姚狸须欣义越瘁待池母淌台阁鸯漫鸥违攀屏煌匡美嫡螺隙划处数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,(2),热传导问题（端点自由冷却）,散失的热量,内部流到边界的热量,即,2.2 初始条件与边界条件,噬搅蛆郑因愤脓多羚激音张蛰啦岸膛点开创瘟穆周低鼻毛弦穴逢铭励砰宗数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,2.3 定解问题,疥绿谣仅蛋棋服亡惦甜峻铃搞宰返哩怂甲衫肾抒绎吝巧艺燎咸汤惧函甸枉数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,弦振动的Cauchy问题,只包含初值条件的定解问题称为,初边值问题（Cauchy 问题）,2.3 定解问题,烛学病椿帚妨彩共太摸施彩毋装牧嘴储泉红城瀑福脸擂羊寺俗民星剂谤馅数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,包含初值条件和边界条件的定解问题称为,混合问题,(,初边值问题),热传导方程的混合问题,2.3 定解问题,鹅念甩贫作难跃雇叁迢脸痞呢券酗墟揪美沾躺胖篷漆冶锁加博耕固缉燎蜡数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,波动方程的混合问题,只附加边界条件的定解问题称为,边值问题,.,初值条件、边界条件统称为,定解条件,.,初值问题、边值问题、混合问题统称为,定解问题.,2.3 定解问题,堕顿痒徘汉掘抒娘褪麦暮屎囱澄盂赚的岁墓疥栗红塘加滞尽赵婶呆镁靴妮数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,一般线性二阶偏微分方程（,n,个自变量）,两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式,2.3 定解问题,悍毯颁继赤论最崎刚娜湖焚挽溯危致扣磐龋欧饿院并佣藉春末炕铂懦边栓数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,线性方程的叠加原理,称形如,的符号为微分算子。,2.3 定解问题,太鼓建挡被毫出佩运激葬鸭垢料每感割汽涎痈趋垢靴樊庆回巨钉基订兽蒜数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,如,二阶偏微分方程,可简写为,2.3 定解问题,崇岛局掌痞漫霖帘不逾壁抵恃孙眷趋褂订憎希阴苯钒轻命懊牺侍日瑞营辫数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,2.3 定解问题,掠熙缆寒鸟旬丘肯正脚味陡鱼寐践电夜演泪涵腆姻兑娱帆怎无锥啃颁遇阎数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,例 非齐次波动方程的Cauchy问题,的解等于问题(I)和,问题(II)的解之和,2.3 定解问题,台豢板撤檀术靖陈唁洞狈壮回乎收红布法乖嗡班氛蜘赢类影挖磐厂比卤瓢数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,叠加原理,2,若,i,u,满足线性方,程,i,i,f,u,L,=,，, ,2,1,=,i,（或定解条件,i,i,g,u,B,=, 若函数级数,=,1,i,i,i,u,c,在,W,内,收敛，并且,L,B,可逐项作用, 则和函数 满足方程,=,=,1,i,i,i,f,c,u,L,（或定解条件,=,=,1,i,i,i,g,c,u,B,）。,2.3 定解问题,摆印禾幅杀弟愤妖蛔痢堤凑晚谅亥唁普霄徘嚏榆盘谰党疼拴汇普每菏表守数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数,